【Unity道場スペシャル 2017博多】クォータニオン完全マスター

クォータニオン完全マスター ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン合同会社 安原 祐二

Unity スクリプトリファレンスより抜粋

本セッションの旅程 クォータニオン 複素数 CG オイラー角 座標変換

座標変換

CGの きほん たくさんの点を動かす！ © Unity Technologies Japan/UCL

y 二次元座標 P(1, 2) x

y P(1, 2) P’(-2, 1) x

ある変換で点を移動 P(1, 2) 変換 P’(-2, 1) ある変換＝なんらかのルール

同じ変換でたくさんの点を移動 P(1, 2) Q(2, 0) R(1, 1) 変換 変換 変換 P’(-2, 1) Q’(0, 2) R’(-1, 1)

こういう式にしてみよう P’(x’, y’) = [変換]P(x, y) x’ = ax + by y’ = cx + dy

色々できそう！ x’ = ax + by y’ = cx + dy a=1 b=0 c=0 d=1 なら x’ = 1x + 0y y’ = 0x + 1y x’ = x y’ = y 変化しない変換

色々できそう！ x’ = ax + by y’ = cx + dy a=1 b=0 c=0 d=1 なら a=0 b=1 c=1 d=0 なら x’ = 1x + 0y x’ = 0x + 1y y’ = 0x + 1y y’ = 1x + 0y x’ = x x’ = y y’ = y 変化しない変換 y’ = x xy入れ替え変換

abcdをまとめてしまおう x’ = ax + by y’ = cx + dy ( ) a b c d これを行列と呼ぶ！

変換を行列Mとして P(1, 2) 変換 P’(-2, 1) P’(x’, y’) = [変換]P(x, y) P’=MP

変換を行列Mとして P(1, 2) P’(-2, 1) 変換 P’(x’, y’) = [変換]P(x, y) P’=MP P’= ( ) a b c d P

行列に点ベクトルを掛ける x’ y’ ( ) ( )( ) = a b c d x y x’ = ax + by y’ = cx + dy 例えば ( ) ( )( ) -2 = 1 a b c d 1 2 -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2

行列に点ベクトルを掛ける -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2

( ) ( )( ) -2 = 1 a +b c +d -2 = a1 + b2 1 = c1 + d2 1 2 2

三次元では3x3行列になる x’ = ax + by + cz y’ = dx + ey + fz z’ = gx + hy + iz ( ) a b c d e f g h i 概念は同じなので 以降も二次元で続けます

いろいろな行列 ( ) 2 0 0 2 ２倍に拡大 スケーリング行列 ( cosθ -sinθ sinθ cosθ ) θ回転する 回転行列

デモ

y あれ？ 移動は？ x 行列の値をどう工夫しても移動はできない！

移動するために式を変更 x’ = ax + by y’ = cx + dy 追加！ x’ = ax + by + s y’ = cx + dy + t これで(s,t)で移動できる

行と列の数が同じ 正方行列と呼ぶ 移動を実現するために行列を拡張 ( ) a b c d 何かと都合がいいので 3x3 にする x’ = ax + by + s y’ = cx + dy + t ( ) a b s c d t ( ) a b s c d t 0 0 1

デモ

三次元でも同様にして移動を実現 x’ y’ z’ 1 ()( = a d g 0 b e h 0 c f i 0 s t u 1 x y z 1 )( ) つまり三次元では4x4行列を使う

二次元用3x3行列の 各部分の役割 回転 ( ) a b s c d t 0 0 1 移動

三次元用4x4行列の 各部分の役割 回転 ( a d g 0 b e h 0 c f i 0 s t u 1 ) 移動

三次元用4x4行列の 各部分の役割 回転 transform.rotation Quaternion クォータニオン で作る ( a d g 0 b e h 0 c f i 0 s t u 1 ) 移動 transform.position Vector3 ベクトル で作る

異なる変換をいくつも重ねる P’=(○(○(○(○P)))) これを点ごとに計算するのはたいへん…

いくつも変換する場合は事前に計算しておける P’=(○(○(○(○P)))) P’=○○○○P M=○○○○ を 事前に計算して… P’=MP 点ごとにMを掛ければ済む

クォータニオン 複素数 CG オイラー角 座標変換

ＣＧに応用する行列

３つの変換行列 • モデル行列 • ビュー行列 • プロジェクション行列

すべての変換前 モデリングした物体の座標 データにはこの座標が 格納されている

Transformで 移動・回転 この変換が モデル行列

シーンにはカメラがある カメラ Transformで 移動・回転 z

カメラが原点・ゼロ回転 になるように変換 z 空間全体をモニタの位置に合わせる！ この変換が ビュー行列

画角や near, far を処理 w に z を格納など… この変換が プロジェクション行列

Unity組み込みシェーダ UnityShaderVariables.cginc より抜粋 M:モデル V:ビュー P:プロジェクション

モニタに映すための 透視変換 遠くのものを小さく！ この変換は 行列ではなく奥行きで割る

透視変換のようす

クォータニオン 複素数 CG オイラー角 座標変換

オイラー角方式

二次元の回転はシンプル 回転軸はひとつ ( cosθ -sinθ sinθ cosθ ) θ回転の 回転行列

y 三次元では３軸の 回転量をそれぞれ記述 直感的！ x z あらゆる姿勢を表現可能 これがオイラー角方式

Unity の Inspector の Rotation は… 表示に関しては オイラー角方式

オイラー角方式の回転には順番がある Z X Ｚ軸まわりの回転行列 Y Ｙ軸まわりの回転行列 Ｘ軸まわりの回転行列 P’=YXZP Unityは ZYXの順番

プログラム例： オイラー角で作った回転を代入 transform.rotation = Quaternion.Euler(x, y, z); ① ② ③ 変換を３回重ねている

クォータニオン 複素数 CG オイラー角 座標変換

複素数と複素平面

クォータニオンは 複素数の拡張

問題

は虚数単位

虚数単位 虚数の定義

複素数 ：実部 ：虚部

y 普通の平面 2 P(1, 2) 1 x

虚軸 複素平面 2 1+2i 1 実軸

虚軸 半径１の円周上の点を 考える 実軸 単位円と呼ぶ

虚軸 1+0i つまり 1 実軸

虚軸 -1+0i つまり -1 1 実軸

虚軸 0+i つまり i -1 1 実軸

虚軸 i -1 1 0-i つまり -i 実軸

虚軸 i -1 1 -i 実軸

虚軸 i 45° -1 1 -i 実軸

虚軸 i sin45° 45° cos45° -1 -i 1 実軸

虚軸 i cos45°+isin45° 0.7+0.7iぐらい sin45° 45° cos45° -1 -i 1 実軸

虚軸 i cosθ+isinθ sinθ θ cosθ -1 -i 1 実軸

重大な事実 単位円上の点は回転だった

虚軸 i ゼロ回転 -1 1 -i 実軸

虚軸 i 180°回転 -1 1 -i 実軸

虚軸 i -1 90°回転 1 -i 実軸

虚軸 i -1 1 270°回転 -i 実軸

虚軸 i -1 1 実軸 もしくは -90°回転 -i 270°と-90°は 同じ意味

もっと重大な事実 点と点を掛けると回転する

虚数の性質

虚軸 i i は90°回転 -1 i 1 -i 実軸

虚軸 2 i は i をさらに 90°回転 i -1 i 1 つまり i 2 = -1 -i 実軸

虚軸 -1をさらに 180°回転 i -1 -1 1 実軸 つまり (-1) 2 = 1 -i

虚軸 i 0.7+0.7i -1 1 -i 実軸

虚軸 i 0.98i 0.7+0.7i -1 1 -i 実軸

虚軸 = 回転角を足す と 複素数を掛ける は 同じ意味！ cos2θ+isin2θ i (cosθ+isinθ) cosθ+isinθ 2θ θ -1 1 -i 実軸 2

ところで… この方程式を解いてみよう

虚軸 i -1 1 -i 実軸

虚軸 i 120° -1 1 -i 実軸 から正三角形！

クォータニオン 複素数 CG オイラー角 座標変換

クォータニオン

考案者はハミルトン （William Rowan Hamilton 1805-1865) 「複素平面の三次元版は 作れないものか…」

虚軸を３つにすればうまくいく！ 複素数 クォータニオン i が虚数単位 i, j, kが虚数単位 i 2 =-1 i 2 =-1 ij=k ji=-k j 2 =-1 k 2 =-1 jk=i ki=j kj=-i ik=-j 驚愕のアイデア！

クォータニオンは複素数の三次元版 複素数 クォータニオン a+ib a+ib+jc+kd 複素数の要素はふたつ クォータニオンの要素は４つ

クォータニオン要素を x, y, z, w とする ix+jy+kz+w (x, y, z, w) 虚部 実部

複素平面の回転軸は 固定だった

ix+jy+kz+w 立体の場合 (x, y, z, w) (x, y, z) 回転軸が 虚部のベクトル 虚部 実部

複素数の回転と クォータニオンの回転 複素数 クォータニオン cosθ+isinθ θ θ cosー+nsinー 2 2 n=inx+jny+knz n(nx, ny, nz)は回転軸のベクトル

重大な事実 あらゆる回転は ひとつの軸回転で表現できる そしてクォータニオンは 軸回転を表現する

あらゆる回転は ひとつの軸回転で表現できる クォータニオンなら 一発で決まる！

クォータニオンのテクニック

便利なテクニック Slerp (Spherical Linear Interpolation):球面線形補間 transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, target_rotation, 0.1f); 現在の値 目標の値 適当な率

凝ったテクニック バネトルク 目標との差分に比例したトルクをかける

基本戦略： 目標への差分を求めて、トルクに変換する

差分クォータニオンの求めかた 差分=目標の値×現在の値 -1

実演 バネトルク実装例

４要素の符号を反転しても 同じ回転になる (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w)

実は回転の方向が異なる (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w)

バネトルクを完成させる テクニック (x, y, z, w) (-x, -y, -z, -w) wが負のときに反転すると 短い方の回転になる

修正済みコード 追加

水平を維持しないテクニック var rot = Quaternion.LookRotation(diff); 第二引数に Vector.up が省略されている var up = transform.TransformVector(Vector3.up); var rot = Quaternion.LookRotation(diff, up); 自分の姿勢から up ベクトルを作る

修正済みコードその２ 追加

デモ

このあと学習を続けるなら… • トルクや物理を詳しく知りたい→Unity道場札幌講演をぜひ！ https://www.youtube.com/watch?v=FqjM9oujyNE&feature=youtu.be • クォータニオンの応用例を知りたい→Unite2017Tokyoをぜひ！ https://www.youtube.com/watch?v=6EtTI5xC524 27分あたりから θ θ θ cosー+nsinー ー 2 2 と、 2 になるのか気になる→ ブログ「クォータニ • なんで オンで回転を表現する定義にθ/2が使用される理由」をぜひ！ http://qiita.com/yuji_yasuhara/items/a5b7c489e1d521adbd72

• https://www.youtube.com/watch?v=FqjM9oujyNE&feature=youtu.be
• https://www.youtube.com/watch?v=6EtTI5xC524&index=39&list=PLFw9ryLdiLzYrrQdnksr0cOiYpLzKfT5B&t=807s
• http://qiita.com/yuji_yasuhara/items/a5b7c489e1d521adbd72

参考：Inverse自前実装 虚部を反転するだけで逆クォータニオン

虚軸 共役複素数と呼ぶ i マメ知識 -1 1 -i 実軸 逆変換は 虚部の符号を反転

おしまい