差分：離散的な世界の微分

差分：離散的な世界の微分 佐伯公輔 第21回日曜数学会 2021/06/13

関数 f(x) の微分 d/dx f(x) := lim(ε→0) (f(x+ε) - f(x)) / ε 関数 f(x) の差分 Δ+x f(x) := (f(x+ε) - f(x)) / ε ※ εは固定して考えることになる。

極限をとらないというのはどういうことか？ ε→0 にすると微分 εを固定して変えない || x, x+ε, x+2ε, ... といったとびとびの値だけに 注目する || 離散的な世界

なぜ離散的な世界を考えるのか？ 差分それ自体への 数学的な関心 微分方程式の厳密解を 考えるアプローチのひとつ コンピュータによる数値計算 微分方程式の近似解 効率よく安定した計算法

差分の定義はいろいろ考えられる。 Δ+x f(x) := (f(x+ε) - f(x)) / ε Δ-x f(x) := (f(x) - f(x-ε)) / ε Δx f(x) := (f(x+ε/2) - f(x-ε/2)) / ε ε→0 ならどれでも同じ。 しかし一般には Δ+x f(x) ≠ Δ-x f(x) ≠ Δx f(x) ここでは Δ+x f(x) を考えていく。

実際に計算してみる。 f(x) = 3x Δ+x f(x) = (3(x+ε) - 3x) / ε = 3 f(x) = x^2 Δ+x f(x) = ((x+ε)^2 - x^2) / ε = 2x + ε f(x) = x^3 Δ+x f(x) = ((x+ε)^3 - x^3) / ε = 3x^2 + 3xε + ε^2

d/dx x^n = nx^(n-1) Δ+x x^n ≠ nx^(n-1) (n≥2) 具体的には Δ+x x^n = Σ(s=1 to n) (n C s) x^(n-s) ε^(s-1) しかし実は、べき乗を少しいじってやると Δ+x x^n = nx^(n-1) と微分と似たような法則ができる。

x^n := x(x-ε)(x-2ε)...(x-(n-1)ε) 下降階乗べきと呼ばれる。 Δ+x x^3 = ((x+ε)^3 - x^3) / ε = ((x+ε)x(x-ε) - x(x-ε)(x-2ε)) / ε = ((x+ε) - (x-2ε)) / ε * x(x-ε) = 3x(x-ε) = 3x^2

これを使うことで Δ+x x^n = nx^(n-1) となる。 注意: x^(m+n) ≠ x^m x^n 負べきも定義できるが x^(-n) ≠ 1/x^n

※これ以降、ε=1で考える。 Δ+x f(x) = nx^(n-1) となるようなf(x)は何なのか？ 実は関・ベルヌーイ多項式がその解である。 関・ベルヌーイ数から定義される多項式 べき乗和の公式やゼータ関数と関連 n次のものをBn(x)とすると Bn(x+1) - Bn(x) = nx^(n-1)

ガンマ関数との関連 ガンマ関数 Γ(x) := ∫(0 to ∞) e^-t t^(x-1) dt Γ(x+1) = xΓ(x) Δ+x Γ(x) = Γ(x+1) - Γ(x) = (x-1)Γ(x) Δ+x (log Γ(x)) = log x + log Γ(x) - log Γ(x) = log x Δ+x (log Γ(x))' = (log x)' = x^-1

参考文献 広田良吾 差分学入門 " 差分方程式講義 荒川・伊吹山・金子 ベルヌーイ数とゼータ関数