伝達関数の求め方とラプラス変換

パワエレ技術者向け 伝達関数の求め方とラプラス変換 パワエレ制御の基礎技術講座より抜粋 株式会社プリンシパルテクノロジー 大羽 規夫 パワーエレクトロニクス制御の設計開発技術

３．電流制御の理論的なモデリング （１） 理論的なモデリングとは

理論的に扱うとは？ vR(t) i(t) v1(t) R v2(t) C 単純なRC直列回路 「１次遅れ系」や「１次ローパスフィルタ」と呼ばれる回路

理論的に扱うとは？ vR(t) i(t) v1(t) R v2(t) C 問題： v1 と v2 との関係を R と C を使って表してください v2 =・・・・

RC直列回路の回路方程式 vR(t) i(t) v1(t) R v2(t) C  v1 (t ) − vR (t ) = v2 (t )  この回路の vR (t ) = i (t )  R 回路方程式は？  i (t ) = C dv2 (t )  dt この連立微分方程式が回路の特性を理論的に表している

連立微分方程式を解く  v1 (t ) − vR (t ) = v2 (t )  vR (t ) = i (t )  R  i (t ) = C dv2 (t )  dt この連立微分方程式から i(t) と vR(t) を消去して v2(t) をv1(t) で表すと？ − t CR t CR 1 v2 (t ) =v2(t) =・・・・ e  e  v1 (t ) dt CR

参考：解の導出例（解けなくても問題ありません） d v2 (t ) + v2 (t ) dt d 1 1 v2 (t ) + v2 (t ) = v1 (t ) dt CR CR t t t d 1 1 e CR v2 (t ) + e CR v2 (t ) = e CR v1 (t ) dt CR CR t t  d CRt  d 1 CR CR e v2 (t ) +  e v2 (t ) = e v1 (t ) dt dt CR   v1 (t ) = CR  v1 (t ) − vR (t ) = v2 (t )  vR (t ) = i (t )  R  i (t ) = C dv2 (t )  dt t t  d  CR 1 CR  e  v2 (t )  = e v1 (t )  dt  CR  vR(t) i(t) R e v1(t) v2(t) t CR t 1  v2 (t ) = e CR  v1 (t )dt  CR C t t 1 − CR CR v2 (t ) = e  e  v1 (t ) dt CR

２つの vv22(t) をシミュレーションで比較 V1 V2_a V V 20 ① RC回路シミュレーション ② 解の数式演算 1 50u V2_b 1 CR 1/(20*50u) K V 1/(20*50u) v1 (t ) v2 (t ) K e e 2.71828 x 2.71828 x a 1 CR a -1 K t t t 1 − CR CR v2 (t ) = e  e  v1 (t ) dt CR

解をシミュレーションで確認 ① RC回路の結果 ② 数式演算の結果 入力波形に関係なくRC回路と数式演算の結果は一致する

２つの vv22(t) をシミュレーションで比較 V1 V2_a V V 20 ① RC回路シミュレーション ② 解の数式演算 1 50u V2_b 1 CR V 1/(20*50u) v1 (t ) v2 (t ) K e e 2.71828 x 2.71828 x a 1/(20*50u) K 1 CR a -1 K t この数式… わかりますか？ t t 1 − CR CR v2 (t ) = e  e  v1 (t ) dt CR

回路追加 V1 V2_a V V 20 ① RC回路シミュレーション ② 解の数式演算 1 50u V2_b 1/(20*50u) v1 (t ) V K v2 (t ) V1 1 CR e e 2.71828 x 2.71828 x a 1/(20*50u) a -1 K 1 CR ③ H(s) K t V2_c V V1 H(s)

シミュレーション結果 ① RC回路の結果 ② 数式演算の結果 ③ H(s)の結果

PSIMの伝達関数ブロック V2_a V1 V 20 V 1 H(s) 50u PSIMの伝達関数ブロック V2_b V 1/(20*50u) s  0 +1 H (s) = a sCR + 1 K V1 2.71828 x a 1/(20*50u) 伝達関数ブロックのパラメータ 2.71828 x -1 K K V2_c １つの伝達関数ブロックだけで 回路の特性を表している V V1 H(s)

伝達関数とは パワエレ技術者が使う 「伝達関数」とは？ システムを理論的に扱うための 回路方程式の解 伝達関数 t t 1 − CR CR v2 (t ) = e  e  v1 (t ) dt CR 1 V2 ( s ) = V1 ( s ) sCR + 1 どちらでも好きな方を使ってください

ｔ領域とｓ領域を往来するためのラプラス変換 ラプラス変換とは t 領域の関数 f (t) を s領域の関数 F(s) へ 変換すること ◆ t 領域とは：時間 t [sec] の世界 ◆ s領域とは：複素周波数 s [rad/sec]の世界 ➢ ラプラス変換と逆ラプラス変換によって t 領域と s領域は自在に往来可能 ➢ 対象となる回路や制御系を解析する視点を 変えるのがラプラス変換

ｔメガネ ｓメガネ というイメージ vR(t) i(t) v1(t) R v2(t) C sメガネ tメガネ F (s ) f (t ) t t 1 − CR CR v2 (t ) = e  e  v1 (t ) dt CR 1 V2 ( s ) = V1 ( s ) sCR + 1 どちらのメガネを使うかは自由

ラプラス変換の定義：覚える必要はありません ラプラス変換の定義 この定義式で f (t) は F(s) へ変換される この定義を知らなくても困ることはありません

ラプラス変換は変換表を使う さえ不要 f (t) F(s) このような 「ラプラス変換表」 は インターネットから簡単に入手可能 伝達関数を得るためのラプラス変換 f (t) ⇨ F(s) 小文字の関数 ⇨ 大文字の関数 t ⇨ s 伝達関数を得たいだけならば これだけ覚えておけばＯＫ！ 微分は s を掛ける 積分は s で割る

回路方程式をラプラス変換して解いてみよう vR(t)  v1 (t ) − vR (t ) = v2 (t )  vR (t ) = i (t )  R  i (t ) = C dv2 (t )  dt i(t) ラプラス変換 v1(t) R V1 ( s ) − VR ( s ) = V2 ( s )  VR ( s ) = I ( s )  R C v2I(t)( s ) = sCV 2 (s)  I(s) と VR(s) を消去して V2(s) をV1(s) で表すと？ V2 ( s ) = 1 V1 ( s ) 1 + sCR