linhyp

§1. 2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題 n ≥ 1 とし，波動方程式の微分作用素である d’Alembertian □ = ∂t2 − ∆ を一般 化した微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 について，初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える．ただし，ここで • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn )：実数値，g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • F (t, x)：外力（given），実数値 • u0 (x), u1 (x)：初期値（given），実数値 奏理音ムイ（Vtuber） 1 / 74

初期値問題の適切性 初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ R × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn が適切（well-posed）であるとは， 1 解の存在 2 解の一意性 3 解のデータに関する連続依存性 が成立することをいう（Hadamard, 1902）． 奏理音ムイ（Vtuber） 2 / 74

双曲型作用素 以下，すべての (t, x) ∈ R × Rn について g 00 (t, x) 6= 0 とする．微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対し，最高階の微分の部分 L0 = n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を L の主要部（principal part）という． また，L0 の ∂ = (∂0 , ∂1 , . . . , ∂n ) を ξ = (ξ0 , ξ ′ ) = (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) でおきかえて 得られる ξ の多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を L の特性多項式（characteristic polynomial）という． 奏理音ムイ（Vtuber） 3 / 74

いま，g 00 (t, x) 6= 0 の仮定より，特性多項式 p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 を ξ0 の多項式とみると，2 次の多項式となる．その根は   1/2  2   n n n  X   X X 1  ± ′ 0j 0j  00 jk  .  λ (t, x, ξ ) = 00 − g ξj ± g ξj ξk g ξj −g    g  j=1  j=1 j,k=1 これらを L の特性根（characteristic roots）という． 奏理音ムイ（Vtuber） 4 / 74

Definition 1 微分作用素 L が（t 方向に）双曲型（hyperbolic）であるとは，任意の (t, x, ξ ′ ) ∈ R × Rn × Rn に対して，L の特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) が実数であるときを いう． また，L が正規双曲型（regularly hyperbolic）であるとは，L が双曲型でありかつ， inf (t,x)∈R×Rn |ξ ′ |=1 |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| > 0 が成立するときをいう． ※ L が d’Alembertian に適当な意味で十分近い （i.e., 行列 (g jk )0≤j,k≤n が diag(1, −1, . . . , −1) に十分近い）ならば，L は正規 双曲型となる． 目標 L が d’Alembertian に適当な意味で十分近いときに，L に対する初期値問題の適 切性を証明すること． 奏理音ムイ（Vtuber） 5 / 74

§2. 弱解の定義 T > 0 として，微分作用素 L= n X j,k=0 jk g (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn を考える．係数 g jk , bj , a は C 2 ([0, T ) × Rn ) に属し，実数値であるとする．また g jk = g kj とする． u ∈ C 2 ([0, T ) × Rn ) は (IVP) の解であるとしよう ∗ ．C 2 級の関数で (IVP) を各 点の意味でみたすものを古典解（classical solution）とよぶ． ∗ このとき u ∈ C 2 (Rn ), u ∈ C 1 (Rn ), F ∈ C([0, T ) × Rn ) がしたがう． 0 1 奏理音ムイ（Vtuber） 6 / 74

いま，テスト関数 ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) を任意に取り，方程式 Lu = F に掛 けて (0, T ) × Rn で積分すると， ZZ ZZ ψF dtdx = ψLu dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn ZZ = ψ (0,T )×Rn  n X  g jk ∂j ∂k u + n X j=0 j,k=0   bj ∂j u + au dtdx.  ここで，部分積分により， ZZ ψg 00 ∂02 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx − Z =− Rn Z ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx + ZZ + (0,T )×Rn 奏理音ムイ（Vtuber） ∂0 (ψg 00 )∂0 u dtdx (0,T )×Rn Rn (∂0 (ψg 00 ))(0, x)u0 (x) dx ∂02 (ψg 00 )u dtdx. 7 / 74

同様に， ZZ ψ (0,T )×Rn n X ZZ g ∂j ∂0 u dtdx ZZ n X (0,T )×Rn n X = ZZ ψ (0,T )×Rn j=1 =− Z j0 Rn j=1 n X ! 0k g ∂0 ∂k u dtdx も同じ k=1 ∂j (ψg j0 )∂0 u dtdx j=1 ZZ n X (∂j (ψg j0 ))(0, x)u0 (x) dx + ∂0 ∂j (ψg j0 )u dtdx, (0,T )×Rn j=1 ψb0 ∂0 u dtdx (0,T )×Rn Z =− Rn ZZ ψ(0, x)b0 (0, x)u0 (x) dx − 奏理音ムイ（Vtuber） ∂0 (ψb0 )u dtdx. (0,T )×Rn 8 / 74

以上より，作用素 L∗ を L∗ ψ = n X j,k=0 ∂j ∂k (g jk ψ) − n X ∂j (bj ψ) + aψ j=0 と定義すると，等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ (L∗ ψ)u dtdx = (0,T )×Rn Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  Rn j=1 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 9 / 74

上で得られた等式は，u の微分可能性がなくても意味をもつ式である．これをも とに，(IVP) の弱解を以下のように定義する． 記号 s ∈ N ∪ {0} に対し，  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である．また，負の整数 s に対して， H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める † ． また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し， C(I; X) := {u : I → X;（X の位相について）連続 }, C 1 (I; X) := {u : I → X;（X の位相について）C 1 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. † Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる． 奏理音ムイ（Vtuber） 10 / 74

Definition 2 s ∈ N ∪ {0} とする．u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ); H s (Rn )) と する．u ∈ C([0, T ); H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ); H s (Rn )) が初期値問題 (IVP) の弱解 （weak solution）であるとは，任意の ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) に対して等式 ZZ ψF dtdx (0,T )×Rn ZZ = (L∗ ψ)u dtdx n (0,T )×R Z − ψ(0, x)g 00 (0, x)u1 (x) dx Rn   Z  n  X + (∂0 (ψg 00 ))(0, x) − (ψb0 )(0, x) + 2 (∂j (ψg j0 ))(0, x) u0 (x) dx  Rn  j=1 が成立するときをいう ． s が負の整数のときも，空間変数の積分を ⟨·, ·⟩H s ,H −s の意味に適宜読み替え，係数にも追加の 滑らかさを仮定すれば同様にして弱解が定義できる． 奏理音ムイ（Vtuber） 11 / 74

§3. エネルギー不等式
§3.1 d’Alembertian に対するエネルギー不等式
u′ = ∇u := (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u)


1


g0 = (g0jk )j,k=0,...,n := diag(1, −1, . . . , −1) = 

□ := ∂02 − ∆ =







−1
..

.
−1

Pn

jk
j,k=0 g0 ∂j ∂k

Theorem 3
n ≥ 1, T > 0 とする．関数 u = u(t, x) は，u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ，ある
R > 0 が存在して supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする．このとき，
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +

Z t
k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds (t ∈ [0, T ])
0

が成立する．特に □u = 0 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) のときは等号で成立する：

ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) = ku′ (0, ·)kL2 (Rn )
奏理音ムイ（Vtuber）

(t ∈ [0, T ]).
12 / 74

証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する： e0 (u) := |u′ |2 = n X |∂k u|2 k=0 = g000 |∂0 u|2 − n X g0jk ∂j u∂k u, j,k=1 （後で一般化する場合に見通しを良くするため，あえてこのようにも書いておく） ej (u) := −2∂0 u∂j u n X =2 g0jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 このとき，次が成立する． (1) ′ 2 2∂0 u□u = ∂0 |u | − 2 n X j=1 奏理音ムイ（Vtuber） ∂j (∂0 u∂j u) = n X ∂j ej (u). j=0 13 / 74

式 (1) の証明：  ∂0 |u′ |2 = ∂0 |∂0 u|2 + n X   |∂j u|2  = 2 ∂02 u∂0 u + j=1 −2 n X ∂j (∂0 u∂j u) = −2 j=1 n X  ∂0 ∂j u∂j u , j=1 n X
∂j ∂0 u∂j u + ∂0 u∂j2 u . j=1 この右辺どうしの和をとると 2∂0 u□u になる． 奏理音ムイ（Vtuber） 14 / 74

supp u ∈ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} に注意して ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) を t で微分す ると， Z ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = ∂0 |u′ |2 dx n R   Z n X ∂0 |u′ |2 − 2 ∂j (∂0 u∂j u) dx = Rn j=1 （∵ u は空間遠方で 0） Z n X = Rn j=0 ∂j ej (u) dx Z =2 Rn ′ ∂0 u□u dx （∵ 式 (1)） ≤ 2ku (t, ·)kL2 (Rn ) k□u(t, ·)kL2 (Rn ) . 下から 2 行目までの等式から，特に □u ≡ 0 なら ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = 0 となり ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) は一定となることが分かる（定理の主張の後半部分）． 奏理音ムイ（Vtuber） 15 / 74

一方，左辺は（ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) > 0 である限りは） ∂0 ku′ (t, ·)k2L2 (Rn ) = 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) であるから，これを前の不等式に用いて 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) k□u(t, ·)kL2 (Rn ) , すなわち ∂0 ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ k□u(t, ·)kL2 (Rn ) . （もしすべての s ∈ [0, t] について ku′ (s, ·)kL2 (Rn ) > 0 ならば）上式で t を s に置 き換えたものを [0, t] 上で積分して， ′ ku (t, ·)k L2 (Rn ) ′ Z t ≤ ku (0, ·)k L2 (Rn ) k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds + 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 16 / 74

もし ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) > 0 かつ，ある s ∈ [0, t) について ku′ (s, ·)kL2 (Rn ) = 0 とな る場合には，そのような s のうち [0, t) における最大のもの s∗ をとって，[0, t] の 代わりに s ∈ [s∗ , t] で積分すれば ′ ku (t, ·)k L2 (Rn ) Z t ′ ≤ ku (s∗ , ·)k L2 (Rn ) k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds + s∗ Z t k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds = s∗ （∵ ku′ (s∗ , ·)kL2 (Rn ) = 0 ） ′ Z t ≤ ku (0, ·)kL2 (Rn ) + k□u(s, ·)kL2 (Rn ) ds 0 となってやはり求める不等式を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 17 / 74

§3.2. 変数係数双曲型作用素に対するエネルギー不等式 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k j,k=0 を考える． • g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1) • rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x) とし， n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する． Lemma 4 上の仮定のもとで，L は（t 方向に）正規双曲型となる． 奏理音ムイ（Vtuber） 18 / 74

証明 特性多項式は， p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk j,k=0 = ξ02 − |ξ ′ |2 + n X rjk (t, x)ξj ξk j,k=0 = (1 + r 00 )ξ02 + 2 n X ! 0k r ξk ξ0 − |ξ ′ |2 + k=1 n X rjk ξj ξk . j,k=1 これを ξ0 の 2 次多項式とみて，判別式 D を計算すると，   !2 n n X X D = r0k ξk + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − rjk ξj ξk  . 4 k=1 奏理音ムイ（Vtuber） j,k=1 19 / 74

ここで，仮定 n X |rjk (t, x)| ≤ j,k=0 1 2 ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) より， 1 ≤ 1 + r00 ≤ 2 2 および |ξ ′ |2 − n X  rjk ξj ξk ≥ |ξ ′ |2 −  j,k=1  |rjk | |ξ ′ |2 j,k=1 ≥ 奏理音ムイ（Vtuber） n X 1 ′2 |ξ | . 2 20 / 74

したがって，|ξ ′ | = 1 のとき， D = 4 n X !2 r0k ξk  + (1 + r00 ) |ξ ′ |2 − k=1 n X  rjk ξj ξk  ≥ j,k=1 1 4 となり，D ≥ 1 を得る．よって特性根 λ± (t, x, ξ ′ ) は実であり， inf (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 n |λ+ (t, x, ξ ′ ) − λ− (t, x, ξ ′ )| ≥ inf n (t,x)∈R×R |ξ ′ |=1 D 1 ≥ 00 1+r 2 が成立する．よって作用素 L は（t 方向に）正規双曲型である． 奏理音ムイ（Vtuber） 21 / 74

エネルギー不等式
• g jk ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ), g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n), L =

n
X

g jk (t, x)∂j ∂k

j,k=0

• (g0jk ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x),

n
X
j,k=0

|rjk (t, x)| ≤

1
2

((t, x) ∈ [0, T ] × Rn )

Theorem 5
n ≥ 1, T > 0 とし，係数 g jk は上の仮定をみたすとする．関数 u = u(t, x) は，
u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ，ある R > 0 が存在して
supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする．このとき，


Z t
kLu(s, ·)kL2 (Rn ) ds
ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +
0


Z t X
n
× exp 
2
k∂i g jk (s, ·)kL∞ (Rn ) ds (t ∈ [0, T ]).
0

奏理音ムイ（Vtuber）

i,j,k=0

22 / 74

証明 e0 (u), ej (u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する： n X e0 (u) := g 00 |∂0 u|2 − g jk ∂j u∂k u j,k=1 = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − n X rjk ∂j u∂k u, j,k=1 ej (u) := 2 n X g jk ∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n). k=0 また， R0 := (∂0 g 00 )|∂0 u|2 − n X (∂0 g jk )∂j u∂k u, j,k=1 Rj := 2 n X (∂j g jk )∂0 u∂k u (j = 1, . . . , n) k=1 とおく． 奏理音ムイ（Vtuber） 23 / 74

このとき，次が成立する． (2) 2∂0 uLu = n X ∂j ej (u) − j=0 n X Rj . j=0 (∵) 左辺は 2∂0 uLu = 2∂0 u n X g jk ∂j ∂k u. j,k=0 右辺第 1 項は，g jk =g ∂0 e0 (u) = 2g 00 kj を用いると ∂0 u∂02 u − 2 n X g jk ∂j u∂0 ∂k u + R0 , j,k=1 ∂j ej (u) = 2 n X g jk (∂j ∂0 u∂k u + ∂0 u∂j ∂k u) + Rj (j = 1, . . . , n) k=0 となる．これらの和を計算すると式 (2) が成立することがわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 24 / 74

また，e0 (u) について次が成立する． 1 ′2 |u | ≤ e0 (u) ≤ 2|u′ |2 2 n X (∵) e0 (u) = |u′ |2 + r00 |∂0 u|2 − rjk ∂j u∂k u だった．ここで (3) j,k=1 r00 |∂0 u|2 ≤ n X rjk ∂j u∂k u ≤ j,k=1 1 |∂0 u|2 , 2 n X j,k=1 |rjk | n X 1X |∂l u|2 . 2 n |∂l u|2 ≤ l=1 l=1 よって， 1 1X 1 e0 (u) ≥ |u | − |∂0 u|2 − |∂j u|2 ≥ |u′ |2 , 2 2 2 n ′ 2 l=1 n 1X 1 e0 (u) ≤ |u′ |2 + |∂0 u|2 + 2 2 奏理音ムイ（Vtuber） |∂j u|2 ≤ 2|u′ |2 . l=1 25 / 74

さらに，R := n X Rj について次が成立する． j=0 n X |R| ≤ 4e0 (u) (4) |∂i g jk |. i,j,k=0 (∵) |R| ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + ≤ |∂0 g 00 ||∂0 u|2 + n X j,k=1 n X j,k=1 n X ≤ 2|u′ |2 |∂0 g jk ||∂j u∂k u| + 2 |∂0 g jk | n X l=1 |∂l u|2 + n X j,k=1 n X |∂j g jk ||∂0 u∂k u| |∂j g jk |(|∂0 u|2 + |∂k u|2 ) j,k=1 |∂i g jk | i,j,k=0 n X ≤ 4e0 (u) |∂i g jk |. i,j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） 26 / 74

以上の準備のもと， Z E(t) := Rn e0 (u)(t, x) dx を評価しよう． Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx Rn Z n X = Rn j=0 式 (2) ∂j ej (u) dx Z = Rn （∵ u は空間遠方で 0） Z 2∂0 uLu dx + R dx Rn ≤ 2kLu(t)kL2 (Rn ) k∂0 u(t)kL2 (Rn ) + kRkL1 (Rn )   n X 式 (3),(4) √ 1 k∂i g jk (t)kL∞ (Rn )  E(t). ≤ 2 2kLu(t)kL2 (Rn ) E(t) 2 + 4  i,j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） 27 / 74

よって，（E(t) > 0 である限りは）   1 1 1 ∂0 E(t) 2 = E(t)− 2 ∂0 E(t) 2 ≤ √  2kLu(t)kL2 (Rn ) + 2  n X  k∂i g jk (t)kL∞ (Rn )  E(t) 2 . 1 i,j,k=0 したがって，   ∂0 E(t) exp −2 1 2 Z t X n  k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 ≤ ≤ √ √  2kLu(t)kL2 (Rn ) exp −2 Z t X n  k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds 0 i,j,k=0 2kLu(t)kL2 (Rn ) . 奏理音ムイ（Vtuber） 28 / 74

よって，（もしすべての s ∈ [0, t] で E(s) > 0 なら）上式を [0, t] で積分して，   √ Z t E(t) ≤ E(0) + 2 kLu(s)kL2 (Rn ) ds 0   Z t X n × exp  2 k∂i g jk (s)kL∞ (Rn ) ds . 1 2 1 2 0 i,j,k=0 最後に式 (3) を使えば   Z t ku′ (t)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0)kL2 (Rn ) + kLu(s)kL2 (Rn ) ds 0   Z t X n jk 2 k∂i g (s)kL∞ (Rn ) ds . × exp  0 i,j,k=0 ※ [0, T ] のどこかで E(t) = 0 となる場合の議論については Theorem 3（前回） と同じ． 奏理音ムイ（Vtuber） 29 / 74

§4 Sobolev 空間における弱解の存在と一意性 n ≥ 1, T > 0 とし，2 階線形の双曲型偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + j,k=0 n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn を考える．この節では，係数は滑らか： g jk , bj , a ∈ C ∞ ([0, T ] × Rn ) (j, k = 0, . . . , n) かつすべての導関数が有界： ∂ α g jk , ∂ α bj , ∂ α a ∈ L∞ ([0, T ] × Rn ) (α ∈ Zn+1 ≥0 , j, k = 0, . . . , n) であるとする．また，g jk = g kj とする． 奏理音ムイ（Vtuber） 30 / 74

また，前節に引き続き， rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する．Lemma 4 より，このとき L は（t 方向に）正規双曲型となる． さらに，最初から g 00 で全体を割っておくことにして，以下 g 00 ≡ 1 であるとする． 奏理音ムイ（Vtuber） 31 / 74

Sobolev ノルムに関するエネルギー不等式 Theorem 6 s ∈ Z とする．u を u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )) l=0 をみたす関数とし， F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) を仮定する．このとき，ある定数 Cs,T > 0 が存在して，任意の t ∈ (0, T ) に対し   Z t X X k∂ α u(0, ·)kH s + kF (τ, ·)kH s dτ  k∂ α u(t, ·)kH s ≤ Cs,T  |α|≤1 |α|≤1 0 が成立する． 奏理音ムイ（Vtuber） 32 / 74

証明
Step 1 : s = 0 のとき
まず，次のことを確認する．

Claim 1
Theorem 5 の結論

ku′ (t, ·)kL2 (Rn ) ≤ 2 ku′ (0, ·)kL2 (Rn ) +

× exp 

Z t
k
0

Z t

n
X

2
0

n
X
j,k=0


g jk (t, x)∂j ∂k u(τ, ·)kL2 (Rn ) dτ 


k∂i g jk (τ, ·)kL∞ (Rn ) dτ 

(t ∈ [0, T ]).

i,j,k=0

は，仮定を「u ∈ C 2 ([0, T ] × Rn ) かつ supp u ⊂ [0, T ] × {x ∈ Rn ; |x| < R}」から

u ∈ C([0, T ]; H 2 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; L2 (Rn ))
に変えてもそのまま成立する．
奏理音ムイ（Vtuber）

33 / 74

Claim 1 の証明 Theorem 5 の証明の中で問題になるのは Z ∂0 E(t) = ∂0 e0 (u) dx, Rn Z ∂j ej (u) dx = 0 (j = 1, . . . , n) Rn の成立だけだが，u の仮定と e0 (u) := |∂0 u|2 −  n X Pn j,k=1 g jk ∂j u∂k u から  d  (∂0 u, ∂0 u)L2 − (g jk ∂j u, ∂k u)L2  dt j,k=1   n n X X (∂0 g jk ∂j u, ∂k u)L2 (g jk ∂j u, ∂0 ∂k u)L2  − = 2 (∂0 u, ∂02 u)L2 − ∂0 E(t) = j,k=1 Z = Rn j,k=1 ∂0 e0 (u) dx. よって一つ目の等式が成立． 奏理音ムイ（Vtuber） 34 / 74

次に二つ目の等式を示す．ej (u) の定義 ej (u) := 2 そう． Pn k=0 g jk ∂0 u∂k u を思い出 t ∈ [0, T ] を任意にとり固定する．埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H s (Rn ) の稠密性から， ∞ ∞ n 点列 {φm }∞ m=1 , {ψl }l=1 ⊂ C0 (R ) で φm → ∂k u(t) (m → ∞), ψl → ∂0 u(t) (l → ∞) in H 1 (Rn ) となるものが存在する．これより， Z ∂j (g jk (t, x)∂0 u(t, x)∂k u(t, x)) dx = Rn Z lim l,m→∞ Rn ∂j (g jk (t, x)ψl (x)φm (x)) dx =0 となるので， Z Rn ∂j ej (u) dx = 0 が成立することがわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 35 / 74

次に，軟化子を用いて次のようにさらに仮定を弱めることができる． Claim 2 Theorem 5 の結論は仮定をさらに u ∈ C([0, T ]; H 1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Rn )) ∩ C 2 ([0, T ]; H −1 (Rn )), n X G := g jk ∂j ∂k u ∈ L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) j,k=1 に変えてもそのまま成立する． Claim 2 の証明 ρ ∈ C0∞ (Rn ), ρ ≥ 0, Z ρ(x) dx = 1 をみたす関数 ρ をとる． Rn −n ε > 0 に対し ρε (x) := ε ρ(x/ε) とおく． （kρε kL1 = kρkL1 に注意する． ） 奏理音ムイ（Vtuber） 36 / 74

n X g jk (t, x)∂j ∂k u(t, x) = G(t, x) j,k=1 の両辺と ρε との空間変数についてのたたみこみをとる． Z uε (t, x) := (ρε ∗ u(t, ·))(x) = ρε (x − y)u(t, y) dy Rn とおくと， ρε ∗ (g jk ∂j ∂k u) = g jk ∂j ∂k (ρε ∗ u) − [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u. ただし [A, B] は交換子 [A, B] = AB − BA を表す．さらに Gε := ρε ∗ G とお くと， n n X X g jk ∂j ∂k uε = Gε + [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]u j,k=1 j,k=1 | {z } =:Rε u 奏理音ムイ（Vtuber） 37 / 74

uε ∈ T2 l 2−l (Rn )) より，Claim 1 を適用することができて， l=0 C ([0, T ]; H   Z t ku′ε (t)kL2 ≤ 2 ku′ε (0)kL2 + (kGε (τ )kL2 + kRε u(τ )kL2 ) dτ 0   Z t X n × exp 2 k∂i g jk (τ )kL∞ dτ  . 0 i,j,k=0 この式で ε → 0 の極限移行を行う．まず軟化子の性質から ε → 0 のとき u′ε (t) → u′ (t), Gε → G u′ε (0) → u′ (0), in L2 (Rn ), in L1 ([0, T ]; L2 (Rn )) がわかる ‡ ． ‡ 一般に f ∈ L2 (Rn ) に対し ∥ρ ∗ f ∥ ε L2 ≤ ∥f ∥L2 と limε→0 ∥ρε ∗ f − f ∥L2 = 0 が成立するこ と（[Racke, Lemma 4.2] 等を参照）および Lebesgue の収束定理からわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 38 / 74

最後に Rε u を含む項については，次の補題と Lebesgue の収束定理を適用すれば Z t kRε u(τ )kL2 dτ = 0 lim ε→0 0 となることがしたがう． Lemma 7 f ∈ H 1 (Rn ) に対し， (i) f に依らないある定数 C(g jk , ρ) > 0 が存在して， k[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f kL2 ≤ C(g jk , ρ)kf kH 1 . (ii) limε→0 k[ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f kL2 = 0. Lemma 7 の証明 埋め込み C0∞ (Rn ) ⊂ H 1 (Rn ) の稠密性から，f ∈ C0∞ (Rn ) として (i), (ii) を示せ ば十分である． 奏理音ムイ（Vtuber） 39 / 74

(i) を示す． [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) = ρε ∗ (g jk ∂j ∂k f ) − g jk (ρε ∗ ∂j ∂k f ) Z  =− ρε (x − y) g jk (t, x) − g jk (t, y) ∂j ∂k f (y) dy n Z R  = ∂yj ρε (x − y)(g jk (t, x) − g jk (t, y)) ∂k f (y) dy n R Z =− ∂j g jk (t, y)ρε (x − y)∂k f (y) dy n ZR  jk − g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy Rn =: I + II. ここで，たたみこみに関する Young の不等式より， kIkL2 ≤ Ck∂j g jk kL∞ kρε kL1 k∂k f kL2 ≤ Ckf kH 1 . 奏理音ムイ（Vtuber） 40 / 74

次に， Z II = − Rn  jk g (t, x) − g jk (t, y) (∂j ρε )(x − y)∂k f (y) dy について， |g jk (t, x) − g jk (t, y)| ≤ k∇x g jk kL∞ |x − y| t,x および |y|(∂j ρε )(y) = ε−1 |y| · ε−n (∂j ρ) y ε ∈ L1 (Rn ) より kIIkL2 ≤ Ck∇x g jk kL∞ k|y|ρkL1 k∂k f kL2 ≤ Ckf kH 1 . t,x これで (i) が示された． 奏理音ムイ（Vtuber） 41 / 74

(ii) を示す． Z Rn  ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) dy = 0 より， [ρε ∗, g jk ∂j ∂k ]f (x) Z  = ∂yj (g jk (t, x) − g jk (t, y))ρε (x − y) · (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z =− (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn Z − (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy Rn =: III + IV. 奏理音ムイ（Vtuber） 42 / 74

Z III = − Rn (∂j g jk )(t, y)ρε (x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について，Hölder の不等式より， Z 1 |III(x)|2 ≤ k∂j g jk k2L∞ kρ k ρε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy ε L t,x |x−y|<ε Z ≤C ρε (y)|∂k f (x − y) − ∂k f (x)|2 dy. |y|<ε これより， Z kIIIk2L2 ≤ C |y|<ε ρε (y)k∂k f (· − y) − ∂k f (·)k2L2 dy ここで f ∈ C0∞ より，任意の δ > 0 に対し，ε が十分小ならば sup k∂k f (· − y) − ∂k f (·)k2L2 ≤ δ |y|<ε とでき， 2 kIIIkL 2 ≤ CkρkL1 δ. 奏理音ムイ（Vtuber） 43 / 74

次に Z IV = − Rn (g jk (t, x) − g jk (t, y))(∂j ρε )(x − y) (∂k f (y) − ∂k f (x)) dy について，II と同様に考えて，ρ̃ε (y) = |y|(∂j ρε )(y) と書くと， Z 1 |IV (x)|2 ≤ Ck∇x g jk k2L∞ kρ̃ k ρ̃ε (x − y)|∂k f (y) − ∂k f (x)|2 dy. ε L t,x |x−y|<ε あとは III と全く同様の議論で，任意の δ > 0 に対して ε が十分小のとき kIV k2L2 ≤ Cδ とできる． 奏理音ムイ（Vtuber） 44 / 74

Theorem 6 (Step 1: s = 0 の場合) の証明（続き） Claim 2 を n X g jk (t, x)∂j ∂k u = − n X bj (t, x)∂j u − a(t, x)u + F (t, x) j=0 j,k=0 について適用して，  ku′ (t)kL2 ≤ CT ku′ (0)kL2 +  ≤ CT ku′ (0)kL2 + Z t 0 Z t 0  kF kL2 + k  kF kL2 + n X j=0 X   bj ∂j u + aukL2  dτ    k∂ α ukL2  dτ  |α|≤1 を得る § ． § C は T, g jk , bj , c から決まる定数．ただし，以降は各行ごとに C の値は変わってもよいこと T T にする． 奏理音ムイ（Vtuber） 45 / 74

これと微積分の基本定理からしたがう Z t ku(t)kL2 ≤ ku(0)kL2 + k∂t u(τ )kL2 dτ 0 を合わせて（前ページ不等式の右辺が t について単調増加であることにも注意す ると），     Z t X X X kF kL2 + k∂ α u(t)kL2 ≤ CT  k∂ α u(0)kL2 + k∂ α ukL2  dτ  . |α|≤1 0 |α|≤1 |α|≤1 最後に Gronwall の不等式より， X  k∂ α u(t)kL2 ≤ CT  |α|≤1 X |α|≤1 Z t k∂ α u(0)kL2 +  kF kL2 dτ  0 を得る．これで (Step 1: s = 0 の場合) の証明が完了した． 奏理音ムイ（Vtuber） 46 / 74

Step 2 : s ∈ N のとき ∂xβ を x 変数に関する β 階の微分作用素とすると， L∂xβ u = ∂xβ Lu + [L, ∂xβ ]u = ∂xβ F + [L, ∂xβ ]u と表すと，交換子 [L, ∂xβ ] は |β| + 1 階の微分作用素で，t についての微分は 1 階 までしか含まない． そこで，|β| ≤ s として，∂xβ u に対して Step 1 の結果を適用すると， X |α|≤1 k∂ α ∂xβ u(t)kL2  ≤ CT  X Z t k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + ≤ Cs,T (k[L, ∂xβ ]ukL2 + k∂xβ F kL2 ) dτ  0 |α|≤1  X  k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + |α|≤1 奏理音ムイ（Vtuber） Z t X  ( k∂ α ∂xγ u(τ )kL2 + k∂xβ F (τ )kL2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s 47 / 74

いま得られた評価 X k∂ α ∂xβ u(t)kL2 |α|≤1 ≤ Cs,T  X k∂ α ∂xβ u(0)kL2 + |α|≤1 Z t X  ( k∂ α ∂xγ u(τ )kL2 + k∂xβ F (τ )kL2 ) dτ 0 |α|≤1, |γ|≤s について，両辺で |β| ≤ s 全体にわたる和をとると， X k∂ α u(t)kH s |α|≤1  ≤ Cs,T  X |α|≤1  Z t X k∂ α u(0)kH s + ( k∂ α u(τ )kH s + kF (τ )kH s ) dτ  0 |α|≤1 さらに Gronwall の不等式を適用すると，s ∈ N の場合の求める評価   Z t X X k∂ α u(t)kH s ≤ Cs,T  k∂ α u(0)kH s + kF (τ )kH s dτ  |α|≤1 |α|≤1 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 48 / 74

Step 3 : s が負の整数のとき Step 2 の結果を v(t, x) := (I − ∆)s u(t, x) に対して適用する．Fourier 変換による Sobolev ノルムの表現より s kv(t)kH −s ∼ k(I − ∆) 2 u(t)kL2 ∼ ku(t)kH s が成立する ¶ ．−s ∈ N に注意して，v に Step 2 の結果を適用すると，   Z t X X (5) kLv(τ )kH −s dτ  . k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T  k∂ α v(0)kH −s + |α|≤1 |α|≤1 0 次に右辺の kLv(τ )kH −s を評価していく． ¶ ここで，a ∼ b はある定数 C > 0 について C −1 a ≤ b ≤ Ca が成り立つことを意味する． 奏理音ムイ（Vtuber） 49 / 74

ここで， (I − ∆)−s Lv = Lu + [(I − ∆)−s , L]v = F + [(I − ∆)−s , L]v より， kLv(τ )kH −s ∼ k(I − ∆)−s Lv(τ )kH s ≤ kF (τ )kH s + k[(I − ∆)−s , L]v(τ )kH s . 交換子 [(I − ∆)−s , L] は −2s + 1 階以下の微分作用素で，t についての微分は 高々1 階までしか含まない．したがって， X [(I − ∆)−s , L]v = ∂xβ (aαβγ (t, x)∂xγ ∂ α v) |α|≤1, |β|,|γ|≤−s の形に表される．ただし，ここで aαβγ は C ∞ 級かつすべての導関数が有界な関 数である（g jk , bj , a の導関数を使って表される）． 奏理音ムイ（Vtuber） 50 / 74

s 上の表示と，(I − ∆) 2 ∂xβ が L2 で有界になることから， X s k[(I − ∆)−s , L]v(τ )kH s ∼ k (I − ∆) 2 ∂xβ (aαβγ ∂xγ ∂ α v(τ ))kL2 |α|≤1, |β|,|γ|≤−s ≤ Cs,T X k∂xγ ∂ α v(τ )kL2 |α|≤1, |γ|≤−s ≤ Cs,T X k∂ α v(τ )kH −s . |α|≤1 これを式 (5) に適用して，   Z t X X k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T  k∂ α v(0)kH −s + kLv(τ )kH −s dτ  |α|≤1  ≤ Cs,T  X |α|≤1 奏理音ムイ（Vtuber） 0 |α|≤1 Z t k∂ α v(0)kH −s + (kF (τ )kH s + 0 X  k∂ α v(τ )kH −s ) dτ  . |α|≤1 51 / 74

Gronwall の不等式を適用すると，   Z t X X k∂ α v(0)kH −s + k∂ α v(t)kH −s ≤ Cs,T  kF (τ )kH s dτ  . |α|≤1 0 |α|≤1 最後に， X k∂ α v(t)kH −s ∼ X k∂ α u(t)kH s |α|≤1 |α|≤1 に注意すると，求める評価 X  k∂ α u(t)kH s ≤ Cs,T  |α|≤1 X |α|≤1 Z t k∂ α u(0)kH s +  kF (τ )kH s dτ  . 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 52 / 74

2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題の適切性 n ≥ 1, T > 0 とし，[0, T ] × Rn における偏微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 を考える．係数 g jk , bj , a は滑らかかつすべての導関数が有界であるとし， g jk = g kj とする． rjk (t, x) := g jk (t, x) − g0jk (t, x), について n X j,k=0 |rjk (t, x)| ≤ 1 2 g0 := diag(1, −1, . . . , −1) ((t, x) ∈ [0, T ] × Rn ) を仮定する． 奏理音ムイ（Vtuber） 53 / 74

Theorem 8 s ∈ Z, u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ), F ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) とする．このと き，L に対する初期値問題 ( Lu(t, x) = F (t, x), (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , (IVP) (u(0, x), ∂0 u(0, x)) = (u0 (x), u1 (x)), x ∈ Rn の弱解 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) がただ一つ存在し，エネルギー不等式   Z t X k∂ α u(t)kH s ≤ C ku0 kH s+1 + ku1 kH s + kF (τ )kH s dτ (t ∈ (0, T )) 0 |α|≤1 をみたす．さらに，初期値 (u0 , u1 ) に弱解 u を対応させる写像は， H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) から C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) への連続写 像である．すなわち，L に対する初期値問題 (IVP) は H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) で適 切である． 奏理音ムイ（Vtuber） 54 / 74

証明の前に，Theorem 6（エネルギー不等式）の主張を思い出しておく： s ∈ Z, u∈ 2 \ C l ([0, T ]; H s+1−l (Rn )), F := Lu ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) l=0 ならば，ある定数 Cs,T > 0 が存在して，任意の t ∈ (0, T ) に対し   Z t X X k∂ α u(0, ·)kH s + kF (τ, ·)kH s dτ. k∂ α u(t, ·)kH s ≤ Cs,T  |α|≤1 奏理音ムイ（Vtuber） |α|≤1 0 55 / 74

エネルギー不等式に関する注意 F に対する追加の仮定 F ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) の下では，u については u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) の仮定だけでエネルギー不等式を適用できる．実際， ∂02 u = − n X g jk ∂j ∂k u − j,k=0 (j,k)̸=(0,0) から n X bj ∂j u − au + F =: F̃ ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) j=0 Z t F̃ (τ ) dτ ∈ C 1 ([0, T ]; H s−1 (Rn )) ∂0 u(t) = ∂0 u(0) + 0 (∵ 右辺は H s−1 (Rn ) 上の Bochner 積分．∂0 ((左辺) − (右辺)) = 0 in D′ ((0, T ) × Rn ) か ら，((左辺) − (右辺)) は t に独立な Rn 上の distribution ‖ となるが，t = 0 で両辺が等し いので結局 (左辺) = (右辺) ) となり，u ∈ C 2 ([0, T ]; H s−1 (Rn )) がしたがう． ‖ [Hörmander I, Theorem 3.1.4’] 奏理音ムイ（Vtuber） 56 / 74

証明 まず，空間 C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) に属する解の存在は示せ ているとした上で，先に一意性と初期値連続依存性を示そう． （Step 1: 一意性）u, v を u, v ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたす (IVP) の弱解とすると，u − v は L(u − v) = 0, (u − v)|t=0 = (∂0 u − ∂0 v)|t=0 = 0 をみたす．したがって，エネルギー不等式より，u − v ≡ 0． 奏理音ムイ（Vtuber） 57 / 74

（Step 2: 初期値に対する解の連続性）初期値の列 {(u0 , u1 )}∞ j=1 を s+1 n s n ∞ s+1 H (R ) × H (R ) からとり，これが {(u0 , u1 )}j=1 に H (Rn ) × H s (Rn ) の (j) (j) (j) (j) 位相で収束するとする．u(j) , u をそれぞれ初期値 (u0 , u1 ), (u0 , u1 ) に対応す る (IVP) の解で， u(j) , u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたすとする．このとき，u(j) − u は L(u(j) − u) = 0, (j) (u(j) − u)|t=0 = u0 − u0 , (j) (∂0 u(j) − ∂0 u)|t=0 = u1 − u1 をみたす．よってエネルギー不等式より， X X k∂ α (u(j) (t, ·) − u(t, ·))kH s ≤ Cs,T k∂ α (u(j) (0, ·) − u(0, ·))kH s |α|≤1 |α|≤1 (j) (j) ≤ Cs,T (ku0 − u0 kH s+1 + ku1 − u1 kH s ) →0 (j → ∞). これは u(j) → u in C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (j → ∞) であることを示している． 奏理音ムイ（Vtuber） 58 / 74

（Step 3: 初期値 0，外力が C0∞ の場合の解の存在）まず，u0 = u1 = 0 および
F ∈ C0∞ ((0, T ) × Rn ) ⊂ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) の場合を考える．弱解の定義：∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), Z TZ Z TZ ψF dt dx = 0 Rn 0 (L∗ ψ)u dt dx Rn を思い出す． 作用素 L∗ : C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) → C0∞ ((−∞, T ) × Rn ) L∗ に対して Theorem 6 （エネルギー不等式）を適用する． ただし，変数 t を T − t と変え（初期時刻 t = T に注意），s は −s − 1 に変え て適用すると，∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ∀t ∈ [0, T ], Z T kψ(t)kH −s ≤ C kL∗ ψ(τ )kH −s−1 dτ 0 ∗ を得る．特に，L ψ = 0 on [0, T ] ⇒ ψ = 0 on [0, T ]． 奏理音ムイ（Vtuber） 59 / 74

よって線形汎関数 A : L∗ (C0∞ ((−∞, T ) × Rn )) → R Z TZ ∗ L ψ 7→ ψF dt dx 0 Rn は well-defined となる．さらに， ∗ Z T |A(L ψ)| ≤ kψ(t)kH −s kF (t)kH s dt 0 ≤ sup kψ(t)kH −s kF kL1 ([0,T ];H s ) t∈[0,T ] Z T ≤ CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψ(t)kH −s−1 dt 0 = CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψkL1 ([0,T ];H −s−1 ) . すなわち，A は L∗ (C0∞ ((−∞, T ) × Rn )) ⊂ L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn )) 上で定義された線形汎関数で，上の不等式の意味での有界性をみたす． 奏理音ムイ（Vtuber） 60 / 74

したがって，Hahn–Banach の定理より，A は L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn )) 上の有界線 形汎関数 Ã に拡張され，Ã も同じ有界性 |Ã(L∗ ψ)| ≤ CkF kL1 ([0,T ];H s ) kL∗ ψkL1 ([0,T ];H −s−1 ) . をみたす．ここで， L1 ([0, T ]; H −s−1 (Rn ))
∗ = L∞ ([0, T ]; H s+1 (Rn )) より，ある u ∈ L∞ ([0, T ]; H s+1 (Rn )) が存在して，∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), Z TZ 0 Rn uL∗ ψ dtdx = Ã(L∗ ψ) = A(L∗ ψ) = Z TZ ψF dtdx 0 Rn をみたす．したがって u は Lu = F の弱解となる． 後の議論のため，u(t) = 0 (t ≤ 0) とおいて u を (−∞, T ) 上に拡張しておく． 奏理音ムイ（Vtuber） 61 / 74

（Step 3’: 解の滑らかさ）次に，上で構成した u が時間変数に関する次の滑らか さをもつことを示す．つまり， u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) であることを示す． Lu = F in D′ ((−∞, T ) × Rn ) より，D′ ((−∞, T ) × Rn ) において ∂0 (∂0 u + 2 n X g 0j ∂j u + b0 u) j=1 =2 n X (∂0 g 0j )∂j u + (∂0 b0 )u + j=1 n X g jk ∂j ∂k u − j,k=1 n X bj ∂j u − au + F j=1 =: F̃ かつ F̃ ∈ L∞ ([0, T ]; H s−1 (Rn )) が成立する． 奏理音ムイ（Vtuber） 62 / 74

これより， ∂0 u + 2 n X Z t g 0j ∂j u + b0 u = F̃ (τ ) dτ. 0 j=1 （∵ エネルギー不等式に関する注意のところと同じ議論） よって ∂0 u = −2 n X Z t g ∂j u − b u + 0j 0 F̃ (τ ) dτ =: F̃˜ ∈ L∞ ([0, T ]; H s−1 (Rn )). 0 j=1 これより上と同じ議論で， Z t u= F̃˜ (τ ) dτ ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) 0 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 63 / 74

これを再び ∂0 u の式に使うと， ∂0 u = −2 n X j=1 Z t g 0j ∂j u − b0 u + F̃ (τ ) dτ =: F̃˜ ∈ C([0, T ]; H s−2 (Rn )) 0 となり， u ∈ C 1 ([0, T ]; H s−2 (Rn )) を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 64 / 74

ここまでで， u ∈ C([0, T ]; H s−1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s−2 (Rn )) が分かった．これは求める滑らかさである u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) に届いていないように見えるが，いま u0 = u1 = 0 かつ F ∈ C0∞ ((0, T ) × Rn ) の場合を考えており，上の議論は s に依存しない（途中に現れる定数の値が変わ るだけ）ので，上の議論で s 7→ s + 2 と置き換えることによって， u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をみたすような Lu = F の弱解 u の存在が示されたことになる． 奏理音ムイ（Vtuber） 65 / 74

（Step 4: 初期値 0，外力が一般の場合の解の存在） 次に，F が一般の F ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) の場合を考える． ∞ n この場合は，関数列 {Fm }∞ m=1 ⊂ C0 ((0, T ) × R ) で lim kFm − F kL1 ([0,T ];H s ) = 0 m→∞ をみたすものをとり， um ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) を Fm に対応する弱解とする．このとき，um − ul に Theorem 6（エネルギー不 等式）を適用すると，∀t ∈ (0, T ), X k∂ α um (t) − ∂ α ul (t)kH s ≤ kFm − Fl kL1 ([0,T ];H s ) |α|≤1 → 0 (m, l → ∞). 奏理音ムイ（Vtuber） 66 / 74

s+1 よって {um }∞ (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) の Cauchy 列とな m=1 は C([0, T ]; H り，極限 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) をもつ．um に対する弱解の定義式：∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ZZ ZZ ψFm dtdx = (L∗ ψ)um dtdx (0,T )×Rn (0,T )×Rn において，m → ∞ とすることで，u が Lu = F の弱解であることがわかる． 奏理音ムイ（Vtuber） 67 / 74

（Step 5: 一般の初期値と外力に対する解の存在） 最後に，一般の初期値 u0 ∈ H s+1 (Rn ), u1 ∈ H s (Rn ) の場合を考える． ∞ ∞ n ∞ ∞ n まず列 {u0,m }∞ m=1 , {u1,m }m=1 ⊂ C0 (R ) および {Fm }m=1 ⊂ C0 ((0, T ) × R ) を lim (u0,m , u1,m ) = (u0 , u1 ) in H s+1 (Rn ) × H s (Rn ) m→∞ lim Fm = F m→∞ in L1 ([0, T ]; H s (Rn )) となるようとり， wm (t, x) := u0,m (x) + tu1,m (x) (m ∈ N) とおく．wm (0, x) = u0,m (x), ∂0 wm (0, t) = u1,m (x) であることに注意する． 奏理音ムイ（Vtuber） 68 / 74

さらに， vm ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (m ∈ N) を，初期値問題 ( Lvm = Fm − Lwm , (vm (0), ∂0 vm (0)) = (0, 0) (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn の弱解とする． Fm − Lwm ∈ L1 ([0, T ]; H s (Rn )) であることから，前段までの議論でこの弱解の存在は既に得られていることに注 意する． 奏理音ムイ（Vtuber） 69 / 74

そして um := vm + wm とおくと， um ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) (m ∈ N) かつ，um は ( Lum = Fm , (um (0), ∂0 um (0)) = (u0,m , u1,m ) (t, x) ∈ (0, T ) × Rn , x ∈ Rn の弱解．よって um − ul に Theorem 6 （エネルギー不等式）を適用して， X k∂ α um (t) − ∂ α ul (t)kH s |α|≤1 ≤ C(ku0,m − u0,l kH s+1 + ku1,m − u1,l kH s + kFm − Fl kL1 ([0,T ];H s ) ) →0 (m, l → ∞). となり，um の極限 u ∈ C([0, T ]; H s+1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) が存在する． 奏理音ムイ（Vtuber） 70 / 74

um に対する弱解の定義式：∀ψ ∈ C0∞ ((−∞, T ) × Rn ), ZZ ZZ ψFm dtdx = (L∗ ψ)um dtdx n n (0,T )×R (0,T )×R Z − ψ(0, x)u1,m (x) dx n ZR  + (∂0 ψ)(0, x) − (ψb0 )(0, x) u0,m (x) dx Rn において，m → ∞ とすることで，u が求める弱解であることがわかる． 最後に，um に対する Theorem 6（エネルギー不等式）   Z t X α k∂ um (t)kH s ≤ C ku0,m kH s+1 + ku1,m kH s + kFm (τ )kH s dτ 0 |α|≤1 で m → ∞ として，u に対するエネルギー不等式   Z t X α k∂ u(t)kH s ≤ C ku0 kH s+1 + ku1 kH s + kF (τ )kH s dτ (t ∈ (0, T )) 0 |α|≤1 を得る． 奏理音ムイ（Vtuber） 71 / 74

記号表 • t ∈ R：時間変数 • x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ：空間変数 • ∂0 = ∂t , ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n) • u′ = ∇u = (∂0 u, ∂1 u, . . . , ∂n u) • □ = ∂t2 − ∆：d’ALembertian • g0 = (g0jk )j,k=0,...,n = diag(1, −1, . . . , −1) • g jk , bj , a ∈ C 2 (R × Rn )：実数値，g jk = g kj (j, k = 0, . . . , n) • u = u(t, x)：未知関数 • F (t, x)：外力（given），実数値 • u0 (x), u1 (x)：初期値（given），実数値 奏理音ムイ（Vtuber） 72 / 74

記号表 微分作用素 L= n X g jk (t, x)∂j ∂k + n X bj (t, x)∂j + a(t, x) j=0 j,k=0 に対して， n X • L0 = g jk (t, x)∂j ∂k ：主要部 j,k=0 • p0 (t, x, ξ0 , ξ ′ ) = n X g jk (t, x)ξj ξk (ξ0 ∈ R, ξ ′ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn )：特性 j,k=0 多項式 • λ± (t, x, ξ ′ )：特性根 n n X X • L∗ ψ = ∂j ∂k (g jk ψ) − ∂j (bj ψ) + aψ ：L の共役作用素 j,k=0 奏理音ムイ（Vtuber） j=0 73 / 74

記号表 s ∈ N ∪ {0} に対し，  H s (Rn ) := f ∈ L2 (Rn ); ∀α ∈ (N ∪ {0})n (|α| ≤ s), ∂xα f ∈ L2 (Rn ) . ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特 に H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) である．また，負の整数 s に対して， H s (Rn ) := (H −s (Rn ))′ と定める ∗∗ ． また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し， C(I; X) := {u : I → X;（X の位相について）連続 }, C k (I; X) := {u : I → X;（X の位相について）C k 級 }, L1 (I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }. ∗∗ Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 H s (Rn ) を定義することができる． 奏理音ムイ（Vtuber） 74 / 74