多次元正規分布でGibbs Sampling (輪講資料 : 情報工学機械学習9.3.4)

情報⼯学機械学習 §9.3.4 B3 和⽥唯我 2022/3/1

⽬次 • 9.3.4 条件付き確率 • a. 多次元正規分布における Gibbs Sampling • b. ブロック⾏列の逆⾏列の導出 • c. Demo: Gibbs Samplingの実装 2

⽬次 • 9.3.4 条件付き確率 • a. 多次元正規分布における Gibbs Sampling • b. ブロック⾏列の逆⾏列の導出 • c. Demo: Gibbs Samplingの実装 3

a. 特徴と⽬標の整理 • Gibbs Sampling の特徴 • ⼀次元だけサンプルを更新するので, 条件付き確率の計算が必要 → ⼀般に条件付き確率の計算は困難 • ⽬標 • 多次元正規分布における条件付き確率を計算し, Gibbs Samplingに具体的なア ルゴリズムの⼀例を与える. 4

a. 設定の整理 • ベクトル 𝒛 • ⼀次元だけサンプルを更新 • → 第⼀番⽬の変数 𝑥 とベクトル 𝒚 で構成されているとする • 平均・共分散⾏列・精度⾏列 • 以下のようにブロック⾏列で記述 5

a. 過程の整理 • アルゴリズム導出の流れ 1. 提案分布を正規分布 𝒩 µ, Σ とし, ⼀次元のみに着⽬ (→ 𝑥 ). 2. 𝑝 𝒛 𝝁, Σ (=: 𝑝 𝒚, 𝑥 )から 𝑝 𝑥 | 𝒚 を計算し, パラメタ µ!|# , σ$!|# を計算. 3. 𝑝 𝑥 | 𝒚 と 𝑝 𝑧% | 𝑧&'(& 𝑧$'(& '(& , … , 𝑧%)& ' , 𝑧%(& (') , … , 𝑧* との対応を与える. 6

a. 式の整理 • 𝒛 ~ 𝒩 µ, Σ のとき 𝑝 𝒛 𝝁, Σ は以下の通り • 共分散⾏列 Σを精度⾏列 Λ で書き換えると 7

a. パラメタ µ!|# , σ$!|# の計算 疑問: 𝑥 と 𝒚 って相関ゼロ？ • パラメタ の計算 • σ$!|# → 𝑥 に関する2次の項と対応 • µ!|# → 𝑥 に関する1次の項と対応 • ⇒ 𝑝(𝒚) は 𝑥 に関与しないので 𝑝 𝒛 𝝁, Σ を 𝑥 について係数⽐較 8

a. パラメタ µ!|# , σ$!|# の計算 • 𝑝 𝒛 𝝁, Σ の 𝑒𝑥𝑝 内を 𝑥 について展開すると 9

a. パラメタ σ$!|# の計算 • 2次の項について 𝑝 𝒛 𝝁, Σ 𝑝(𝑥|𝒚) 10

a. パラメタ µ!|# の計算 • 1次の項について 𝑝 𝒛 𝝁, Σ 𝑝(𝑥|𝒚) 11

a. パラメタ µ!|# , σ$!|# の計算 • 求めた各パラメタは, 精度⾏列に依存している • → 精度⾏列を共分散⾏列で書き下す必要がある • ブロック⾏列の逆⾏列が問題となる • → ブロック⾏列の逆⾏列を求めよう 12

⽬次 • 9.3.4 条件付き確率 • a. 多次元正規分布における Gibbs Sampling • b. ブロック⾏列の逆⾏列の導出 • c. Demo: Gibbs Samplingの実装 13

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – LDU分解 • ブロック⾏列Pをブロック⾏列 X, Y, Z, Wを⽤いてLDU分解する L (下三⾓) D (対⾓) U (上三⾓) • 逆⾏列といえばLU分解じゃない？ • なんでここではLDU？ • ブロック⾏列なのでUの対⾓⽅向のブロックを I にしたほうが楽 (個⼈的な感想) 14

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – LDU分解 • Pの各ブロックと⽐較すれば, 以下のようにLDU分解が構成できる 15

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – LDU分解 • 逆⾏列を求めるには, ブロック⾏列L,D,Uの逆⾏列が求まれば良い. 16

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – LDU分解 • ブロック⾏列L,D,Uの逆⾏列 • 同じ形のブロック⾏列で, 4つのブロックを適当な⽂字に置けば求まる 17

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – LDU分解 • ブロック⾏列L,D,Uの逆⾏列が求まったので, 所望の逆⾏列は • 各ブロックについて • Woodburyの公式が簡略化に有効 18

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – Woodburyの公式 • Woodburyの公式 ブロック⾏列の逆⾏列 𝐷 ← −𝐷 −1 , 𝑇 ≔ 𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶 と置けば式が綺麗に 19

b. ブロック⾏列の逆⾏列 • よって, ブロック⾏列の逆⾏列は以下の式で与えられる ただし, 𝑇 = 𝐴 − 𝐵𝐷 −1 𝐶 20

b. ブロック⾏列の逆⾏列 – 結果 • 本題に戻ると… • 以上の議論より, 平均・分散に⽤いる精度⾏列のブロックは 21

⽬次 • 9.3.4 条件付き確率 • a. 多次元正規分布における Gibbs Sampling • b. ブロック⾏列の逆⾏列の導出 • c. Demo: Gibbs Samplingの実装 22

c. Demo: Gibbs Samplingの実装 23

c. Demo: Gibbs Samplingの実装 コードはgistに上げたので遊んでみてね ⇒ https://gist.github.com/YuigaWada/4929fc479027af6f05ef4950a093ba33 24

• https://gist.github.com/YuigaWada/4929fc479027af6f05ef4950a093ba33