Onsager algebra

Onsager algebra §0 Background Onsager algebra • 2次元Ising modelの解法 (1944 Onsager) ↳その後、別の解法がメジャーに • Chiral Potts modelの解法 (1980~1990) • 他のmodelの研究にも 一般化 • Generalized Onsager algebra • q-Onsager algebra • 2つのくみあわせ →これらも数理物理への応用が研究されている。

§1 Onsager algebraの定義 Def (Lie algebra) L: 体K上のvector space 演算 L×L → L (x, y) ↦ [x, y] (Lie bracket) (1) bilinear すなわち [x+y, z] = [x, z] + [y, z] [z, x+y] = [z, x] + [z, y] [αx, y] = [x, αy] = α[x, y] (α∈K) (2) [x, x] = 0 (⇒ [x, y] = -[y, x]) (3) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 (Jacobi identity) このときLをLie algebraという。

L: K-vector spaceが与えられたとき、 LにLie bracketを定めるには Lの基底 {eλ}λ∈Λ に対して [eλ, eλ] = 0 [eλ1, eλ2] = Σ αλ eλ を定めて、一般の元にはbilinear性で拡張する。 ただし、Jacobi identityをみたすようにαλを 決める必要がある。(基底だけみればよい) 例1 基底 {h, e, f} に対して [h, e] = 2e, [h, f] = -2f, [e, f] = h とするとLie algebraになる。 ∵) [h, [e, f]] + [e, [f, h]] + [f, [h, e]] h 2f 2e = 0 + 2[e, f] + 2[f, e] = 0 これはsl2である。

例2 基底 {h1, h2, e1, e2, e3} に対して [h1, h2] = 0 [e1, e2] = e3, [e1, e3] = 0, [e2, e3] = 0 [h1, e1] = 2e1, [h1, e2] = -e2, [h1, e3] = e3 [h2, e1] = -e1, [h2, e2] = 2e2, [h2, e3] = e3 とするとLie algebraになる。 ∵) 略。ひとつだけ例をあげる。 [h1, [e1, e2]] + [e1, [e2, h1]] + [e2, [h1, e1]] = [h1, e3] + [e1, e2] + 2[e2, e1] = e3 + e3 - 2e3 = 0 たねあかし: gl(3, K)の部分リー代数と同型。 h1 = (1 0 0 / 0 -1 0 / 0 0 0), h2 = (0 0 0 / 0 1 0 / 0 0 -1) e1 = (0 1 0 / 0 0 0 / 0 0 0), e2 = (0 0 0 / 0 0 1 / 0 0 0), e3 = (0 0 1 / 0 0 0 / 0 0 0)

参考: Lie algebraの直和分解 L = H ⊕ E [hi, hj] = 0, [ei, ej] ∈ H, [hi, ej] ∈ E さらにいえばLie algebraのルート空間分解。 (vector spaceの固有空間分解にあたる) Def (Onsager algebra) O: K-vector space 基底 {Gm, Ai} (m∈Z>0, i∈Z) Lie bracketを以下で定める。 [Gm, Gn] = 0 [Ai, Aj] = 2Gi-j [Gm, Ai] = Ai+m - Ai-m このOをOnsager algebraという。 (G-m := -Gm, G0 := 0 とする)

O: Lie algebraであることを示す。(Jacobi identity) [Ge, [Gm, Gn]] + ... + ... = 0 [Ai, [Aj, Ak]] = [Ai, 2Gj-k] = 2Ai-j+k - 2Ai+j-k より [Ai, [Aj, Ak]] + [Aj, [Ak, Ai]] + [Ak, [Ai, Aj]] = 2Ai-j+k - 2Ai+j-k + 2Aj-k+i - 2Aj+k-i + 2Ak-i+j - 2Ak+i-j = 0 [Gm, [Ai, Aj]] + [Ai, [Aj, Gm]] + [Aj, [Gm, Ai]] = [Gm, 2Gi-j] + [Ai, Aj-m - Aj+m] + [Aj, Ai+m - Ai-m] = 2Gi-j+m - 2Gi-j-m + 2Gj-i-m - 2Gj-i+m = 0 [Ai, [Gm, Gn]] + [Gm, [Gn, Ai]] + [Gn, [Ai, Gm]] = [Gm, Ai+n - Ai-n] + [Gn, Ai-m - Ai+m] = Ai+n+m - Ai+n-m - Ai-n+m + Ai-n-m + Ai-m+n - Ai-m-n - Ai+m+n + Ai+m-n = 0

§2 Dolan-Grady relations Lie algebraの定めかた ・基底どうしのLie bracketを定義 ・生成元と関係式で定義 Def (free Lie algebra) 集合X上のfree Lie algebra L(X)とは 以下をみたすもの。 M: Lie algebra, Φ: X → M map X --id--> L(X) ↘Φ ↓ψ ψ:準同型 M が一意に存在 free Lie algebraは一意に存在する。 一意: 普遍性(圏論) 存在: tensor algebraのsubalgebra

Def (Lie algebra with generators and relations) X: 集合 L(X): X上free Lie algebra {rλ}λ∈Λ: L(X)の部分集合 R: {rλ}で生成されるL(X)のイデアル このとき, L(X)/R をgenerators X, relations rλ=0 (λ∈Λ)で定まるLie algebra という。 例1 生成元 e, f 関係式 [e, [e, [e, f]]] = 0 [f, [f, [f, e]]] = 0 例2 生成元 h1, h2, e1, e2 関係式 [h1, h2] = 0 [h1, e1] = 2e1, [h1, e2] = -e2 [h2, e1] = -e1, [h2, e2] = 2e2 [e1, [e1, e2]] = 0, [e2, [e2, e1]] = 0

Def (Onsager algebra with Dolan-Grady relations) 生成元 A0, A1 と関係式 [A0, [A0, [A0, A1]]] = 4[A0, A1] [A1, [A1, [A1, A0]]] = 4[A1, A0] で定まるLie algebraを ODR とする。 Thm OとODRは同型。 証明はかなり大変(計算量が)。 Oの基底はA0, A1から次のように生成できる。 G1 := 1/2[A1, A0] A2 := A0 + [G1, A1] A-1 := A1 - [G1, A0] G2 := 1/2[A2, A0] A3 := A1 + [G1, A2] A-2 := A0 - [G1, A-1] [Gm, Ai] = Ai+m - Ai-m [Ai, Aj] = 2Gi-j ○以外は A0, A1, G1だけでOK

Dolan-Grady relationがどこで効いてくるか の例をひとつあげておく。 Lemma [A0, A1] = [A1, A2] ∵) [A1, A2] = [A1, A0 + [G1, A1]] = [A1, A0] + [A1, [G1, A1]] [A1, [G1, A1]] = -[A1, [A1, G1]] = -1/2[A1, [A1, [A1, A0]]] = -2[A1, A0] ↙Dolan-Grady ∴ [A1, A2] = [A1, A0] - 2[A1, A0] = -[A1, A0] = [A0, A1]

§3 Onsager algebraとloop algebra K[t, t^-1]: 体Kのローラン多項式環 p = Σ αi t^i (ただしαi≠0となるαiは有限個) i=-∞ Def (Loop algebra) L: 体K上のLie algebra K[t, t^-1] ⊗ L についてLie bracketを [p ⊗ x, q ⊗ y] := pq ⊗ [x, y] と定義したものをLのLoop algebraという。 ※スカラーの部分をローラン多項式におきかえる 参考: Affine Lie algebraは有限次元Lie algebra のLoop algebraの中心拡大で実現できる。

Onsager algebraは§1, §2では抽象的な 定義だったが、Loop algebraを使って具体的に 実現できる。 Def (Chevalley involution) ω: sl2 → sl2 e ↦ f, f ↦ e, h ↦ -h ω: K[t, t^-1] ⊗ sl2 → K[t, t^-1] ⊗ sl2 p(t) ⊗ x ↦ p(t^-1) ⊗ ω(x) L^ω := {p ⊗ x ∈ L | ω(p ⊗ x) = p ⊗ x} Thm OとL^ωは同型。 L^ωの基底は {gm, ai} (m∈Z>0, i∈Z) gm := (t^m - t^-m) ⊗ h ai := t^i ⊗ e + t^-i ⊗ f