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入試問題解説 第 11 回：積 の 極 限 を 積 分 へ 2001 年 筑 波 大 理 系 前 期

入試問題解説 問題 (1) x > 0 に対して，次の不等式を示せ。 x¡ x2 < log(1 + x) < x 2 (2) f(x) を 0 ≦ x ≦ 1 で連続で，f(x) ≧ 0 を満たす関数とする。 1 1 2 n 1 1 an = #1 + f # ;; #1 + f # ;; Ý #1 + f # ;; ; n n n n n n Z1 I= f(x) dx 0 とおくとき， lim an = eI であることを示せ。 n!1 （2001 筑波大理系前期） ■ 本問の学習テーマ・目的 関数 f の式は与えられていません。それでも，f が連続で非負であることから，区分求 積法と最大値による評価を組み合わせれば極限を決められます。結論の eI から log an を考え，(1) を用いて区分求積の和との差を押さえる流れを身につけましょう。 指針 / アプローチ ▼ (1) を差の評価として読む 0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦ x2 ▼ an の対数を取る と読 2 み替え，log(1 + x) を x と比べ たときの差を押さえます。 ▼ 誤差を和全体で評価する I 右辺が e なので，まず log an ! I を示します。積は対数を取るこ とで和に変わります。 f の最大値を M とし，2 次の項 を n 個加えても 0 に近づくこと を示します。 解答 (1) x ≧ 0 に対して p(x) = x ¡ log(1 + x)，q(x) = log(1 + x) ¡ x + (*1) x2 とおく。 2 (*1) 示したい二つの不 p(0) = q(0) = 0 であり，x > 0 のとき p0 (x) = x > 0; 1+x q0 (x) = 等式を，それぞれ「差 が正である」という形 に直しています。 x2 >0 1+x である。よって，p; q は x ≧ 0 で増加し，x > 0 のとき p(x) > p(0) = 0，q(x) > q(0) = 0 である。したがって，x > 0 に対して x¡ x2 < log(1 + x) < x 2 が成り立つ。また，x = 0 では両側で等号が成り立つので，x ≧ 0 に対して x¡ x2 ≦ log(1 + x) ≦ x 2 と書ける。 ÝÝ ① (証明終わり) --- 1 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

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入試問題解説 (2) n 1 k 1 P k f # ; とおき，Sn = f # ; とする。uk ≧ 0 で n n n k=1 n n u2k P (*2) あるから各因子は正であり，log an = log(1 + uk ) と書ける。①より uk ¡ ≦ 2 k=1 log(1 + uk ) ≦ uk であるから，これを k = 1; 2; : : : ; n について加えると 1 ≦ k ≦ n に対して uk = Sn ¡ 2 n 1 P k # ; f ≦ log an ≦ Sn n 2n 2 k=1 なので，指数を外して I と比較できる形にし ます。 ÝÝ ② となる。f は 0 ≦ x ≦ 1 で連続であるから最大値 M をもち，0 ≦ f(x) ≦ M である。(*3) n P (*2) 結論の右辺が eI 2 k よって f # ; ≦ nM2 であり，②から n k=1 (*3) k や n によらな い共通の上限を置くた めに，閉区間上の連続 性を使っています。 M2 ≦ log an ≦ Sn ÝÝ ③ 2n Z1 M2 (*4) を満たす。 ③において，区分求積法により Sn ! f(x) dx = I であり， !0で 2n 0 あるから，両端はいずれも I に近づく。したがって，はさみうちの原理により log an ! I と Sn ¡ なる。ゆえに lim an = lim e n!1 log an n!1 =e 答案記載上の注意点 本問では， 「log(1 + u) は u に近い」と述べるだけでは論証になりません。(1) から得られる 不等式を用い，log an を区分求積の和ではさむところまで書きます。 ▼ ポイント 1：積を対数によって和に直す k 1 f # ; ≧ 1 であるから，an > 0 であり，log an を考えられます。そのうえ n n で積を和に直し，log an ! I を示す方針を明確にします。 各因子は 1 + ▼ ポイント 2：はさみうちの両端を I に近づける n P k=1 f# 2 M2 k ; ≦ nM2 と評価します。そのうえで Sn ¡ ≦ n 2n log an ≦ Sn とまとめれば，両端が I に近づくことが明確になります。 解説 1. (1) の左側は何のためにあるのか (1) を移項すると，x ≧ 0 に対して 0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦ --- 2 --- x2 2 M2 以下であり，n 2n 2 項分の差の合計も M2 以下です。 2n I (証明終わり) 連続性から最大値 M を置き， (*4) 1 項ごとの差は ÝÝ ④ © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

• #p3

入試問題解説 となります。右側の不等式 log(1 + x) ≦ x だけを使うと，(2) では log an ≦ Sn までしか 分かりません。これでは log an が Sn からどれだけ離れているかを判断できません。左側の x2 x2 ≦ log(1 + x) があることで，その差を 以下に押さえられます。つまり，(1) の 2 2 2 次の項は飾りではなく，(2) で誤差を処理するための項です。 x¡ 2. eI から方針を逆算する 目標は an ! eI ですが，積 an と積分 I を直接比べるのは困難です。そこで，指数 関数を外して log an ! I を目標にします。対数を取ると積が和に変わり，log an = n k k 1 1 P f # ;; となります。一方，I に近づく和は Sn = f # ; です。した n n n n k=1 k=1 がって，この二つの和の差が 0 に近づくことを示せばよいと分かります。結論の形，対数，区 n P log #1 + 分求積法，(1) の不等式がこの順に結びついています。 3. 非負性と連続性の役割を分けて考える f(x) ≧ 0 は，uk ≧ 0 として ① を適用するために使います。f は 0 をとりうるので，uk = 0 の場合も含めるため，① は x ≧ 0 の形で用いています。また，各因子が正となるので an の 対数を取れます。連続性は別の二つの場面で使います。一つは Sn ! I を区分求積法で示す場 面，もう一つは f の値を M 以下に一括して押さえる場面です。関数 f の式が分からなくて も，問題文の条件から得られるこれらの性質だけで証明が進みます。 4. 1 項ではなく，n 項分を見積もる M2 M なので，④から 1 項ごとの差は 以下です。しかし，(2) で扱うのは n 項の和 n 2n 2 です。1=n は 0 に近づいても，それを n 個加えると 1 になるため， 「各項の差が 0 に近づく」 M2 だけでは不十分です。本問では，n 項分を加えた差も 以下となるため，初めて全体の差 2n が 0 に近づくといえます。1 次の項は区分求積として残り，2 次の項は和を取っても消えると uk ≦ いう違いを，不等式で確かめているわけです。 5. 本問の結論を別の積に使う 以下では，積の記号 Y(*5) (*5) n Y bk = b1 b2 Ýbn を を用います。本問の結論は Z1 n Y f(x) dx k 1 #1 + f # ;; = e 0 lim n!1 k=1 n n k=1 表します。 ÝÝ ⑤ と書けます。ここで必要なのは，f が 0 ≦ x ≦ 1 で連続かつ非負であることです。f が多項 式である必要はなく，対数を含む関数でも条件を満たせば同じ結果を使えます。ただし，実際 の問題では積全体が最初から ⑤ の形になっているとは限りません。直接処理できる部分を先 に分け，残った部分から 1 k と を見つける必要があります。 n n --- 3 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

• #p4

入試問題解説 補充問題 次の極限を求めよ。 n Y n+k+1 1 2n S1 + log k n!1 k=1 n n+k n+k lim 指針 / アプローチ ▼ 積を二つに分ける ▼ 残りを本問の形に直す n+k+1 の積は隣り合う分母 n+k 2n = log log n+k と分子が消えます。まず，正確に 計算できる部分を処理します。 2 ▼ 本問の仮定を確かめる と変 k 1+ n 形し，対応する関数 f を定めま f が 0 ≦ x ≦ 1 で連続かつ非負 であることを示して ⑤ を使い，二 つの積の極限を掛け合わせます。 す。 解答 (*6) 一つ目は正確に約 求める積を An とする。積を二つに分けると (*6) 分でき，二つ目には本 問の結論を適用でき ます。 n n Y Y 1 2n n+k+1 <$ k< S1 + log An = $ n n + k n +k k=1 k=1 である。第 1 の積は n Y n+k+1 n+2 n+3 2n + 1 2n + 1 = ¢ Ý = ¡! 2 n + 1 n + 2 2n n+1 n + k k=1 ÝÝ ⑥ 2 2 とおく。1 ≦ ≦ 2 より f(x) ≧ 0 で 1+x 1+x k 2n = f # ; であるから，⑤より第 2 の積は あり，f は連続である。(*7) また，log n n+k となる。次に，0 ≦ x ≦ 1 で f(x) = log Z1 e 0 log 2 dx 1+x (*7) ここでは関数 f を自分で定めているた め，連続性と非負性も 解答中で示します。 に近づく。ここで Z1 0 log 1 2 dx = log 2 ¡ [(1 + x) log(1 + x) ¡ (1 + x)]0 = 1 ¡ log 2 1+x であるから，第 2 の積の極限は e1¡log 2 = e である。(*8) 二つの積がともに収束するので，⑥ 2 と合わせて lim An = 2 ¢ n!1 e =e 2 答案記載上の注意点 補充問題では，本問の結論を使う部分と，それ以外の計算を分けて書きます。対応する関数を 定めたら，その連続性と非負性も答案に明記します。 ▼ ポイント 1：二つの積への分解を明記する --- 4 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止 (*8) elog 2 = 2 を用い て指数を整理し，第 1 の積の極限と合わせ ます。

• #p5

入試問題解説 各 k に対する二つの因子を別々に処理するため，最初に積全体を二つの積へ分けます。第 1 2n + 1 と正確に計算します。 n+1 の積は途中の因子が消える様子まで書き， ▼ ポイント 2：本問の仮定まで示す 2 と置いたら，0 ≦ x ≦ 1 における連続性と非負性まで示します。特に， 1+x 2 1 ≦ 1 + x ≦ 2 から ≧ 1 となるため，f(x) ≧ 0 です。 1+x f(x) = log ▼ ポイント 3：指数を最後まで整理する e1¡log 2 のまま止めず，e1¡log 2 = e e = と整理します。第 1 の積の極限 2 と掛け合わ 2 elog 2 せ，答を e までまとめます。 補充問題の解説 1. 一つの積に二つの処理が含まれている n+k+1 は，k を一つ進めると分母と次の分子が一致するため，積を展開すれ n+k 1 k ば正確に約分できます。第 2 の因子は 1 + f # ; の形に直せるため，本問の結論を使いま n n 第 1 の因子 す。積全体を無理に一つの型へ押し込むのではなく，正確に処理できる部分と本問の結論を使 う部分を切り分けることが，この補充問題の一手です。 2. 対数の中の 2 には役割がある 2 ≧ 0 となります。したがって，対数の中の 1+x 2 は，本問の非負性の条件を満たすために働いています。また，この関数の積分は 1 ¡ log 2 0 ≦ x ≦ 1 では 1 ≦ 1 + x ≦ 2 なので，log なので，第 2 の積の極限は e1¡log 2 = e=2 です。これに第 1 の積の極限 2 を掛けると，答は e になります。 3. 正確な計算を優先し，本問を検算にも使う 第 1 の因子は n+k+1 1 = 1+ n n+k Z1 1 適用しても，極限は e 0 1 + x dx 1 k 1+ n とも書けるため，f(x) = 1 として本問を 1+x = elog 2 = 2 と求められます。ただし，この部分は積を展 開すれば有限の n の段階で正確に計算できるため，本解では約分を優先しました。本問の結論 に帰着できるかを見ることと，より直接的な処理を選ぶことは別です。両方の見方が一致する ことで，計算の確認にもなります。 --- 5 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止

入試問題解説 ■ 復習のポイント 本問と補充問題では，次の点をまとめて確認しましょう。 ★★★★★ 対数で積を和に変える：eI から log an ! I を目標に定める ★★★★★ 不等式を差の評価として読む：0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦ x2 を使う 2 ★★★★★ 誤差を和全体で押さえる：1 項の評価で止めず，n 項分を加えた差を評価 する ★★★★☆ 条件の役割を分ける：非負性は対数と不等式，連続性は区分求積と最大値 に使う ★★★★☆ 本問の形を見つける： 1 k と を取り出し，対応する関数の連続性と非 n n 負性まで示す ★★★☆☆ 異なる処理を切り分ける：正確に計算できる積と，本問の結論を使う積に 分ける ★★★☆☆ 最後まで式を整理する：指数を簡単にし，二つの極限を掛け合わせて答を まとめる --- 6 --- © ブリザードマン @HhG2cL9UOLRSz4I 無断転載・共有禁止