統計、きそのきそ「要約統計量を理解する」

オープンゼミ #5 『統計、きそのきそ』 2025年3月3日（月） 17時～

今日のゼミの目標 統計きそのきそ，「データの要約」を徹底マスターする

要約統計量とは • 要約統計量 たくさんある観測値を簡潔にまとめ，その特徴をわかりやすく示す数値 • 例）平均値，中央値，最頻値，標準偏差，四分位範囲 などなど 代表値：観測値の分布を代表する値 散布度：データのばらつきを示す ※観測値：調査や実験により得られた，各個体に関する数量や属性

なぜ要約統計量を求めるのか ある集団の身長 173 164 178 160 157 175 178 一人一人の数値をみてもよくわからない 160 168 173 160 170 157 175 153 152 156 169 要約統計量（とりあえず代表値）を算出してみる 156 172 • 平均値 （Mean） 165.1 cm→観測値の中心（重心）はこれくらい • 中央値 (Median) 166 cm→真ん中の人はこの身長 • 最頻値 (Mode) １６０ cm→もっとも多い身長はこれ

平均値 (Mean) 平均値: 観測値全体を均等にならした値 その観測値全体の重心がどこにあるかを示す 全部の値を足したもの 平均値 = 個数 177 165 145 160 平均：152 113 145 + 165 + 177 + 160 + 113 = 152 5

平均値の弱点 • 計算が簡単でわかりやすいのでよく使われる しかし，外れ値 (極端に大きかったり小さかったりする個体) に弱い 440 平均：200 cm 165 145 177 160 113 200 cmにはだれもいない（代表性がない） 平均値を見てもよくわからない

中央値 (Median) • 中央値：観測値を小さいものから順に並べたときの，中央の値 ※ただしデータの大きさが偶数の場合は，真ん中2つの平均値 中央値 160 145 113 177 165

中央値の強み • 求め方はとてもシンプル • 外れ値に強い 極端に大きい（or 小さい）値が含まれても変わらない 一人が巨大化しても，中央値は同じ 中央値 160 145 113 165 300

標準偏差 (Standard Deviation, SD) • 平均値からの「バラつき」を示す • 一人一人の平均からのズレの二乗を合計して，データの個数で割る→分散 分散の平方根（ルート）を取る→標準偏差 ※標本の分散の場合はn-1で割る 標準偏差 = 177 165 +13 -7 145 個人の平均値からのズレ 2の合計 データの個数 +25 160 平均：152 +8 -39 113 (−7)2+(13)2 +(25)2 + (8)2 + (−39)2 = 24.6 5−1

四分位範囲 (Interquartile Range, IQR) • データを4つに分けて，その地点にどんな値があるかを見る • 手順 ①データを小さい順に並べる ②全体を4等分する 第1四分位数：下から25%の位置の値 第3四分位数：下から75%の位置の値 ※第2四分位数は中央値と同じ（下から50%の位置の値） ※ちょうどの位置にだれもいなかったら，前後の人の平均をとる 152 153 156 25% 156 157 157 160 160 160 164 168 169 170 172 173 173 175 175 178 第1四分位数：157 75% 第3四分位数：173 178

データの示し方：箱ひげ図 (Box plot) データのバラつきを視覚的に示す 最大値 ひげ 第３四分位数 (75%) データの真ん中 ５０％の範囲 中央値 (50%) 第1四分位数 (25%) 最小値 箱

データの示し方：ヒストグラム (Histogram) • 「データの分布」を視覚的に示す • データをいくつかの区間（階級）に分け それぞれにいくつ観測値があるのか（度数）を棒グラフで示したもの 階級 度数 152 - 155 2 155 - 158 4 158 - 161 3 161 - 165 1 165 - 168 1 168 - 171 2 171 - 174 3 174 - 178 4 度数分布表 ヒストグラム

正規分布 (Normal Distribution) • 正規分布：平均値の周りにデータが集まり 左右対称な釣鐘型の形をした連続確率分布 • 正規分布の特徴 平均値を中心に左右対称 データが平均値付近に集中し 離れるほどデータが少ない 平均値 ＝ 中央値 ＝ 最頻値 (理論上は) 釣鐘→

なぜ“正規”分布？ • 自然界や実社会で広く観察される分布 身長，体重，試験の点数，測定誤差など…… これらはデータが平均値付近に集中し，離れると少なくなる

連続確率分布？ データがある範囲に収まる確率 連続確率分布 連続的に繋がり無限に中間値がある数（連続変数）のこと 例）身長，温度など ⇔離散変数: 飛び飛びの値を取る数 例）サイコロの目，コインの裏表

確率分布としての正規分布 • 正規分布は連続確率分布 分布をみれば，どこにどれくらいのデータが あるかわかる • 具体的には…… 標準偏差をもとに ±標準偏差 →約６８．３％ ±標準偏差×2 →約95.5% ±標準偏差×3 →約99.7%のデータが含まれる 例）ある集団の身長平均が160 cm，標準偏差5 １55～165 cmの範囲に68.3% 150～170 cmの範囲に95.5% 145～175 cmの範囲に99.7% 約68.3% 約95.5% 約99.7% σ: 標準偏差

要約統計量の報告の仕方 • 平均値 ｖｓ 中央値 データの分布によって選択（正規分布→平均値）されることが多い ただし，正規分布なら平均値≒中央値なので 最近は「中央値（四分位範囲）」が選択されることも増えている • 平均値は標準偏差，中央値は四分位範囲とともに示す 例）平均値（標準偏差） 中央値（IQR: 第1四分位―第3四分位） • 平均値と標準偏差は「平均値±標準偏差」で示されることも多い ただし，最近のガイドラインでは非推奨な場合も 「M = 平均値, SD = 標準偏差」や「平均値 (SD)」が推奨 理由: SDは範囲ではなく「ばらつき」を表現→必ずしもその範囲に分布していない 標準誤差や95%信頼区間と混合しないため ＡＭＥＤ支援「国際誌プロジェクト」（2017）『正しいデータの記述の仕方』 JMIR Finance Team (2024)「Guidelines for Reporting Statistics」

本当に平均値より中央値？ ...... あるクラス (n = 45名) 歴史のテストを実施 100点満点 要約統計量を算出してみる • 平均値：57.4 (SD： 26.3) 点 • 中央値：56.0 (IQR: 34-87) 点 SD: 標準偏差 IQR: 四分位範囲

ヒストグラムを書いてみる 中央値 平均値 平均値と中央値は似たような値 しかし不自然な分布

このテストには裏がある 部員を落第させるわけにはいかない…… ゲートボール部の顧問 部員15名に解答を渡していた

このテストには裏がある ゲートボール部員 平均値：89.0 (SD： 5.0) 点 中央値：89 (IQR: 87-92) 点 その他生徒 平均値：41.6 (SD： 16.2) 点 中央値：42.0 (IQR: 30.25-56) 点 全体の平均値や中央値だけでは気づけない ヒストグラムなどで分布を確認 こういった峰が2つ以上ある分布を 「双峰型（bimodal）」といい， 性質の異なるデータが混じりあっていることが多い

Take home messages • 要約統計量: 観測値を簡潔にまとめ，その特徴をわかりやすく示す • しかし，場合によってはそのデータ全体の特徴を損なう 観測値を扱う時は，その集団の性質を意識して要約を 要約を見るときは，元の観測値を想像して