AMPL：数理計画のための モデリング言語
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August 23, 26
スライド概要
「AMPL 数理計画のためのモデリング言語」
by Robert Fourer, David M. Gay and Brian W. Kernighan
をもとにしたAMPLの完全解説スライド
MIKIO KUBO is a professor at Tokyo University of Marine Science and Technology, a director (CTO) at MOAI Lab, a director at A* Quantum, and an adviser at Optimind. He works on supply chain management (SCM) with an emphasis on optimization and machine (deep) learning. He founded Supply Chain Risk Management Forum and MOAI Forum.
関連スライド
各ページのテキスト
AMPL SERIES · 全 22 章 AMPL：数理計画のための モデリング言語 Σ はじめに 数理計画法と AMPL モデリング言語への招待 Robert Fourer ／ David M. Gay ／ Brian W. Kernighan（日本語版）
≡ 1 本セクションの内容 数理計画法とは何か 制約のもとで目的関数を最適化するという考え方の起こり 2 数理計画法の広がり 線形計画法・非線形計画法・整数計画問題という 3 つの姿 3 AMPL モデリング言語の役割 モデル作成者の形式をそのまま計算機に渡す代数的言語 4 モデルとデータを分離する設計思想 大規模かつ保守しやすい最適化を可能にする発想 5 本書全 22 章の構成と入手方法 4 部構成の全体像と AMPL ソフトウェアの試し方 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 2 / 11
Σ 数理計画法とは何か 本書の主題には二つの側面がある。第一は数理計画法（ mathematical programming）——制約条件のもとで多変数関数を最適 数理計画法の定式化 化することである。第二は、その開発・適用を助ける AMPL モデリ 1 ング言語 である。 変数 活動の量・水準を表す未知数 「計画法（programming）」の語源 2 制約 変数に関する等式・不等式の集まり 1940 年頃、大組織における活動の立案・日程計画を指す語として使われ始 めた。「プランナー」は各活動の水準を変数として表現し、立案上の制限 を等式・不等式の集まりとして数学的に記述した。 3 目的 解の良し悪しを測る費用・利益などの関数 4 最適解 目的を最小化／最大化する受理可能解 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 3 / 11
なぜ「目的」が鍵となる洞察か ◎ 制約を指定するだけでは複雑な業務のモデル化は難しい——制約が少なすぎれば劣った解が数多く残り、多すぎれば望ましい解が排除され 、最悪の場合は解が存在しなくなる。 ! ✓ 制約だけで表現すると • 制約が少なすぎる → 劣った解が数多く条件を満たす • 制約が多すぎる → 望ましい解が排除される • 最悪の場合、条件を満たす解が一つも存在しなくなる 目的を追加すると • 費用・利益など、解の良し悪しを測る目的関数を導入する • 多くの解が制約を満たしても問題にならない • 目的を最小化・最大化する解を一つ見つければ十分 数理計画法 ＝ 制約のもとで目的関数を最小化・最大化すること AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 4 / 11
# 数理計画法の広がり 目的・制約の性質によって、数理計画問題はいくつかの特別な場合に分けられる。 L N I 線形計画問題 非線形計画問題 整数計画問題 Linear Program Nonlinear Program Integer Program 費用・必要量などが活動水準に厳密に比例— —目的も制約もすべて線形。 目的や制約に滑らかな非線形関数が現れる場 合。「大規模最適化」とも呼ばれる。 一部の変数が整数値をとらなければならない 場合。一般にはるかに難しい。 数千変数でも高速・確実に解ける単体法（1940 年代後半〜）が発展の礎。 解くのはより困難だが、線形計画法の成功を受け 近年になり実用計算手法が発展。 計算機の高速化と手法の洗練により、大規模問題 も年々扱いやすくなっている。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 5 / 11
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AMPL とは何か
AMPL は数理計画法のための代数的モデリング言語（algebraic
数式 → AMPL コード
modeling language）である。1985 年頃に著者らによって設計・実装
され、以来進化を続けてきた。
✓
伝統的な数学記法
最大化: Σj cj xj
条件:
Σj aij xj ≤ bi
xj ≥ 0
算術式が代数記法に酷似
（すべての i）
x + y、Σ a[i,j]・x[j]、x ≥ 0 のような見慣れた数学記法をそのまま計算機で扱える
✓
集合と添字が汎用的で強力
AMPL 記述
問題の構造に応じて柔軟に変数・制約の集まりを表現できる
✓
数理計画特有の構造も表現
ネットワークフロー制約や区分的線形性なども言語として拡張
AMPL：数理計画のためのモデリング言語
| はじめに
maximize Profit:
sum {j in J} c[j] * x[j];
subject to Limit {i in I}:
sum {j in J} a[i,j] * x[j] <= b[i];
var x {j in J} >= 0;
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モデルとアルゴリズムをつなぐ実務の流れ ⇄ 実務の数理計画法は、単にアルゴリズムを走らせて終わりではない。次のサイクルを繰り返す。 1 モデル定式化 変数・目的・制約からなる抽 象的な体系 ! 2 → データ収集 個別の問題例を定めるデータ 3 → 生成 モデルとデータから具体的な 式を生成 4 → 求解 ソルバーで最適値を探索 5 → 結果分析 解を評価・検討 6 → 改良 必要に応じ反復 課題：モデル作成者の形式とアルゴリズムの形式の間には大きな隔たりがある 線形計画法では、制約係数行列（全制約×全変数の数表）が形式の大部分を占める。行数・列数が数百〜数十万に及ぶ疎行列を生成する「行列生成器」を 書く方法は、変換作業を自動化できる一方、デバッグと保守が難しいままである。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 7 / 11
✓ モデリング言語という解決策 モデリング言語は、モデル作成者の形式を計算機システムへの直接の入力として 代数的モデリング言語の歩み 表現できるように設計されている。翻訳という中間段階をすべて計算機に任せら れるため、開発と保守がより経済的・信頼できるものになる。 • • 1950s 馴染み深い表記 数理計画法の実用的なアルゴリズムが初めて使われる x+y、Σ aij xj、xj≥0 など、代数や解析を学んだ人になじみの記法をそのまま使える 1970s〜 多様なモデルに対応 代数的モデリング言語の開発・普及が始まる 線形・非線形・整数計画のきわめて多様なモデルに適用できる • 1985 頃〜 大規模問題にも通用 数百〜数千、さらには数十万規模の変数・制約でも同じ手法が通用する AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに AMPL が設計・実装され、以来進化を続けている 8 / 11
本書の構成（全 22 章・4 部構成） § 1 第 1 部 1〜4 章 線形計画法への入門 2 第 2 部 5〜8 章 AMPL の基本構成要素 生産モデル／配合モデル／輸送・割当モデル／より大きなモデルの構築。できるだけ 単純な集合と添字／複合集合と添字／パラメータと式／変数・目的・制約。一般的な 早く AMPL を使い始めるためのチュートリアル。 ユーザーズガイドとしても使える。 3 第 3 部 9〜14 章 AMPL の高度な使い方 4 第 4 部 15〜20 章 特別な場合と一般化 データの指定／データベースアクセス／モデリングコマンド／表示コマンド／コマン ネットワーク線形計画／列単位の定式化／区分的線形計画／非線形計画／相補性問題 ドスクリプト／ソルバーとのやりとり。 ／整数線形計画。付録 A に AMPL リファレンスマニュアル。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 9 / 11
↓ 第 2 版と AMPL の入手方法 第 2 版について 無償 • AMPL の中核は 10 年間で本質的に変わっておらず、第 1 版のモ デルはほぼすべて現行版で動作する。 • 全面的に実質改訂したが、新規内容の大半は第 3 部に集中。 • コマンド環境の章が 1 章 → 5 章に拡張。 • データベースアクセス・スクリプト・プログラミング構文はす べて新規。 www.ampl.com から「学生版」AMPL と代表的なソルバーを Windows ／Unix・Linux／Mac OS X 向けに無償ダウンロード可能。数百個程度 の変数・制約なら十分扱える。 → www.ampl.com/TRYAMPL ブラウザからダウンロードせずに AMPL を試せる → neos.mcs.anl.gov NEOS サーバーのブラウザインタフェースを利用可能 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 | はじめに 10 / 11
★ 1 2 3 4 5 まとめ 数理計画法とは 制約のもとで多変数の目的関数を最小化・最大化する数学的枠組み。 成功の鍵は「目的」 制約だけでなく目的関数を導入したことが、実用化を可能にした。 AMPL は代数的モデリング言語 モデル作成者の形式をそのまま計算機への直接入力にできる。 モデルとデータの分離 同じモデルを異なるデータ集合に適用でき、大規模問題にも通用する。 本書は全 22 章 4 部構成 入門チュートリアルから高度な機能・特別な場合までを体系的に解説。 次章から、AMPL による最初の線形計画モデル（生産モデル）を扱う。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 全22章シリーズ 第1章 生産モデル 利益の最大化 圧延機の生産計画から学ぶ、線形計画法とAMPLの基本 Robert Fourer, David M. Gay, Brian W. Kernighan 著 日本語版
AGENDA 本章の内容 1.1 1.2 1.3 1.4 2変数の線形計画問題 圧延機の生産計画を例にLPの基礎を学ぶ 2変数の線形計画問題をAMPLで書く prod0.modとAMPLセッションの実行 線形計画モデル 代数形式による一般モデルの記述 1.5 1.6 1.7 モデルに下限を加える commitパラメータによる下限制約 モデルに資源制約を加える 生産段階(STAGE)への拡張と限界値 AMPLのインタフェース コマンド・GUI・Web/APIの選択肢 線形計画モデルをAMPLで書く 集合・パラメータ・変数・目的・制約 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 2
1.1 節 問題設定：圧延機とバンド・コイル ある製鋼会社の圧延機は、鋼スラブを2種類の半製品に加工 できる。 製品 毎時トン数 トン当たり利益 最大週間トン数 バンド 200 $25 6,000 コイル 140 $30 4,000 バンド（bands）とコイル（coils） 毎時の生産速度・トン当たり利益・週間の最大生産量が製 品ごとに異なる。 今週の生産時間は40時間。総利益を最大にするには、バン ドとコイルを何トンずつ生産すべきか？ 40 時間 今週利用できる圧延機の稼働時間 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 3
1.1 節 決定変数とLPの定式化 決定変数 XB = 生産するバンドのトン数 XC = 生産するコイルのトン数 LP 定式化 最大化: 25 XB + 30 XC 総所要時間は40時間を超えられない： (1/200) XB + (1/140) XC ≦ 40 生産量にはそれぞれ上限がある： 0 ≦ XB ≦ 6000 制約: (1/200) XB + (1/140) XC <= 40 0 <= XB <= 6000 0 <= XC <= 4000 0 ≦ XC ≦ 4000 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 4
1.1 節 手計算による解法 トン当たり利益 × 毎時トン数 = 圧延機1時間当たりの利益 バンドが有利 $5,000 /時 $4,200 /時 バンド生産の毎時利益 → 上限の6,000トンまで生産（30時間） コイル生産の毎時利益 残り 10 時間はコイルの生産に充当 → 1,400 トン 利益 = $25 × 6,000トン + $30 × 1,400トン $192,000 最適解の総利益 （XB = 6,000 トン、XC = 1,400 トン） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 5
1.1 節 グラフによる解法（1）実行可能領域 • 横軸 XB、縦軸 XC が生産量の組合せ（解）を表す • 垂直線：バンドの生産上限 6,000 • 水平線：コイルの生産上限 4,000 • 斜めの線：時間制約 (1/200)XB+(1/140)XC=40 • 網掛け領域＝すべての制約を満たす実行可能領域 図1-1 制約条件と実行可能領域（網掛け部分） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 6
1.1 節 グラフによる解法（2）等利益線 • 傾き -25/30 の平行線が、同じ利益をもたらす組合せを表す • 例：(0, 4500) から (5400, 0) の直線 → 利益 $135,000 • 利益が高いほど、直線は右上に位置する • 実行可能領域と交わる直線のうち、最も右上にあるものが最 大利益 図1-2 利益（Profit）を表す等利益線 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 7
1.1 節 グラフによる解法（3）最適解 $220,000の等利益線は実行可能領域と交わらない。領域 の隅の一点で接する直線が最適解。 6,000 1,400 XB（バンド, トン） XC（コイル, トン） 最大利益 $192,000 図1-3 最適解（Optimal Solution） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 8
1.2 節 AMPLで2変数LPを記述する prod0.mod • var 文で各変数に名前を与える var XB; var XC; • subject to の後に制約名（Time, B_limit, C_limit）を書く maximize Profit: 25 * XB + 30 * XC; • ≦ は <= と書く subject to Time: (1/200) * XB + (1/140) * XC <= 40; subject to B_limit: 0 <= XB <= 6000; subject to C_limit: 0 <= XC <= 4000; • 代数的な記述にきわめて近い構文 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 • 掛け算には * 演算子が必須 9
1.2 節 AMPLセッションを実行する ampl session ampl: model prod0.mod; ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 2 iterations, objective 192000 ampl: display XB, XC; XB = 6000 XC = 1400 ampl: quit; model prod0.mod を読み込む solve ソルバーを呼び出して解く display 変数の最適値を表示する quit AMPLセッションを終了する AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 10
1.3 節 一般化：線形計画モデル（代数形式） 基本の生産モデル 与えられるもの: P = 製品の集合 a[j] = 製品jの毎時トン数 b = 利用可能な時間 c[j] = 製品jのトン当たり利益 u[j] = 製品jの最大トン数 モデルの5つの基本構成要素 集合 (sets) 製品のような要素の集まり パラメータ (parameters) 生産速度や利益率などの定数 変数 (variables) 変数: X[j] = 製品jの生産トン数 ソルバーが値を決定する量 最大化: sum j in P c[j] * X[j] 制約: sum j in P (1/a[j]) X[j] <= b 0 <= X[j] <= u[j] (各 j) 目的 (objective) 最大化・最小化すべき式 制約 (constraints) 解が満たすべき条件 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 11
1.3–1.4 節 AMPLモデルとデータの分離 prod.mod prod.dat set P; param a {j in P}; param b; param c {j in P}; param u {j in P}; var X {j in P}; set P := bands coils; param: a c u := bands 200 25 6000 coils 140 30 4000 ; param b := 40; maximize Total_Profit: sum {j in P} c[j] * X[j]; subject to Time: sum {j in P} (1/a[j]) * X[j] <= b; subject to Limit {j in P}: 0 <= X[j] <= u[j]; AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 モデルとデータの分離が鍵 製品が2種類から42種類に増えても、モデル（prod.mod）は一切変更 不要。データファイルを差し替えるだけで新しい問題例を解ける。 12
1.4 節
改良モデル：読みやすさの工夫
steel.mod
set PROD;
# products
param rate {PROD} > 0;
# tons/hour
param avail >= 0;
# hours/week
param profit {PROD};
# profit/ton
param market {PROD} >= 0; # sales limit
var Make {p in PROD} >= 0,
<= market[p];
• 意味の分かる名前：PROD, rate, avail, profit, market
• 変数の上下限は var 宣言の中で直接指定
• # から行末までがコメント
• 同じ2変数LPを解いても結果は同じ（利益 $192,000）
maximize Total_Profit:
sum {p in PROD} profit[p]*Make[p];
subject to Time:
sum {p in PROD} (1/rate[p])*Make[p]
<= avail;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化
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1.5 節
モデル拡張①：生産量の下限を加える
鋼板（plate）を追加すると、コイルの生産量が0になってしまう。
現実には販売の確約があるため、生産量には下限が必要。
steel3.mod（抜粋）
param commit {PROD} >= 0;
var Make {p in PROD} >= commit[p],
<= market[p];
製品
commit
Make
market
bands
1000
6000
6000
$194,828.57
coils
500
500
4000
steel3.mod の最適解の利益（bands 6000, coils 500, plate 1028.57）
plate
750
1028.57
3500
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化
14
1.6 節
モデル拡張②：資源制約（生産段階）を加える
生産を再加熱（reheat, 35時間）と圧延（roll, 40時間）の2段階に分割する。
限界値（双対値）
steel4.mod（抜粋）
制約を1時間緩めたときの利益改善分。reheatは+1時間ごとに
set STAGE; # reheat, roll
param rate {PROD,STAGE} > 0;
param avail {STAGE} >= 0;
$1,800、rollは+1時間ごとに$3,200の追加利益。
被約費用
subject to Time {s in STAGE}:
sum {p in PROD} (1/rate[p,s])*Make[p]
<= avail[s];
$190,071
最適解の総利益
coilsの下限を1トン増やすと利益は約$1.86減少。bands・plateは
上下限の間にあり被約費用は実質0。
$1,800 /h
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化
reheat の限界値
15
1.4 節
誤りの検出と expand コマンド
エラー例
steel.mod, line 8:
syntax error
context: var Make {p in PROD}
>>> 0 <<< <= Make[p] <=
market[p];
steel.mod, line 11:
make is not defined
context: maximize Total_Profit:
sum {p in PROD} profit[p] *
>>> make[p] <<< ;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化
expand コマンド
ampl: expand Total_Profit;
maximize Total_Profit:
25*Make['bands']
+ 30*Make['coils'];
ampl: expand Time;
subject to Time:
0.005*Make['bands']
+ 0.00714286*Make['coils']
<= 40;
16
1.7 節 AMPLの多様なインタフェース コマンドインタフェース グラフィカルインタフェース Web・APIインタフェース 文字コマンドを打ち込む方式。全機能にア Java／Tcl-Tk／Visual Basicベースなど。ボタ クライアント・サーバー型のアクセスや、 クセスでき、どの環境でも共通。本書の例 ンやメニューで標準操作を行える。 他プログラムから呼び出すAPIも利用可能 で使用。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ｜ 第1章 生産モデル：利益の最大化 。 17
まとめ 1 線形計画問題（LP）は、目的と制約を変数の線形な式で記述する。 2 変数が2個の小規模LPなら、手計算やグラフでも最適解を求められる。 3 AMPLは代数的な記述にきわめて近い構文でLPをそのまま表現できる。 4 モデルとデータを分離することが、複雑な問題を簡潔に扱う鍵となる。 5 下限・複数段階の資源制約なども、モデルへ自然に組み込める。 次章：第2章「食餌問題：費用の最小化」へつづく
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第2章 配合モデルとその他の投入モデル： 費用の最小化 配合問題（diet problem）を題材に、費用を最小化する線形計画モデルの立式と AMPL による実装を学ぶ Σ 全 22 章シリーズ 第 2 章 / 22 $ ≥
AGENDA ≡ 本章の内容 配合問題の線形計画問題 2-1 夕食の価格とビタミン供給率から、明示的な LP を手で立式する 配合問題の AMPL モデル 2-2 集合・パラメータ・変数を使い、データ非依存の汎用モデルを書く AMPL 配合モデルを使う 2-3 データを与えて解き、実行不可能性の診断や整数解も検討する ブレンド・経済・スケジューリングへの一般化 2-4 投入・産出モデルとして書き直し、幅広い応用へつなげる AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 2
SECTION 2-1 $ 配合問題の設定：食品と栄養素 8 種類の調理済み夕食から、1 週間分（＝1 日必要量の 700% 以上）のビタミン要件を満たす最も安い組合せを選ぶ。 記号 食品 価格/パック BEEF ビーフ $3.19 CHK チキン FISH 食品 A C B1 B2 BEEF 60 20 10 15 $2.59 CHK 8 0 20 20 魚 $2.29 FISH 8 10 15 10 HAM ハム $2.89 HAM 40 40 35 10 MCH マカロニ&チーズ $1.89 MCH 15 35 15 15 MTL ミートローフ $1.99 MTL 70 30 15 15 SPG スパゲッティ $1.99 SPG 25 50 25 15 TUR 七面鳥 $2.49 TUR 60 20 15 10 表：1 パック当たりビタミン A・C・B1・B2 の 1 日必要量に対する充足率（%） ≥ 700% 各栄養素について、1 日必要量の 700% 以上を満たす AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 3
SECTION 2-1 Σ LP の定式化：目的関数と制約 購入するパック数を X_BEEF, X_CHK, … と表す。総費用とビタミン充足量は、価格・充足率を係数とする 1 次式で書ける。 【目的関数：総費用の最小化】 総費用 = 3.19 X_BEEF + 2.59 X_CHK + 2.29 X_FISH + 2.89 X_HAM + 1.89 X_MCH + 1.99 X_MTL + 1.99 X_SPG + 2.49 X_TUR 【制約の例：ビタミン A の充足率 ≥ 700】 60 X_BEEF + 8 X_CHK + 8 X_FISH + 40 X_HAM + 15 X_MCH + 70 X_MTL + 25 X_SPG + 60 X_TUR ≥ 700 • ビタミン C・B1・B2 についても同様の式があり、いずれも 700 以上でなければなら ない • 常識的な要件として、非負制約 X_BEEF ≥ 0, X_CHK ≥ 0, … , X_TUR ≥ 0 を加える 4 本 の栄養素制約（A, C, B1, B2） ＋ 8 個の非負制約 AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 4
SECTION 2-1 > 明示的な AMPL モデル（diet0.mod） 第 1 章の生産 LP と同様に、変数・目的関数・制約をそのまま書き写せば動くモデルになる。 diet0.mod var Xbeef >= 0; var Xchk >= 0; var Xfish >= 0; var Xham >= 0; var Xmch >= 0; var Xmtl >= 0; var Xspg >= 0; var Xtur >= 0; minimize cost: 3.19*Xbeef + 2.59*Xchk + 2.29*Xfish + 2.89*Xham + 1.89*Xmch + 1.99*Xmtl + 1.99*Xspg + 2.49*Xtur; subject to A: 60*Xbeef + 8*Xchk + 8*Xfish + 40*Xham + 15*Xmch + 70*Xmtl + 25*Xspg + 60*Xtur >= 700; subject to C: 20*Xbeef + 0*Xchk + 10*Xfish + 40*Xham + 35*Xmch + 30*Xmtl + 50*Xspg + 20*Xtur >= 700; subject to B1: 10*Xbeef + 20*Xchk + 15*Xfish + 35*Xham + 15*Xmch + 15*Xmtl + 25*Xspg + 15*Xtur >= 700; subject to B2: 15*Xbeef + 20*Xchk + 10*Xfish + 10*Xham + 15*Xmch + 15*Xmtl + 15*Xspg + 10*Xtur >= 700; AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 5
✓ SECTION 2-1 解いてみる：単調な最適解 amplsession ampl: model diet0.mod; ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 6 iterations, objective 88.2 ampl: display Xbeef,Xchk,Xfish,Xham, Xmch,Xmtl,Xspg,Xtur; Xbeef = 0 Xchk = 0 Xfish = 0 Xham = 0 Xmch = 46.6667 Xmtl = -3.69159e-18 Xspg = -4.05347e-16 Xtur = 0 AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル $88.20 マカロニ&チーズ 46 2/3 パックのみを購入 • ビタミン A・B1・B2 は、ちょうど 700%（15% × 46 2/3） しか満たしていない • ビタミン C は必要量よりずっと多く供給される • 極小の負の値（Xmtl, Xspg）は 0 とみなしてよい • 制約を = に変えると多様化するが、費用は $89.99 に上昇 6
SECTION 2-2 S 一般モデルへ：集合の宣言 • 受け入れられる食事にするには、線形計画問題に大幅な修正が 必要 • 食品・栄養素の集合はもちろん、制約や上下限の性質も変えた くなる diet.mod set NUTR; set FOOD; • 個別のデータファイルと組み合わせられる汎用モデルに依拠す れば、こうした変更ははるかに容易になる（第 1 章の生産モデ ルと同じ考え方） • このモデルは「栄養素」と「食品」という 2 つの集合を扱う NUTR : 栄養素の集合 （例：A, C, B1, B2） FOOD : 食品の集合 （例：BEEF, CHK, …） AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 7
SECTION 2-2
P
モデルが必要とする数値：パラメータ
diet.mod
param cost {FOOD} > 0;
cost{FOOD}
各食品 1 パックの費用（正）
param f_min {FOOD} >= 0;
param f_max {j in FOOD} >= f_min[j];
param n_min {NUTR} >= 0;
param n_max {i in NUTR} >= n_min[i];
param amt {NUTR,FOOD} >= 0;
f_min / f_max
各食品を買うパック数の下限・上限
n_min / n_max
各栄養素の摂取量の下限・上限
amt{NUTR,FOOD}
amt[i,j] = 食品 j の 1 パックに含まれる栄養素 i の量
f_max の宣言では、上限が対応する下限以上でなければならないと述べるため、FOOD を
走るダミー添字 j が必要。
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
8
SECTION 2-2
V
決定変数・目的関数・制約
diet.mod
var Buy {j in FOOD} >= f_min[j], <= f_max[j];
minimize Total_Cost:
sum {j in FOOD} cost[j] * Buy[j];
subject to Diet {i in NUTR}:
n_min[i] <= sum {j in FOOD} amt[i,j] * Buy[j] <= n_max[i];
• Buy[j] ：食品 j を買うパック数（決定変数）。f_min[j] と f_max[j] の間に収まる
• 目的関数 Total_Cost ：全食品 j にわたる cost[j]×Buy[j] の合計を最小化
• 制約 Diet[i] ：栄養素 i の総供給量（amt[i,j]×Buy[j] の総和）が n_min[i] と n_max[i] の「二重不等式」を満たす
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
9
★
SECTION 2-2
完全な配合モデル（図 2-1）
diet.mod
set NUTR;
set FOOD;
param cost {FOOD} > 0;
param f_min {FOOD} >= 0;
param f_max {j in FOOD} >= f_min[j];
param n_min {NUTR} >= 0;
param n_max {i in NUTR} >= n_min[i];
param amt {NUTR,FOOD} >= 0;
var Buy {j in FOOD} >= f_min[j], <= f_max[j];
minimize Total_Cost:
sum {j in FOOD} cost[j] * Buy[j];
subject to Diet {i in NUTR}:
n_min[i] <= sum {j in FOOD} amt[i,j] * Buy[j] <= n_max[i];
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
10
SECTION 2-3
D
データを与える（diet.dat）
diet.dat
set NUTR := A B1 B2 C ;
set FOOD := BEEF CHK FISH HAM MCH MTL SPG TUR ;
param:
BEEF
CHK
FISH
...
TUR
cost
3.19
2.59
2.29
...
2.49
f_min
0
0
0
...
0
f_max :=
100
100
100
...
100 ;
param:
A
...
n_min
700
...
n_max :=
10000
... ;
amt (tr) の (tr) は
表の「転置」を表す：
列 = 第 1 添字（栄養素）
行 = 第 2 添字（食品）
• f_min / n_min はもとの要件どおり
• f_max / n_max は当面、最適解に影響しない大きな値
param amt (tr):
A
C
B1
B2 :=
BEEF 60
20
10
15
...
... ... ... ... ;
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
• モデル側を param amt {FOOD,NUTR} と変えることもできる
（その場合 amt[j,i] と参照）
11
✓ SECTION 2-3 モデル + データを解く／拡張の要件 amplsession ampl: model diet.mod; ampl: data diet.dat; ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 6 iterations, objective 88.2 ampl: display Buy; Buy [*] := BEEF 0 MCH 46.6667 CHK 0 MTL -1.1e-16 FISH 0 SPG -1.3e-16 HAM 0 TUR 0 ; AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル 結果は先ほどと同じ（objective 88.2）。より受け入れやすい食事 にするため、次の要件を加えたい： • 多様性：各食品を 2〜10 パックの範囲で含める • ナトリウム：総量 40,000 mg を超えない • カロリー：総量 16,000〜24,000 の範囲 • → 新しいデータ diet2.dat に反映して再実行 12
SECTION 2-3
!
実行不可能問題を診断する
amplsession
• B2 の body が lb（700）ちょうど → 供給不足
ampl: model diet.mod;
ampl: data diet2.dat;
ampl: solve;
MINOS 5.5: infeasible problem.
• NA の body が ub（40000）に到達 → 上限が効いている
• → B2 の要求を下げるか、ナトリウム上限を緩めるかの選択
display Diet.lb, Diet.body, Diet.ub;
lb
body
ub
A
700
1993.09
20000
B1
700
841.09
20000
B2
700
601.09
20000
C
700
1272.55
20000
CAL
16000
17222.9
24000
NA
0
40000
40000
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
let 文で修正
ampl: let n_max["NA"] := 50000;
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
5 iterations, objective 118.0594032
13
SECTION 2-3
Z
整数個のパックで最良解を求める
• 連続最適解はビーフ 5.36、スパゲッティ 9.31 パックなど端数を含む
• ビーフ 6・スパゲッティ 10 に切り上げるとナトリウム上限に違反
• ビーフ 5・スパゲッティ 9 に切り下げるとビタミン B2 が不足
dieti.mod
var Buy {j in FOOD} integer
>= f_min[j], <= f_max[j];
amplsession
$118.06
→ $119.30
連続最適解 → 整数最適解（+$1.24）
• 整数性は追加の制約なので、費用が上がるのは当然
• しかし食事の内容は大きく変化：3 種類の食品の量がそれぞ
れ 2 パック以上変わる
• 整数計画などの「離散的」な制限は、一般に解を見つけにく
くする（第 20 章で詳述）
ampl: option solver cplex;
ampl: solve;
CPLEX: optimal integer solution;
objective 119.3
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
14
SECTION 2-4
→
一般化：投入産出モデル（図 2-4）
blend.mod
set INPUT;
ブレンド
set OUTPUT;
•
param cost {INPUT} > 0;
param in_min/in_max {INPUT};
param out_min/out_max {OUTPUT};
param io {OUTPUT,INPUT} >= 0;
var X {j in INPUT} >= in_min[j],
<= in_max[j];
minimize Total_Cost:
sum {j in INPUT} cost[j] * X[j];
原料（飼料成分・原油留分・石炭）を混合し、ナトリウムやオ
クタン価などの品質を満たす
経済
•
生産活動（投入）を組み合わせ、需要（産出）を最小費用で満
たす（経済均衡と関係）
スケジューリング
•
勤務スケジュール（投入）で、各日の必要労働時間（産出）を
満たす
前提となる仮定： 連続性（X[j] は範囲内の任意値）／ 費用の線形性／ 収量の線形性
（例：鉛の添加とオクタン価の関係のように、非線形な場合は最適化がより難しくなる）
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 — 第2章 配合モデルとその他の投入モデル
15
✓ まとめ 1 配合問題は費用最小化 LP の典型例 利益最大化モデルと異なり、制約は「品質」の量に対する下限が中心になる 2 集合とパラメータで汎用モデルを構築 NUTR・FOOD などの集合と param 宣言により、データを差し替えるだけで様々な問題を解ける 3 限界値で実行不可能性を診断できる Diet.lb / Diet.body / Diet.ub を調べ、どの制約が効いているかを特定し、let 文でデータを修正できる 4 整数性は解を大きく変え、専用ソルバーが必要 四捨五入は容易に実行不可能になる。CPLEX など整数計画に対応したソルバーで解く 5 ブレンド・経済・スケジューリングへ一般化 投入・産出モデルとして書き直せば、幅広い最小費用配分問題に応用できる 次章：等式制約とその他の LP の話題
3 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第3章 輸送モデルと割当モデル 発地から着地へ ― 最小費用フローの基本形と、割当問題への応用 全 22 章シリーズ 第3回 Fourer, Gay, Kernighan 著 ／ 日本語版
次 本章の内容 AGENDA 3-1 輸送問題の線形計画問題 圧延所（発地）から自動車工場（着地）への鋼コイル輸送を例に、最小費用輸送計画の問題を定式化する。 3-2 輸送問題の AMPL モデル 発地集合・着地集合を軸に、supply / demand / cost / Trans と目的関数・制約を一般化したモデルを組み立てる。 3-3 輸送モデルの他の解釈 「輸送」を伴わない対応づけ問題――割当問題――として同じモデルを再利用する方法を見る。 第3章 輸送モデルと割当モデル 02 / 14
問 輸送問題とは 3 - 1 輸送 問題 の線 形計 画問題 3 か所の圧延所で生産した鋼コイルを、7 か所の自動車工場の注文どおりに配 送する。輸送費用を最小にする配送計画は何か。 GARY CLEV FRA STL DET FRE 3 発地 （圧延所） LAN 7 着地 （工場） WIN LAF 6,900 トン 合計輸送量 （供給＝需要） PITT 問い：コイルを圧延所から工場へ輸送する最も安上がりな計画は何か。 GARY:FRA ＝ GARY から FRA へ輸送するトン数、というように 3 発地 × 7 着地 ＝ 21 個の変数 を用いて表す。 小さな輸送問題でさえ、圧延所と工場の組合せごとに 1 変数が必要になるため変数の数はすぐ増える。 第3章 輸送モデルと割当モデル 03 / 14
表 供給地と需要地のデータ 3 - 1 輸送 問題 の線 形計 画問題 発地（圧延所）：週間生産量 着地（自動車工場）：週間注文量 供給量（トン） 略称 所在地 インディアナ州ゲーリ ー 1,400 FRA マサチューセッツ州フレ ーミングハム 900 オハイオ州クリーブラ ンド 2,600 DET ミシガン州デトロイト CLEV 1,200 LAN ミシガン州ランシング 600 PITT ペンシルベニア州ピッ ツバーグ 2,900 WIN オンタリオ州ウィンザー 400 STL ミズーリ州セントルイス 1,700 FRE カリフォルニア州フリー モント 1,100 LAF インディアナ州ラファイ エット 1,000 略称 所在地 GARY 合計 6,900 需要量（トン） 供給の合計と需要の合計は一致していなければならない： 1,400 + 2,600 + 2,900 = 900 + 1,200 + 600 + 400 + 1,700 + 1,100 + 1,000 = 6,900 第3章 輸送モデルと割当モデル 04 / 14
目的関数：総輸送費用の最小化 Σ 3 - 1 輸送 問題 の線 形計 画問題 1 トン当たり輸送費用（ドル） 目的関数（プレーンテキスト表記） GARY CLEV PITT FRA 39 27 24 DET 14 9 14 LAN 11 12 17 WIN 14 9 13 STL 16 26 28 FRE 82 95 99 LAF 8 17 20 Minimize 39・GARY:FRA + 27・CLEV:FRA + 24・PITT:FRA + 14・GARY:DET + 9・CLEV:DET + 14・PITT:DET + 11・GARY:LAN + 12・CLEV:LAN + 17・PITT:LAN + 14・GARY:WIN + 9・CLEV:WIN + 13・PITT:WIN + 16・GARY:STL + 26・CLEV:STL + 28・PITT:STL + 82・GARY:FRE + 95・CLEV:FRE + 99・PITT:FRE + 8・GARY:LAF + 17・CLEV:LAF + 20・PITT:LAF 変数は全部で 21 個（発地 3 × 着地 7）。各項は「単価 × 輸送量」で、和をとると総費用になる。 第3章 輸送モデルと割当モデル 05 / 14
約 制約：供給制約と需要制約 3 - 1 輸送 問題 の線 形計 画問題 発地側の制約（圧延所ごとに 1 本、計 3 本） GARY:FRA + GARY:DET + GARY:LAN + GARY:WIN + GARY:STL + GARY:FRE + GARY:LAF = 1400 （CLEV、PITT についても同様の等式が 1 本ずつ） 着地側の制約（工場ごとに 1 本、計 7 本） GARY:FRA + CLEV:FRA + PITT:FRA = 900 （FRA 向け） （他 6 工場：DET, LAN, WIN, STL, FRE, LAF についても同様） 3+7 = 10 本の制約 第3章 輸送モデルと割当モデル すべて非負 Trans[i,j] ≥ 0 も必要 これをすべて手入力するのは非現実的 → 一般化さ れたモデルが必要 06 / 14
集 AMPL モデル：集合とパラメータ 3 - 2 輸送 問題 の A MP L モデ ル 輸送モデルの根底には 2 つの基本的な集合がある： 発地（ORIG） と 着地（DEST）。この 2 集合を軸にモデル全体を組み立てる。 set ORIG; set DEST; # origins # destinations param supply {ORIG} >= 0; param demand {DEST} >= 0; # 発地の供給量 # 着地の需要量 check: sum {i in ORIG} supply[i] = sum {j in DEST} demand[j]; check 文：供給の和と需要の和が等しいかをデータ読込み後に検査し、違反していればエラーを出す。 第3章 輸送モデルと割当モデル 07 / 14
変 AMPL モデル：変数と目的関数
3 - 2 輸送 問題 の A MP L モデ ル
param cost {ORIG,DEST} >= 0;
var Trans {ORIG,DEST} >= 0;
# 輸送単価
# 輸送量
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j];
# 発地 i から着地 j へ Trans[i,j] 単位を、
# 単価 cost[i,j] で輸送する。総費用は
#
cost[i,j] * Trans[i,j] を全組合せで合計。
同値な書き方
▪
sum {j in DEST, i in ORIG} cost[i,j] * Trans[i,j];
▪
sum {i in ORIG} sum {j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j];
数学的に同じ意味であれば、書き方が違っても AMPL は同一の式として扱う。
第3章 輸送モデルと割当モデル
08 / 14
制 AMPL モデル：Supply / Demand 制約 3 - 2 輸送 問題 の A MP L モデ ル subject to Supply {i in ORIG}: sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i]; subject to Demand {j in DEST}: sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j]; 添字づけの慣習と有効範囲 ▪ ORIG を走る添字には i を、DEST を走る添字には j を一貫して使用（AMPL の要件ではなく可読性のための慣習）。 ▪ 添字の有効範囲（同じ意味を持つ範囲）は、その添字を定義する式の終わりまで。Demand 制約では j の有効範囲は文末のセミコロンまで 、i の有効範囲は Trans[i,j] まで。 ▪ supply（パラメータ）と Supply（制約名）は無関係 ― AMPL は大文字・小文字を区別する。 第3章 輸送モデルと割当モデル 09 / 14
解 データを与えて solve する 3 - 2 輸送 問題 の A MP L モデ ル transp.dat（抜粋） param: ORIG: supply := GARY 1400 CLEV 2600 ampl セッション param: DEST: demand := FRA 900 DET 1200 LAN 600 ... ampl: model transp.mod; ampl: data transp.dat; ampl: solve; CPLEX: optimal solution; objective 196200 param cost: FRA DET LAN ... := GARY 39 14 11 ... ampl: display Trans; DET → GARY:0 CLEV:1200 PITT:0 FRA → PITT:900 ... PITT 2900 ; 196,200 最小総輸送費用（ドル） 第3章 輸送モデルと割当モデル display Trans を見ると、大半の着地は単一の圧延所から供給されているが、CLEV・GARY・PITT の 3 か所すべてが LAF へ輸送している。 10 / 14
較 複数の最適解が存在しうる 3 - 2 輸送 問題 の A MP L モデ ル 同じ最小費用 196,200 に対し、ソルバーによって異なる輸送計画が得られることがある（LAF 向けの内訳を比較）。 CPLEX の解 SNOPT の解 LAF ← CLEV 400 LAF ← CLEV 400 LAF ← GARY 300 LAF ← GARY 0 LAF ← PITT 300 LAF ← PITT 600 目的関数値 196,200 目的関数値 196,200 ▪ このような別解の存在は輸送問題ではしばしば見られ、とりわけ目的関数の係数が切りのよい数のとき顕著。 ▪ すべての最適解を特徴づける簡単な方法はないが、複数目的の扱い（8-3 節）でより良い解を選べる場合がある。 第3章 輸送モデルと割当モデル 11 / 14
割 輸送モデルの他の解釈：割当問題 3 - 3 輸送 モデ ルの 他の 解釈 輸送モデルは「輸送」を伴わなくてもよい。発地の量が着地と対応づけられ、目的が対応づけの価値を測るだけであれば 割当 問題 になる。 例：同数の人と部屋の割当 ▪ 発地 ＝ 個々の人、着地 ＝ 個々の部屋 ▪ supply[i] ＝ demand[j] ＝ 1（各人は 1 部屋、各部屋は 1 人） ▪ Trans[i,j] ＝ 1 なら人 i は部屋 j を使用、0 なら使用しない ▪ cost[i,j] ＝ 人 i が部屋 j に付けた希望順位 ▪ 目的：割り当てられた部屋の順位の合計を最小化 → 多くの人を満足 させる割当を探す 第3章 輸送モデルと割当モデル 目的関数の各項 cost[i,j] * Trans[i,j] ＝ 人 i が部屋 j に割当済み （Trans[i,j]=1）なら選好順位 ＝ 未割当（Trans[i,j]=0）なら 0 総和 ＝ 0 でない項の総和 ＝ 各人の割当順位の合計 12 / 14
例 割当問題の例：11 人を 11 部屋へ 3 - 3 輸送 モデ ルの 他の 解釈 assign.dat（抜粋） 結果（一部） set ORIG := Coullard Daskin Hazen ... ; set DEST := C118 C138 C140 ... ; param supply default 1 ; param demand default 1 ; param cost: C118 C138 ... := Coullard 6 9 ... 28 目的関数値 人 割当部屋 希望順位 Coullard C118 1 Iravani C138 2 Hazen C246 1 Hopp D237 1 Nelson C140 4 …他6名 0と1 のみ Trans[i,j] が取る値 supply・demand・上下限がすべて整数 → 最適解は自動的に整数 値になる（輸送モデルの特別な性質） （希望順位の合計） 注意：この整数性は輸送モデル特有の性質であり、他の問題では一般に保証されない（整数計画は第 20 章）。 第3章 輸送モデルと割当モデル 13 / 14
要 まとめ 1 輸送問題は、発地の供給と着地の需要を最小費用で結ぶ最小費用フロー問題の最も基本的な形である。 2 AMPL モデルは 2 つの集合（ORIG, DEST）を軸に、supply / demand / cost / Trans と目的関数・Supply/Demand 制約だけで一般化 できる。 3 sum{} を使えば目的関数・制約を簡潔に書け、データを差し替えるだけで規模の異なる問題にも対応できる。 4 同じ最小費用でも複数の最適解が存在しうる（ソルバーにより輸送計画が異なる場合がある）。 5 割当問題（supply=demand=1）は輸送モデルの特殊ケースで、整数の供給・需要のもとでは最適解が自動的に整数になる。 次章：第 4 章 へ続く 14 / 14
全22章シリーズ ・ 第4章 AMPL: 数理計画のためのモデリング言語 より大きなモデルの構築 多品種輸送・多期間生産・生産と輸送の統合 ―― 小さなLPを結び合わせて大きなモデルを組み立て る 4.1 多品種輸送 4.2 多期間生産 原著: Robert Fourer, David M. Gay, Brian W. Kernighan 4.3 生産と輸送
AG EN D A 本章の内容 4.1 多品種輸送モデル 前章の輸送モデルを拡張し、複数の製品を同時に発地から着地へ輸送する。発地・着地間の総輸送量を制限するMulti制約 も導入する。 4.2 多期間生産モデル 生産計画を1週間ではなくT週間に拡張する。在庫変数Invを使い、Balance制約で各週の生産・販売・在庫をつなぐ。 4.3 生産と輸送のモデル 圧延所ごとの生産モデルと製品ごとの輸送モデルを1つに統合し、生産と輸送の両方の費用を最小化する。 AMPL 第4章 2
I N TRO D U CT IO N 大きな線形計画問題はどう生まれるか 経路B：小さなモデルを結び合わせる 経路A：個々のモデルを精緻化する 添字集合を細かく分ければLPは大きくなる。だがある点を超える （本章のテーマ） とデータ維持も解の理解も難しくなり、細かくする利益は薄れる 同種の単純なLPが多数生まれる場面で、それらを結ぶ変数や制約 。 を加えると、全体は1つの大きなLPになる。 本章で扱う3つの結合パターン 製品ごとの輸送問題 AMPL 第4章 週ごとの生産問題 生産×輸送の組合せ 3
4 .1 多 品種 輸 送 モデ ル 製品の集合 PROD を追加する ▪ 前章の輸送モデルは単一商品のみを扱っていた ▪ 新しい集合 PROD（製品）を定義し、supply・demand・cost・Trans すべ ての添字に PROD を加える ORIG （発地） DEST （着地） ▪ 発地 i から輸送される製品 p の量：supply[i, p] ▪ i から j へ輸送される製品 p の量：Trans[i, j, p] ▪ check 文も PROD で添字づけ、製品ごとに「供給の合計 = 需要の合計」 を検証する Trans[i, j, p] 発地 i から着地 j へ輸送する製品 p の量 第3の添字 PROD が 3次元のデータを生む AMPL 第4章 4
4 .1 多 品種 輸 送 モデ ル
AMPLモデル：multi.mod（図4-1）
set ORIG;
set DEST;
set PROD;
# origins
# destinations
# products
param supply {ORIG,PROD} >= 0;
param demand {DEST,PROD} >= 0;
check {p in PROD}:
sum {i in ORIG} supply[i,p] =
sum {j in DEST} demand[j,p];
param limit {ORIG,DEST} >= 0;
前半
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST, p in PROD}
cost[i,j,p] * Trans[i,j,p];
後半
subject to Supply {i in ORIG, p in PROD}:
sum {j in DEST} Trans[i,j,p] = supply[i,p];
subject to Demand {j in DEST, p in PROD}:
sum {i in ORIG} Trans[i,j,p] = demand[j,p];
subject to Multi {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p] <= limit[i,j];
param cost {ORIG,DEST,PROD} >= 0;
var Trans {ORIG,DEST,PROD} >= 0;
AMPL 第4章
5
4 .1 多 品種 輸 送 モデ ル
Multi制約：輸送能力を共有する
▪ 発地・着地の組合せで添字づけたパラメータ limit[i, j] を追加する
規模の例
▪ Multi制約：各 (i, j) について、全製品 p の輸送量の合計が limit[i, j] を超
えない
発地 5 ・ 着地 20 ・ 製品 10 のとき
▪ この制約があると、ある製品の輸送量は他の製品の輸送量に左右され
るため、製品ごとに独立して解くことはできなくなる
1,000
変数の数
（発地×着地×製品）
250
制約の数
（発地+着地）×製品
見かけほど大きくない
param limit {ORIG,DEST} >= 0;
AMPL
limit制約がなければ、製品の輸送は互いに独立なので、製品
subject to Multi {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p] <= limit[i,j];
ごとに小さな輸送問題を別々に解く方が効率的である。limit
制約が加わって初めて、1つの大きなLPを解く必要が生じる
。
AMPL 第4章
6
4 .1 多 品種 輸 送 モデ ル
3次元データを2次元の表に切り分けて表示
ampl: model multi.mod; data multi.dat; solve;
CPLEX 8.0.0: optimal solution; objective 199500
ampl: display {p in PROD}: {i in ORIG, j in DEST} Trans[i,j,p];
Trans[i,j,'bands'] [*,*] (tr)
:
CLEV GARY PITT
:=
DET
0
0
300
FRA
225
0
75
FRE
0
0
225
LAF
225
0
25
LAN
0
0
100
STL
250
400
0
WIN
0
0
75
;
ampl
切り分け表示の考え方
ORIG × DEST × PROD の3次元データは、1つの添字（ここでは製
品）に沿って切り分け、2次元の表の集まりとして表示する。
display コマンドは切り分ける添字を自動推測するが、明示的
な添字式を書けば表示方法を指定できる。
端数輸送の悩み
PITT→LAFへのバンド輸送はわずか25トン。「0か50トン以
上」という条件は線形制約では表せない ―― 第20章の整
数計画法で扱う。
coils・plate の表も同様に表示される（紙面の都合により省略）
AMPL 第4章
7
4 .2 多 期間 生 産 モデ ル
週の集合 1..T を追加する
▪ 図1-4aの生産モデルを、1週間ではなくT週間分の計画に拡張す
る
▪ 1からTまでの整数の集合を表す略記 1..T を使う
▪ rate 以外の全パラメータ・変数をこの集合上に複製する
▪ 週ごとに制約 Time ができ、目的関数は製品と週の両方につい
て合計する
set PROD;
param T > 0;
# products
# number of weeks
図4-3
param rate {PROD} > 0;
# tons/hour produced
param avail {1..T} >= 0;
# hours available
param profit {PROD,1..T};
# profit per ton
param market {PROD,1..T} >= 0; # limit on tons sold
var Make {p in PROD, t in 1..T}
>= 0, <= market[p,t];
maximize Total_Profit:
sum {p in PROD, t in 1..T}
profit[p,t] * Make[p,t];
subject to Time {t in 1..T}:
sum {p in PROD} (1/rate[p])
* Make[p,t] <= avail[t];
AMPL 第4章
8
4 .2 多 期間 生 産 モデ ル 在庫で週をつなぐ：Make・Inv・Sell ▪ Make[p, t] は生産量のみを表し、必ずしも販売量とは一致しなくなる ▪ 新しい変数 Inv[p, t]（在庫）と Sell[p, t]（販売量、上限 market[p,t]）を追加する ▪ 初期在庫パラメータ inv0[p] を、制約 Init_Inv によって Inv[p, 0] に固定する Balance制約（週をつなぐ鍵） 生産 Make[p,t] + 前週末の在庫 Inv[p,t-1] = 販売 Sell[p,t] + 今週末の在庫 Inv[p,t] 意味：生産量+繰り越された在庫 ＝ 販売量+繰り越す在庫（第1週では Inv[p,0] が初期在庫 inv0[p] になる） AMPL 第4章 9
4 .2 多 期間 生 産 モデ ル 解の解釈：在庫を使って高値の週に売る Make（生産量, トン） Inv（在庫量, トン） Sell（販売量, トン） 週 bands coils 週 bands coils 週 bands coils 1 5,990 1,407 0 10 0 1 6,000 307 2 6,000 1,400 1 0 1,100 2 6,000 2,500 3 1,400 3,500 2 0 0 3 1,400 3,500 4 2,000 4,200 3 0 0 4 2,000 4,200 4 0 0 第1週に生産したコイル1,100トンは、より高値で売れる第2週まで在庫として持ち越されている。第2〜4週はコイルが上限まで販売され 、バンドが残りの生産能力を埋めている。 AMPL 第4章 10
4 .3 生 産と 輸 送 のモ デ ル 生産モデルと輸送モデルを統合する 生産モデル （圧延所 ORIG ごとに複製） Make[i,p] ・ 制約 Time 輸送モデル （製品 PROD ごとに複製） Trans[i,j,p] ・ 制約 Supply/Demand Make[i, p] ＝ supply[i, p] ▪ ORIG（発地＝圧延所）と PROD（製品）の集合は両モデルで共通 ▪ 輸送モデルの supply[i,p]（発地で利用可能な量）は、生産モデルの Make[i,p]（発地で生産される量）と実は同じもの ▪ supply の定義を落とし、Supply制約を「Σ(j∈DEST) Trans[i,j,p] = Make[i,p]」に書き換えて2つのモデルを1つに統合する AMPL 第4章 11
4 .3 生 産と 輸 送 のモ デ ル
AMPLモデル：steelP.mod（図4-6）
set ORIG;
set DEST;
set PROD;
# origins (mills)
# destinations
# products
param rate {ORIG,PROD} > 0;
param avail {ORIG} >= 0;
param demand {DEST,PROD} >= 0;
param make_cost {ORIG,PROD} >= 0;
param trans_cost {ORIG,DEST,PROD}
>= 0;
var Make {ORIG,PROD} >= 0;
var Trans {ORIG,DEST,PROD} >= 0;
AMPL 第4章
前半
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, p in PROD}
make_cost[i,p] * Make[i,p] +
sum {i in ORIG, j in DEST, p in PROD}
trans_cost[i,j,p] * Trans[i,j,p];
後半
subject to Time {i in ORIG}:
sum {p in PROD} (1/rate[i,p])
* Make[i,p] <= avail[i];
subject to Supply {i in ORIG, p in PROD}:
sum {j in DEST} Trans[i,j,p] = Make[i,p];
subject to Demand {j in DEST, p in PROD}:
sum {i in ORIG} Trans[i,j,p] = demand[j,p];
12
4 .3 生 産と 輸 送 のモ デ ル 解の解釈：費用の内訳と双対値 1,392,175 1,215,250 総費用（objective） 生産費用（約87%） 176,925 輸送費用（約13%） ▪ 生産費用が総費用の大半を占め、輸送費用は相対的に小さい ▪ AMPLは任意の正しい式（合計など）を評価・表示できる ―― display sum{...} で費用内訳を直接確認できる Time制約の双対値（限界価値）：GARY -2800 ／ CLEV -1300 ／ PITT 0 能力を追加するならGARYへの投資が総費用に最も大きく効き、PITTに追加しても効果はない。 AMPL 第4章 13
RE FE REN C E AMPLの対話的モデリング環境（画面例） さまざまな AMPL統合環境（ IDE）で、モデルの編集・ solve の実行・display 結果の確認を対話的に行っている様子 AMPL/Java/Swing ― モデルの編集・solveの実行・displayに よる結果確認という基本操作の例 AMPL 第4章 AMPL/Tk ― 変数に上限・下限（commit / market）を持たせ たモデルの実行例 AMPLWin ― 複数の添字集合（PROD × STAGE）でパラメータ を添字づけたモデルの実行例 14
S U M MAR Y 本章のまとめ 大きなLPの多くは、小さな単純なLPを結び合わせることで生まれる 多品種輸送モデルはPROD集合を加えて添字を拡張し、Multi制約で発地・着地間の総輸送量を制限できる 多期間生産モデルは 1..T 集合で週を複製し、Balance制約（生産＋繰越在庫＝販売＋繰越在庫）で週をつなぐ 生産と輸送のモデルは、Make[i,p] = supply[i,p] という対応に着目して2つのモデルを1つに統合する AMPLは集合・添字を活用することで、モデルの本質的な論理を保ったまま規模を拡張できる AMPL 第4章 15
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 Σ 第5章 単純な集合と添字 集合はモデルの骨格――順序のない集合・数値の集合・集合演算・添字式・順序集合を学ぶ 全22章シリーズ 第5回
§ 本章 の内 容 第5章 単純な集合と添字 ― アジェンダ 5-1 順序のない集合 文字列の集合を宣言・列挙する基本形 5-2 数値の集合 数値リテラルと ".." "by" による範囲指定 5-3 集合演算 union / inter / diff / symdiff で新しい集合を作る 5-4 所属に関する演算と関数 in / within と card() で所属・部分集合を調べる 5-5 添字式 {i in S} の形でモデル構成要素や総和を添字づける 5-6 順序集合 ordered / circular と prev・next・ord などの関数 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 01 / 14
{} 導入 集合はAMPLモデルの最も基本的な構成要素 ● パラメータ・変数・制約のほとんどすべては集合で添字づけられ る 集合の要素は… ● 多くの式は集合上の演算（総和など）を含む • ● 集合による添字づけこそ、簡潔なモデルで大規模な数理計画問題 を記述可能にする機能 ● AMPL は多種多様な集合の型と演算を提供する 文字列 or 数値 "coils" のような文字列、あるいは 1990 のような数値 • 順序あり or なし 既定は無順序。ordered / circular で順序を持たせられる • 単独 or 組（タプル） 順序対・三つ組など、より長い組としても現れる（第6章 ） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 02 / 14
{} 5-1 順序 のな い集 合 集合の宣言と文字列リテラル ● 最も初歩的な集合＝文字列の順序のない集まり ● キーワード set と名前だけで宣言できる ● 名前は数字で始まらない文字・数字・下線の並び set PROD; # 予約語も再定義できる例 set prod; ● 大文字と小文字は区別される（"fish"≠"Fish"≠"FISH"） ● 文字列は単一引用符または二重引用符で区切る 引用の例 'A&P' 単一引用符で区切る文字列 "Bell+Howell" 二重引用符で区切る文字列 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 03 / 14
∅ 5-1 順序 のな い集 合 リテラルな集合とモデル／データの分離 set PROD = {"bands", "coils", "plate"}; {} {"bands"} # 空集合 # 要素数 1 の集合 ✓ ✓ ✓ データ分離が基本 リテラルが有効な場面 "bands" と {"bands"} は別物 要素は通常、モデルではなくデータ（第9章 ）で指定するのが大半の応用で推奨される 要素数が少ない／モデルの基本要素／頻繁に 変わらない場合に限って直接列挙する 文字列そのものと、要素が1個の集合は AMPL 上で区別される AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 04 / 14
#
5-2
数値 の集 合
数値リテラルと ".." "by" による範囲指定
● 集合の要素は数値でもよい（文字列との混在も可能）
● {1,2,3,4,5,6} は 1..6 とより簡潔に書ける
● 既定の間隔は 1。by 句で任意の間隔を指定できる
● 数値要素は算術式でそのまま使える（例：Inv[p,t-1]）
set YEARS = 1990 .. 2020 by 5;
# 展開すると
{1990,1995,2000,2005,
2010,2015,2020}
より良い書き方
param start integer;
param end > start integer;
param interval > 0 integer;
set YEARS = start..end by interval;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
05 / 14
± 5-2 数値 の集 合 浮動小数点の丸め誤差に注意 集合の要素は、実数の場合は最も近い表現可能な浮動小数点数として格納される。 0 や 1 がちょうど現れると思うかもしれないが、丸め誤差のためそうはならない。 ampl: display -5/3 .. 5/3 by 1/3; set -5/3 .. 5/3 by 1/3 := -1.6666666666666667 0.33333333333333326 -1.3333333333333335 0.6666666666666663 -1 0.9999999999999998 -0.6666666666666667 1.3333333333333333 -0.3333333333333335 1.6666666666666663 -2.220446049250313e-16; ● 正確な値に依拠するモデルでは、集合に分数を使うのは避けるのが賢明 ● 整数要素なら通常は問題ない（IEEE 標準では約 10^16 まで正確に表現可能） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 06 / 14
∪ 5-3 集合 演算 既存の集合から新しい集合を作る4つの演算子 A union B 和：A か B のいずれかに属する A inter B 共通部分：A と B の両方に属する ampl: set Y1 = 1990..2020 by 5; ampl: set Y2 = 2000..2025 by 5; ampl: display Y1 union Y2, Y1 inter Y2; Y1 union Y2 := 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025; Y1 inter Y2 := 2000 2005 2010 2015 2020; A diff B 差：A に属し B に属さない A symdiff B 対称差：A か B に属するが両方には属さな い union / diff / symdiff は同順位、inter はそれより優先度が高い（左結合） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 07 / 14
∪
5-3
集合 演算
配合モデルでの活用例（図5-1 dietu.mod）
● 下限のある栄養素 MINREQ、上限のある栄養素 MAXREQ を宣言
● 全栄養素 NUTR を毎回別に指定させると、整合性の保証がモデ
ル利用者任せになる
● 代わりに NUTR を union で自動的に定義すれば、冗長性や誤り
を防げる
● 原則：データで与えるのは必要最小限の集合、他は式で定義す
る
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
set MINREQ;
set MAXREQ;
# 下限がある栄養素
# 上限がある栄養素
set NUTR = MINREQ union MAXREQ;
param n_min {MINREQ} >= 0;
param n_max {MAXREQ} >= 0;
param amt {NUTR,FOOD} >= 0;
08 / 14
5-4 ∈ 所属 に関 する 演算 と関数 in / within / not と card() in "B2" in NUTR 要素が集合に属するとき真（代数記法の ∈ に対応） within MINREQ within NUTR 左の集合がすべて右の集合に属するとき真（⊆ に対応） not in / not within j not in FOOD 結果の真偽を反転する card( ) card(NUTR) 集合の要素数（濃度）を返す組込み関数 宣言に直接 within を使うと部分集合であることをAMPLに強制できる： set MAXREQ within NUTR; AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章 09 / 14
∀
5-5
添字 式
波括弧 { } で書く、AMPLの添字づけの基本形
● 代数記法の「すべての i∈P について」に対応するのが添字式
{...}
param rate {PROD} > 0;
param avail {1..T} >= 0;
● 最も単純な形は、波括弧に囲まれた集合名または集合式
● t や j のような名前は「ダミー添字」と呼ばれる
● パラメータ・変数の宣言は param・var に続けて全く同じ書き
方ができる
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
param f_min {FOOD} >= 0;
param f_max {j in FOOD} >= f_min[j];
var Buy {j in FOOD}
>= f_min[j], <= f_max[j];
10 / 14
⊆
5-5
添字 式
ダミー添字の有効範囲と条件付き添字式
● ダミー添字が有効なのは、それを定義する添字式の有効範囲の内側だけ
● 有効範囲が終われば未定義に戻るので、同じ添字名を繰り返し使ってよい
● 集合名の後に「: 条件」を続けると、条件を満たす要素だけの部分集合になる
● 空集合で添字づけても誤りではない（該当する構成要素は生成が飛ばされる）
{j in FOOD: f_max[j] - f_min[j] < 1}
set NUTREQ =
MAXREQ union {i in MINREQ: n_min[i] > 0};
subject to Food_Ratio {j in FOOD}:
Buy[j] >= min_frac[j] *
sum {jj in FOOD} Buy[jj];
# 外側の j と区別するため jj を使用
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
11 / 14
⇒
5-5
添字 式
display 文での添字式の活用（図5-1・5-2に基づく）
ampl: display MAXREQ union {i in MINREQ:
n_min[i] > 0};
set ... := A NA CAL C;
ampl: display {j in FOOD: Buy[j] > f_min[j]};
set ... := CHK MTL SPG;
ampl: display {i in MINREQ:
Diet_Min[i].slack = 0};
set ... := C CAL;
対話コマンドの添字式では変数・制約も条件に参照できるが、モデル内で参照できるのは集合・パラメータ・ダミー添字だけ。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
12 / 14
→
5-6
順序 集合
ordered / circular と前後を扱う関数
● ordered / circular を加えると、要素の並び順をAMPLが保持する
set WEEKS ordered;
● ordered：最初の要素に前者なし、最後の要素に後者なし
● circular：最後の次は最初、最初の前は最後とみなす
→
first(S) / last(S)
絶対位置の要素
→
prev(t) / next(t)
相対位置の要素
→
ord(t) / ord0(t)
集合内での位置（番号）
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
subject to Balance
{p in PROD, t in WEEKS: ord(t)>1}:
Make[p,t] + Inv[p,prev(t)]
= Sell[p,t] + Inv[p,t];
subject to Balance0 {p in PROD}:
Make[p,first(WEEKS)] + inv0[p]
= Sell[p,first(WEEKS)]
+ Inv[p,first(WEEKS)];
13 / 14
∞
5-6
順序 集合
区間式と定義済みの無限集合
interval [a,b]
a ≤ x ≤ b の実数区間
interval (a,b]
a < x ≤ b の実数区間
integer [a,b]
a ≤ x ≤ b の整数区間
定義済みの無限集合
Reals
Integers
ASCII
EBCDIC
Display
# すべての浮動小数点数
# すべての整数
# ASCII 照合順序
# EBCDIC 照合順序
# display の並び順
set PROD ordered by ASCII;
param rate {PROD} in (0,maxrate]; は param rate {PROD} > 0, <= maxrate; と同じ意味
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第5章
14 / 14
✓ 第5章のまとめ • 集合はAMPLモデルの基本構成要素 パラメータ・変数・制約のほとんどは集合で添字づけられる • 順序のない集合と数値の集合 set宣言、文字列・数値のリテラル、".." "by" 記法 • 集合演算子は4種類 union（和）・inter（共通部分）・diff（差）・symdiff（対称差） • 所属演算と添字式が核心 in / within / card() と {i in S: 条件} がモデル全体を貫く • 順序集合で「前後」を扱う ordered / circular、first・last・prev・next・ord 関数 次章（第6章）：対や三つ組の集合、集合の添字づけられた集まりを含む複合集合へ
Σ AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 対・三つ組・組の集合と、集合で添字づけられた集合の集まりで複雑な構造を表現する Fourer, Gay, Kernighan『AMPL』日本語版 全22章シリーズ
AG EN D A ≡ 6.1 本章の内容 順序対の集合 対象をコンマで区切り括弧で囲んで書く順序対と、その集合 6.2 順序対の部分集合とスライス within で許される対だけを扱い、スライスで和をとる 6.3 より長い組の集合 三つ組・四つ組など任意長の組へ自然に拡張 6.4 組の集合に対する演算 union・cross・setof など複合集合の演算子 6.5 集合の添字づけられた集まり 他の集合で添字づけられた集合 AREA{p} の考え方 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 2
6 .1 (,) 順 序対 の 集 合 複合集合とは何か ほとんどの線形計画モデルは、複数の集合の要素の組合せにわた る添字づけを含む。対・三つ組・四つ組など、対象の「組」を要 素とする集合を 複合集合（compound sets） と呼ぶ。順序対の集 合の宣言と使用から本章を始める。 // 順序対の書き方 ("PITT","STL") ("bands",5) (3,101) // 順序対の集合（リテラル） {("PITT","STL"),("PITT","FRE"), ("PITT","DET"),("CLEV","FRE")} • 順序が意味を持つ • ("STL","PITT") と ("PITT","STL") は別物 • 同じ対象が第1・第2要素の両方に現れてよい AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 // 数値の対の集合 {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} 3
6 .1
×
•
順 序対 の 集 合
二つの集合からできる全対の集合
二つの与えられた集合からできるすべての順序対の集合が頻
繁に現れる。
•
添字式では {ORIG, DEST} または {i in ORIG, j in DEST} と書く。
•
対の集合を明示的に定義すると、発地・着地の対が都市間の
// 輸送モデル（図3-1a）
{ORIG, DEST}
{i in ORIG, j in DEST}
// 多期間生産モデル（図4-4）
{PROD, 1..T}
{p in PROD, t in 1..T}
「リンク」であることを強調できる。
// リンクとして明示的に定義
set LINKS = {ORIG,DEST};
•
添字が二つ必要
revenue[p,t] や Sell[p,t] のように、対の順序どおりに添字を書く。第1
添字は PROD、第2添字は 1..T に対応する。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
param cost {LINKS} >= 0;
var Trans {LINKS} >= 0;
4
6 .1
▤
順 序対 の 集 合
図6-1 全対を使った輸送モデル
set ORIG;
set DEST;
# origins
# destinations
transp2.mod
set LINKS = {ORIG,DEST};
param supply {ORIG} >= 0;
param demand {DEST} >= 0;
# amounts available at origins
# amounts required at destinations
check: sum {i in ORIG} supply[i] = sum {j in DEST} demand[j];
param cost {LINKS} >= 0;
var Trans {LINKS} >= 0;
# shipment costs per unit
# units to be shipped
•
LINKS = {ORIG,DEST} は ORIG と DEST
の全対。
•
sum の添字はダミー添字を対の形
(i,j) で定義しなければならない。
minimize Total_Cost:
sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Trans[i,j];
•
{k in LINKS} のように単一のダミー
添字で走らせるのは誤り。
subject to Supply {i in ORIG}:
sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i];
subject to Demand {j in DEST}:
sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
•
図3-1a と同じ問題を、リンクとい
う概念で書き直したもの。
5
6 .2 ⊂ • 順 序対 の 部 分集 合 と スラ イ ス 使える対だけを部分集合として宣言する すべての発地からすべての着地へ輸送できるとは限らな い。 • cost・Trans・目的関数の宣言はそのまま 費用と輸送量を、使える発地・着地の対だけで添字づけ param cost {LINKS} >= 0; var Trans {LINKS} >= 0; たい。 • LINKS を全対の部分集合として宣言する。 sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Trans[i,j]; // 最低限（次元だけ指定） set LINKS dimen 2; • // より良い：部分集合として宣言 set LINKS within {ORIG,DEST}; cost[i,j]・Trans[i,j] は LINKS の要素としてデータで与えられた対 についてのみ定義される。 • 和の式は指定された対だけにわたって取られる。 意図が明確になり、データの誤りも検出できる AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 6
6 .2
!
順 序対 の 部 分集 合 と スラ イ ス
制約の書き方 ── スライスで和をとる
元の書き方はもう使えない
正しい書き方 ── LINKS でスライス
subject to Supply {i in ORIG}:
sum {j in DEST} Trans[i,j]
= supply[i];
subject to Supply {i in ORIG}:
sum {(i,j) in LINKS} Trans[i,j]
= supply[i];
error processing constraint Supply['GARY']:
invalid subscript Trans['GARY','FRA']
•
i がすでに定義済みの文脈では、{(i,j) in LINKS} は「(i,j) が LINKS
に属するすべての j」の集合と解釈される。
•
書ける同義の詳細形：
LINKS にない対まで合計しようとしてしまう
sum {j in DEST: (i,j) in LINKS} Trans[i,j]
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
7
6 .2
▤
順 序対 の 部 分集 合 と スラ イ ス
図6-2a 選ばれた対を使った輸送モデル
set ORIG;
set DEST;
# origins
# destinations
transp3.mod / .dat
set LINKS within {ORIG,DEST};
param supply {ORIG} >= 0;
param demand {DEST} >= 0;
# amounts available at origins
# amounts required at destinations
check: sum {i in ORIG} supply[i] = sum {j in DEST} demand[j];
•
param cost {LINKS} >= 0;
var Trans {LINKS} >= 0;
# shipment costs per unit
# units to be shipped
minimize Total_Cost:
sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Trans[i,j];
subject to Supply {i in ORIG}:
sum {(i,j) in LINKS} Trans[i,j] = supply[i];
図6-1との違いは within の1行と、
Supply/Demand の sum だけ。
•
データは GARY・CLEV・PITT から
一部の着地への疎なリンクのみ。
•
第9章で複合集合のデータ指定方
法を詳しく扱う。
subject to Demand {j in DEST}:
sum {(i,j) in LINKS} Trans[i,j] = demand[j];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
8
6 .2 ▦ 順 序対 の 部 分集 合 と スラ イ ス 表で見るスライス ── {(i,j) in LINKS} FRA GARY CLEV × PITT × DET LAN × × × × WIN STL FRE LAF × × × × × × × × 行＝発地、列＝着地。×は LINKS に属する対（疎な部分集合） i, j とも未定義 i が定義済み j が定義済み {(i,j) in LINKS} {("GARY",j) in LINKS} {(i,"LAN") in LINKS} 表のすべての × を表す（目的関数の中など） GARY の行だけを取り出す＝行スライス（ Supply制約） LAN の列だけを取り出す＝列スライス（ Demand制約） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 9
6 .3
よ り長 い 組 の集 合
…
三つ組・より長い組への拡張
•
順序対の記法は三つ組・四つ組・任意長のリストへ自然に
拡張される。
•
集合中の組はすべて同じ次元でなければならない。
•
発地・着地・製品の三つ組の部分集合 ROUTES を宣言できる
。
100,000
発地10・着地100・製品100なら within {ORIG,DEST,PROD} は潜在的に
// 三つ組の部分集合として宣言
set ROUTES within {ORIG,DEST,PROD};
param cost {ROUTES} >= 0;
var Trans {ROUTES} >= 0;
// 三つ組の形で書く
minimize Total_Cost:
sum {(i,j,p) in ROUTES}
cost[i,j,p]*Trans[i,j,p];
// スライス：i と p が既定義
subject to Supply {i in ORIG, p in PROD}:
sum {(i,j,p) in ROUTES}
Trans[i,j,p] = supply[i,p];
最大10万要素。AMPL は宣言時にこの集合を作らず、ROUTES のデ
ータ各組の各成分だけを検査するので効率的。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
10
6 .4 ∪ 組 の集 合 に 対す る 演 算 複合集合の演算子 union / inter / diff / symdiff ∪ 第5章の単純な集合と同じ演算。次元の一致する複合集合どうしで使える in / within / card ∈ 所属検査・部分集合検査・要素数のカウントも同様に使える cross（デカルト積） × ORIG cross DEST は添字式 {ORIG,DEST} と同じ集合を与える setof（反復演算子） S() AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字 sum と同様に添字式＋式。定義域をモデル内で組み立てられる 11
6 .4
△
組 の集 合 に 対す る 演 算
setof で定義域を組み立てる／順序を条件に使う
// ROUTES から成分を取り出す
set ROUTES dimen 3;
順序づけられた集合と ord()
set PROD = setof {(i,j,p) in ROUTES} p;
set LINKS =
setof {(i,j,p) in ROUTES} (i,j);
set ORIG ordered;
set TRANSF = {i1 in ORIG, i2 in ORIG:
ord(i1) < ord(i2)};
重複する要素は無視され、新しい集合にまとめられる
// 条件つきの複合集合
set TRANSF =
{i1 in ORIG, i2 in ORIG: i1 <> i2};
•
まない。
•
// PITT-PITT のような対を除外
ORIG で先に来る方に応じて ("PITT","CLEV") か ("CLEV","PITT") の
いずれか一方だけを含む。
•
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
「三角形」の対の集合になる ── 対とその逆順の対を両方は含
数値の集合は自然に順序づけられているので同様に扱える。
12
6 .5
[]
•
集 合の 添 字 づけ ら れ た集 ま り
他の集合で添字づけられた集合
集合は個々に宣言するのが最も一般的だが、他の集合で添字
づけられた集まりとしても宣言できる。
•
パラメータ・変数・制約の添字づけられた集まりとほぼ同じ
原理。
•
// 地域でも添字づけ
param market
{p in PROD, AREA[p], 1..T} >= 0;
param revenue
{p in PROD, AREA[p], 1..T} >= 0;
う例。
var Sell
{p in PROD, a in AREA[p], t in 1..T}
>= 0, <= market[p,a,t];
set PROD;
set AREA {PROD};
// 製品 p の全地域にわたる収入
sum {a in AREA[p]}
revenue[p,a,t]*Sell[p,a,t]
多期間生産モデルを拡張し、製品ごとに異なる市場地域を扱
PROD の各要素 p について集合 AREA[p] が存在する。その要素は製品 p が
販売される市場地域。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
13
6 .5
▤
集 合の 添 字 づけ ら れ た集 ま り
図6-3 添字づけられた集合を使った多期間生産
set PROD;
set AREA {PROD};
param T > 0;
# products
# market areas for each product
# number of weeks
steelT3.mod（抜粋）
param market {p in PROD, AREA[p], 1..T} >= 0;
param revenue {p in PROD, AREA[p], 1..T} >= 0;
var Sell {p in PROD, a in AREA[p], t in 1..T}
>= 0, <= market[p,a,t];
maximize Total_Profit:
sum {p in PROD, t in 1..T}
(sum {a in AREA[p]} revenue[p,a,t]*Sell[p,a,t]
- prodcost[p]*Make[p,t] - invcost[p]*Inv[p,t]);
subject to Balance {p in PROD, t in 1..T}:
Make[p,t] + Inv[p,t-1]
= sum {a in AREA[p]} Sell[p,a,t] + Inv[p,t];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
•
データでは製品ごとに AREA[p] を
個別に指定する。
•
market・revenue は3集合で添字づ
けられ、製品ごとに一つの表とし
て与えるのが便利。
•
階層関係（製品→地域）を素直に
表現できる。
14
6 .5
⇄
集 合の 添 字 づけ ら れ た集 ま り
使い分けの指針 ── 添字づけられた集まり vs 組の集合
▽
•
製品 p ごとに市場地域 AREA[p] が決まるような、非対称な関係
に向く。
•
⇔
階層関係 → 添字づけられた集まり
「一つの製品を販売する全地域」を何度も参照するが、逆方向
はほぼ使わない。
set orig {PROD} within ORIG;
set dest {PROD} within DEST;
set links {p in PROD} =
orig[p] cross dest[p];
対称関係 → 組の集合
•
発地と着地のように対等な実体どうしの関係に向く。
•
図6-5の Multi 制約のように、階層に沿わない参照が必要な場合
はやや扱いにくい添字式になる。
// 図6-5 multic.mod（抜粋）
subject to Multi {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD:
(i,j) in links[p]}
Trans[p,i,j] <= limit[i,j];
// 反復和・反復共通部分
union {p in PROD} orig[p]
inter {p in PROD} orig[p]
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第6章 複合集合と添字
15
✓ 1 2 3 4 5 まとめ 複合集合 対・三つ組・より長い組を要素とする集合。組の順序が意味を持ち、次元はすべて揃える 全対と部分集合 {ORIG,DEST} は全対、within で使える対だけの部分集合 LINKS を定義できる スライス {(i,j) in LINKS} は、i や j がすでに定義済みの文脈では対応する行・列だけを取り出す 演算子 union・cross・setof など。cross はデカルト積、setof は反復して定義域を組み立てる 添字づけられた集合 AREA{PROD} のように他の集合で添字づけ。階層関係には添字づけの集まり、対称関係には組の集合が適 する 次章：第7章「線形計画モデル ─ その他の話題」
P{} AM P L ：数 理計 画のた めのモ デリ ング言 語 第 7 章 パラメータと式 宣言・演算子・条件式でモデルの数値を組み立てる 全22章シリーズ ― 第7章 / 22
本章の内容 ≡ 7-1 パラメータの宣言 7-5 計算されるパラメータ 7-2 算術式 7-6 ランダムに生成されるパラメータ 7-3 論理式と条件式 7-7 論理パラメータ 7-4 パラメータへの制限 7-8 記号パラメータ AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式 2
T
7-1 パラ メー タの 宣言
スカラーと添字づけられたパラメータ
■ 最も単純な宣言はキーワード param と名前だけ：param T; と書
けば以降どこでも T で数値を参照できる。
■ 名前の後に添字式を続けると、集合の各要素につき一つのパラ
メータが定義される。
■ 参照するときは名前に角括弧で「添字」を添える：avail[i]、
demand[j,p] のように。
■ 添字は、もとの添字集合の要素に評価される限り、任意の式で
よい。
p ar a m 宣 言の 例
param T;
param avail {1..T};
param demand {DEST,PROD};
param revenue
{p in PROD, AREA[p], 1..T};
添 字を 付 けて 参 照す る
avail[i]
demand[j,p]
revenue[p,a,t]
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
3
[]
7-1 パラ メー タの 宣言
ベクトル・行列・疎行列としてのパラメータ
ベクトル
整数列で添字づけ
param avail {1..T};
avail[1], avail[2],
..., avail[T]
整数列にわたる添字づけは配列・ベクトル
に対応するが、文字列の集合で添字づけて
もよい。
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
行列
対の全組合せで添字づけ
疎な行列
対の部分集合で添字づけ
set ORIG; set DEST;
param cost {ORIG,DEST};
set LINKS within {ORIG,DEST};
param cost {LINKS};
cost[i,j]
cost[i,j]
(すべての i,j)
ORIG の i と DEST の j のあらゆる組合せにつ
いて cost[i,j] が存在する。
((i,j) in LINKS)
(i,j) が LINKS の要素であるときのみ cost[i,j]
が存在する「疎な」行列となる。
4
7-2 算術 式 + 演算子と優先順位（表 7-1） 通常の書き方 代替の書き方 if-then-else or || exists forall 型（被演算子 → 結果） 優先順位が下ほど高い（表は下に行くほど強 論理,算術 → 算術 く結合）。 論理 → 論理 論理 → 論理 and && 論理 → 論理 not（単項） ! 論理 → 論理 < <= = <> > >= < <= == != > >= 算術 → 論理 in not in 対象,集合 → 論理 + - less 算術 → 算術 sum prod min max 算術 → 算術 * 算術 → 算術 / div mod + -（単項） ^ べき乗と if-then-else は右結合、他は左結合。 if-then-else の論理被演算子は if の後、算術被 演算子は then / else の後に置く。 算術 → 算術 ** AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式 算術 → 算術 5
Σ
7-2 算術 式
組込み関数と反復演算子
表 7-2
組込み算術関数（抜粋）
反 復総 和 su m
abs(x)
sqrt(x)
exp(x)
絶対値
平方根
指数関数
log(x)
log10(x)
min/max(...)
自然対数
常用対数
最小・最大
sin cos tan
asin acos atan
sinh cosh tanh
三角関数
逆三角関数
双曲線関数
sum {i in ORIG} supply[i]
sum {i in ORIG, j in DEST}
cost[i,j] * Trans[i,j]
su m の 優先 順 位に 注 意
min・max 以外は再定義可能（元の意味は使えなくなる）。
card・ord も算術値を返す。
sum {p in PROD, t in 1..T}
(sum {a in AREA[p]}
revenue[p,a,t]*Sell[p,a,t]
- prodcost[p]*Make[p,t] - ...);
■ 他の反復演算子：prod（積）・min・max。sum は * より優先順位が低く
、+ - より高い。
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
6
? 7-3 論理 式と 条件 式 比較・論理演算子 比較演算子 論 理式 の 例 = 等しい <> 等しくない T >= 0 and T <= 10 < より小さい <= 以下 i in MAXREQ or n_min[i] > 0 > より大きい >= 以上 exists {i in ORIG} demand[i] > 10 forall {i in ORIG} demand[i] > 10 ■ and：両方真のとき真 / or：少なくとも一方が真のとき真 / not：真偽を反転。 ■ 反復版：exists（反復 or）、forall（反復 and）。 ■ 優先順位：比較・in・算術 > not > and > or。 n ot の 優先 順 位（ 表 7 -1 参 照） not i in MAXREQ or n_min[i] > 0 and n_min[i] <= 10 # は次のように解釈される： (not (i in MAXREQ)) or ((n_min[i]>0) and (n_min[i]<=10)) AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式 7
if
7-3 論理 式と 条件 式
if-then-else 条件演算子
if a then b else c
■ a は論理式。真なら値 b、偽なら値 c をとる。
■ c が 0 のとき else c は省略できる。
■ b と c は同じ種類の式であれば算術式・文字列式・集合式でもよい。
■ then / else は他のどの演算子より優先順位が低いので、文末以外では
括弧が必要。
二 つの 制 約を 一 つに ま とめ る 例
subject to Balance0 {p in PROD}:
Make[p,first(WEEKS)] + inv0[p]
= Sell[p,first(WEEKS)]
+ Inv[p,first(WEEKS)];
subject to Balance
{p in PROD, t in WEEKS: ord(t)>1}:
Make[p,t] + Inv[p,prev(t)]
= Sell[p,t] + Inv[p,t];
# ↓ if-then-else でひとつに統合
subject to Balance {p in PROD, t in WEEKS}:
Make[p,t] +
(if t=first(WEEKS) then inv0[p]
else Inv[p,prev(t)])
= Sell[p,t] + Inv[p,t];
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
8
>1
7-4 パラ メー タへ の制 限
宣言時に制限句でデータを検査する
■ integer・binary、または比較演算子＋算術式を宣言に付けられる。
■ 添字づけられた宣言では制限が各要素に適用される。ダミー添字を使
えば要素ごとに異なる制限も可能。
■ 同じ宣言中のパラメータ自身を参照する自己参照には if-then-else が必
要（t-1 が未定義になる場合を避ける）。
整 数か つ 1 よ り大 き い
param T > 1 integer;
param f_max {j in FOOD} >= f_min[j];
■ 一つの宣言に複数の制限句を（任意でコンマ区切りで）置ける。
対 話セ ッ ショ ン での エ ラー 例
error processing param T:
failed check: param T = 1
is not > 1;
自 己参 照 には if -t hen - els e
param cumulative_market {p in PROD, t in 1..T}
>= if t>1 then cumulative_market[p,t-1];
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
9
✓ 7-4 パラ メー タへ の制 限 check 文によるデータ検証 ■ check 文は「データのみに対する制約」。制限句より複雑な条件を 課せる。 単 純な c hec k （ 供給 ＝ 需要 ） ■ 制限節は論理式で、既定の集合・パラメータ・添字式のダミー添字 を使える。 check: sum {i in ORIG} supply[i] = sum {j in DEST} demand[j]; ■ データ読込み後に真でなければならず、失敗するとデータをすべて 拒絶する。 ■ 制限句・check 文の利用は強く推奨：誤ったデータによる誤ったLP の生成を防げる。 添 字づ け られ た c hec k check {p in PROD}: sum {i in ORIG} supply[i,p] = sum {j in DEST} demand[j,p]; 早期発見が鍵：捕らえられなかった誤りは、最悪の場合もっともらし い誤った解を生み、検出されないまま残る。 AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式 10
=
7-5 計算 され るパ ラメ ータ
= による代入句で新しいパラメータを定義
■ 代入句は = 演算子を使い、パラメータをある式に等しく設定する（制
限句は不等式だけ）。
■ 複雑な式を目的・制約に直接書くより、計算されるパラメータを介し
た方がモデルは読みやすい。
■ = で定義したパラメータには、データ文で値を指定できない（エラー
になる）。
■ セッション中、= による定義はすべて最新に保たれる（依存元を変え
れば自動的に再計算）。
需 要シ ェ アの 正 規化
param share {DEST} >= 0, <= 100;
param tot_sh =
sum {j in DEST} share[j];
param tot_dem {PROD} >= 0;
param demand {j in DEST, p in PROD}
= share[j]*tot_dem[p]/tot_sh;
最 小在 庫 を計 算 する
param frac > 0;
param market {PROD,1..T+1} >= 0;
param mininv {p in PROD, t in 0..T}
= frac * market[p,t+1];
var Inv {p in PROD, t in 0..T}
>= mininv[p,t];
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
11
D
7-5 計算 され るパ ラメ ータ
default 演算子と再帰的定義
=（代入句）
default（既定句）
パラメータを定義する。データ文で値を指定できない。依存元が変わ
れば常に再計算される。
パラメータを初期化するだけ。データ文や代入文で後から値を上書き
できる。
d efa ult の 例
再 帰的 定 義（ 移 動平 均 ）
param mininv {p in PROD, t in 0..T}
default frac * market[p,t+1];
param mininv {p in PROD, t in 0..T} =
if t = 0 then inv0[p]
else 0.5 * (mininv[p,t-1]
+ frac * market[p,t+1]);
# データ文で例外的な値を
# 上書きできる
param mininv :=
bands 2 3000
coils 2 2000 ;
# 循環参照はAMPLがエラーで検出
■ = 句や default 句の後には、制限句と同様の追加チェック（例：, >= 0）も付けられる。
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
12
R
7-6 ラン ダム に生 成さ れるパ ラメ ータ
乱数関数で試験用データを作る
■ 計算されるパラメータの一種。式に組込みの乱数生成関数（Normal
・Uniform 等）を使う。
■ モデル開発の初期段階や、異なる定式化・ソルバーの比較実験に便
利。
■ option randseed n; で種を変更できる。0 を指定すると毎回異なる系
列になる。
■ reset data コマンドで新しい乱数の標本を取り直せる。
正 規分 布 に従 う 利用 可 能時 間
param avail_mean > 0;
param avail_variance
> 0, < avail_mean/2;
param avail =
max(Normal(avail_mean,
avail_variance), 0);
一 様分 布 に従 う 需要 シ ェア ／r a nd seed
param share {DEST} = Uniform(0,100);
param tot_sh =
sum {j in DEST} share[j];
option randseed n;
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
13
0/1
7-7 論理 パラ メー タ ／ 7-8 記号 パラ メー タ
binary と symbolic
param promote {PROD,1..T+1} binary;
param entr symbolic in INTER;
■ AMPL に専用の論理型はないが、binary パラメータ（0/1）で代用できる
。
■ symbolic を付けると文字列値を表せる（数値でも文字列でもよいが、文
字列は算術に参加できない）。
■ 算術式が論理式の場所に現れると、0 以外は真、0 は偽と解釈される（暗
黙変換に注意）。
■ 用途：特別な集合要素の指定、集合要素への説明文字列の付与など。
p ro m ot e を 条件 式 で使 う
発 地の 集 合に 説 明文 字 列を 添 える
param mininv {p in PROD, t in 0..T} =
(if promote[p,t] then fr_pro
else fr_reg) * market[p,t+1];
set ORIG;
param orig_name {ORIG} symbolic;
param supply {ORIG} >= 0;
AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式
14
△ 7-8 記号 パラ メー タ 応用 木構造を集合とパラメータで表す 木 構造 の 宣言 set NODES; param Root symbolic in NODES; param pred {i in NODES diff {Root}} symbolic in NODES diff {i}; 図 7-1 根から伸びる木 ■ Root 以外のすべての節点 i は、先行節点 pred[i] を一つもつ。 ■ 節点の「深さ」＝根に到達するまでに遡る先行節点の数（根の深さは 0）。 ■ depth[i] は pred を使った再帰的な param 定義で計算できる。 ■ 閉路を含む誤ったデータでは、depth の再帰的定義が循環参照となり計算できない。 図 7-2 データ誤りで生じた切り離された閉路 AMPL:数理計画のためのモデリング言語 ― 第7章 パラメータと式 15
✓ まとめ ― 第 7 章 パラメータと式 1 param 宣言 スカラーから多次元・疎な集まりまで、添字式で自在に定義できる。 2 演算子と反復式 算術・論理演算子に加え、sum / prod / exists / forall で代数記法の Σ・Π を一般化。 3 if-then-else 論理式の真偽で値を選ぶ条件式。制約や計算されるパラメータの記述を簡潔にする。 4 制限句と check 文 宣言時の制限句とデータ全体を検査する check 文で、誤りを早期に発見する。 5 =／default／binary／symbolic 計算・初期化・真偽・文字列など、パラメータの多様な役割を使い分ける。 次章：第 8 章「変数」へ続く
A MP L ： 数 理 計 画 の た め の モ デ リ ン グ 言 語 第8章 線形計画問題：変数・目的・制約 var 宣言・線形式・目的関数・制約の書き方を体系的に学ぶ 全22章シリーズ 第8回
AG E NDA 本章の内容 8.1 変数 var 宣言、上限・下限、定義された変数、整数・バイナリ変数 8.2 線形式 AMPL が線形と認識する式の形と、等価な書き換え規則 8.3 目的 minimize / maximize の宣言と、複数目的の切り替え 8.4 制約 subject to の宣言、添字づけ、二重不等式、線形化 AMPL 第8章 02 / 15
IN TR OD UCTI ON 線形計画問題とは 変数は連続な範囲から値をとり、目的と制約は変数の線形関数のみを使う―― これが線形計画問題（LP）の要件である。 • ここまでの全ての例（生産計画・配合・輸送・部屋割当）はすべて LP • 線形関数の単純さが定式化・解釈・分析を容易にする • 制約と変数が数千個に及んでも、最適解を正確かつ迅速に発見できる • ネットワークなど特別な構造をもつ LP には専用の記法もある（第15〜17章 ） AMPL 第8章 本章 で学 ぶ4本柱 1 var（変数） 2 線形式の規則 3 minimize / maximize 4 subject to（制約） 03 / 15
8 .1 変数
var 宣言の基本構文
•
var 宣言の構文は param 宣言と同一
•
•
>= と <= の句は、変数の下限・上限（一種の制約）を課す
•
•
違いはキーワードのみ： param → var
以前に定義した集合・パラメータと、現在のダミー添
字による任意の算術式を指定できる
# パラメータ宣言（第7章）
param market {PROD};
# 変数宣言：param → var のみ変更
var Make {p in PROD}
>= 0, <= market[p];
< 、 > 、 <> は変数宣言に使えない
•
AMPL 第8章
線形計画では「< 3」に意味がない（2.99999…に望むだ
け近づけてしまう）
•
Make[p] は集合 PROD の各要素 p ごとに1つ作られる添字づけ
られた変数の集まり
•
>= 0：すべての Make[p] は非負
•
<= market[p]：各 p について Make[p] は market[p] を超えられ
ない
04 / 15
8 .1 変数
上限・下限の指定パターン
直接指定
var Make {p in PROD}
>= 0, <= market[p];
間接指定
param f_min {FOOD} >= 0;
param f_max {j in FOOD} >= f_min[j];
var Buy {j in FOOD}
>= f_min[j], <= f_max[j];
非負性を >= 0 で直接指定する、最も一般的な形。
図5-1 配合モデル：下限・上限をパラメータで間接的に指定する形。
>= と <= に続く値が、変数の下限（lower bound）と上限（upper bound）である。
var 宣言に上下限を置けばモデルは短く明快になるが、最適解自体は変わらない。ソルバーの表現によらず、AMPL はすべての上
下限を自動的に識別する。
AMPL 第8章
05 / 15
8 .1 変数
定義された変数（= 句）
•
var 宣言の = 句はパラメータと同様に「定義」を生む
•
右辺には集合・パラメータに加えて既存の変数も使える
•
= の右の線形式が、目的・制約中のその変数の出現箇所すべ
てに代入される
•
新しい制約が追加されるわけではない
•
目的の構造が明快になり、display で内訳を手軽に確認できる
var Total_Revenue =
sum {p in PROD, t in 1..T}
sum {a in AREA[p]}
revenue[p,a,t]*Sell[p,a,t];
maximize Total_Profit:
Total_Revenue - Total_Prod_Cost
- Total_Inv_Cost;
ampl: display Total_Revenue, Total_Prod_Cost,
ampl?
Total_Inv_Cost;
Total_Revenue = 801385
Total_Prod_Cost = 285643
Total_Inv_Cost = 1221
AMPL 第8章
06 / 15
8 .1 変数 その他の宣言オプション 1 2 3 := と default（初期値） integer（整数変数） binary（バイナリ変数） ソルバー起動時の開始解を与える。LP のソ ルバーは開始解をうまく活かせないことが どの最適解でも整数値をとらねばならない 。含むモデルは整数計画問題（第20章）と 0 と 1 の値しかとれない。整数計画問題の 代表的な部品となる。 多く、非線形計画（第18章）でより有用。 なる。 一時的に変数を固定したいだけなら宣言はそのままにして fix コマンド（11.4節）を使う。 恒久的にデータの値へ固定するなら、= の右辺に変数を含めず param 宣言を使うべきである。 AMPL 第8章 07 / 15
8 .2 線形式 線形式とは何か 変数が1単位増減するたびに式の値が一定量だけ増減する ―― これが「その変数について線形」の定義。すべての変数について 線形な式を線形式と呼ぶ。 AMPL が線形と認識する項 constant-expr variable-ref (constant-expr) * variable-ref 線形式の実例（図6-3） avail[t] Make[p,t] + Inv[p,t-1] sum {p in PROD} (1/rate[p]) * Make[p,t] この形の項の任意の和が線形式である。constant-expr は変数を含まない算術 式、variable-ref は（添字付き可）変数への参照。 AMPL 第8章 sum {a in AREA[p]} Sell[p,a,t] + Inv[p,t] 08 / 15
8 .2 線形式 線形式の書き換え規則 除算 ＝ 逆数の乗算 Make[p,t] / rate[p] (1/rate[p]) * Make[p,t] 乗算の順序は自由 revenue[p,a,t] * Sell[p,a,t] Sell[p,a,t] * revenue[p,a,t] 乗除算は sum に分配できる mt_t * sum{...}( ... ) sum{...}( ... ) / t_mt AMPL はこれらの等価な式を自動的に「線形の項の単純な和」へ変換する。演算子の優先順位（表A-1）で結果が同じになるなら括弧は 省略できる。 AMPL 第8章 09 / 15
8 .2 線形式 if-then-else と非線形の扱い 線形になる場合 then と else の式がともに線形で、if と else の間の論理式に変数が現れな ければ結果は線形。 Make[j,t] + (if t = first(WEEKS) then inv0[j] else Inv[j,prev(t)]) 線形にならない場合 線形式中の変数は、他のいかなる演算子の被演算子にも、いかなる関数 の引数にもなれない。 • 反復演算子： max, min, abs, forall, exists • 数値関数： ^（べき乗）, sqrt, log, cos など 線形式の一般形： constant-expr ／ var-ref ／ (constant-expr)*(linear-expr) ／ (linear-expr)/(constant-expr) ／ if logical-expr then linear-expr else linear-expr の和。この処理は AMPL が自動で行う。 AMPL 第8章 10 / 15
8 .3 目的
minimize / maximize の宣言
•
キーワード minimize または maximize、名前、コロン、線形式
で構成
•
目的の名前は代数モデル中でそれ以上の役割をもたない（列
単位の宣言を除く）
•
コマンド環境では目的の名前がその値を指す
•
1つの LP は目的関数を1つもたねばならないが、モデルには
複数の objective 宣言があってよい
•
添字式を付ければ、添字づけられた目的の集まりも定義でき
る
AMPL 第8章
minimize Total_Cost:
sum {j in FOOD} cost[j]*Buy[j];
maximize Total_Profit:
sum {p in PROD, t in 1..T}
(sum {a in AREA[p]}
revenue[p,a,t]*Sell[p,a,t]
- prodcost[p]*Make[p,t]
- invcost[p]*Inv[p,t]);
11 / 15
8 .3 目的
objective コマンドで目的を切り替える
図2-1 配合モデル：総費用の最小化とは別に、総ナトリウム最小化の目的を追加して比較する。
minimize Total_NA:
sum {j in FOOD} amt["NA",j]*Buy[j];
目的を切り替えた結果
Total_Cost 最小化
ampl: solve;
# 既定：先頭の目的
Objective = Total_Cost
Total_Cost = 118.06
ampl: objective Total_NA;
ampl: solve;
ampl: display Total_Cost;
Total_NA 最小化
Total_NA = 48186
Total_NA = 50000
Total_Cost = 123.63
ナトリウムを約1800 減らすと費用は約 $5.50 押し上げられる
AMPL 第8章
12 / 15
8 .4 制約
subject to の宣言
•
キーワード subject to、名前、コロンで始まる（subject to 自
体は省略可）
•
コロンの後には制約の代数的記述（線形式 と 線形式 を等号
・不等号で結んだもの）が続く
•
制約名の後に添字式を与えると、添字づけられた制約の集ま
りになる
•
制約名はコマンド環境で双対値の指定などに使われる（第14
章）
subject to Time:
sum {p in PROD} (1/rate[p])
* Make[p] <= avail;
subject to Time {t in 1..T}:
sum {p in PROD} (1/rate[p])
* Make[p,t] <= avail[t];
subject to Balance {p in PROD,
t in 1..T}:
Make[p,t] + Inv[p,t-1] =
Sell[p,t] + Inv[p,t];
AMPL 第8章
13 / 15
8 .4 制約
制約の応用パターン
条件付き添字
subject to Time {t in 1..T:
avail[t] > 0}: ...
二重不等式
subject to Diet {i in NUTR}:
n_min[i] <= sum{j in FOOD}
amt[i,j]*Buy[j] <= n_max[i];
擬似添字 {if avail > 0} は単一の制約を条件付きで生成／非生成にする。
AMPL 第8章
非線形 → 線形への書き換え
# 線形でない（変数の和で除算）
Make[p] / sum{q in PROD} Make[q]
<= max_frac;
# 書き換えれば線形になる
Make[p] <= max_frac
* sum {q in PROD} Make[q];
前処理（presolve）
ソルバーに渡す前に AMPL が制約を自動簡約：固定変数の除去
、単一変数制約の上下限化、冗長な制約の除去など。
14 / 15
SU MM A RY 第8章のまとめ 1 var 宣言は param と同じ構文 >= と <= が変数の下限・上限を課す。= 句は変数を「定義」し、目的・制約中に代入される。 2 線形式は決まった形の項の和 constant-expr、variable-ref、その積の和のみ。max/min/abs 等の引数に変数を置くと非線形になる。 3 目的は minimize / maximize で宣言 1つの LP に目的は1つ必須だが宣言は複数可。objective コマンドで最適化対象を切り替えられる。 4 制約は subject to、添字づけ自在 二重不等式や条件付き添字も使える。除算や比の形は乗算に書き換えて線形化する。 次章：第9章へ続く
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第9章 データの指定 集合とパラメータの値をどう表すか — data コマンドとデータ文の書式 モデルとデータの分離 ｜ リスト形式 ｜ 表形式 ｜ read コマンド 全22章シリーズ ・ 第9回
≡ 本章の内容 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 Agenda 整形されたデータ：data コマンド モデルモードとデータモードの切替、構文ルール、複数ファイル リスト形式のデータ 一次元〜多次元の集合・パラメータ、テンプレートによるスライス 表形式のデータ 二次元の表、転置・分割、高次元データのスライス表・多次元表 データ文のその他の機能 既定値（default）、添字付き集合の集まり、変数の初期値 整形されていないデータの読み込み：read コマンド item-list による柔軟な値の取り込み AMPL 第9章 データの指定 2
⇄ モデルモードとデータモードの切替 ● param・var の宣言や solve・display コマンドは「モデルモー ド」で実行される（作業の大半で標準） ● モデルモードは集合・パラメータの長い値のリストを読むに は不便 ● data キーワードで開始すると「データモード」に入り、デー タ文を読む ● data diet.dat; のようにファイル名を付ければそのファイルか ら読む ● ファイル名なしの data; は以降の入力をデータ文とみなす（ 対話的に使える） 9.1 対話セッション例 ampl: model dietu.mod; ampl: data; ampl data: set MINREQ := A B1 B2 C CAL; ampl data: set MAXREQ := A NA CAL; ampl data: display NUTR; set NUTR := A B1 B2 C CAL NA; ampl: ampl: data diet.dat; # ファイル名を指定して読む場合 ● set/param で始まらない文（display など）や model コマンド でモデルモードに復帰 AMPL 第9章 データの指定 3
“” データモードの構文ルール ● 空白・タブ・改行はまとめて 1 個のスペース、区切りのコンマも無視 される → 読みやすい表に整形できる ● 文字列は通常、引用符で囲む必要はない ● 英字・数字・下線・ピリオド・+・- 以外の文字を含む文字列は引用符 が必須（例：'A&P'） 9.1 引用符の例 ● "DOMINICK'S" （二重引用符で単一引用符を含める） ● 'DOMINICK''S' （引用符を内側で二重化） ● 引用符自体を含む文字列は種類を変えるか二重にする ● 数値に見える文字列（"+1"、"3e4"）も数値と区別するため引用符が必 要 同じ内部表現の数値は同じ集合要素 2 = 2.00 0.02E+2 = 2.e0 = いずれも同一の値として扱われる AMPL 第9章 データの指定 4
▤ 複数データファイルと重複の検査 ● 複数の data コマンドを使えば、モデルの構成要素に任意の数のデー タファイルから値を割り当てられる ● AMPL はどの構成要素にも値が 2 回以上割り当てられていないかを常 に検査する ● 重複する割当はエラーとして指摘される（下の例） 9.1 重複エラーの例 duplicate member coils for set PROD context: set PROD := bands coils plate coils >>> ; <<< ● シナリオを変えて一部データだけ更新したい場合は、reset data や update data コマンドを先に与えれば新しい値を受け入れさせられる（ 第11.3節） ● let コマンドで集合・パラメータの値を直接割り当てる方法もある（ 第11.3節） ポイント ファイル数によらず「重複割当なし」が保証される。意図 的な再割当には reset data / update data / let を使う。 AMPL 第9章 データの指定 5
≡ 一次元の集合とパラメータのリスト モデル ＋ データ set PROD; param rate {PROD} > 0; set PROD := bands coils plate ; param rate := bands 200 coils 140 plate 160 ; # 余分な空白や改行は無視される AMPL 第9章 データの指定 9.2 ● 集合の指定は要素の列挙のみ。パラメータは各要素の後に 値を続けるだけ ● 空白・改行は無視されるため、表のように整形して読みや すくできる ● 集合の要素はすべて異なる必要があり、重複は AMPL が警告 する ● 同様にパラメータへの二重の値割当てもエラーになる ● 要素の空リスト（:= の直後にセミコロン）で集合を空と指 定できる ● ordered / circular 属性の集合は、要素の順序がデータ文の順 で決まる 6
≡ 二次元集合：組のリストとテンプレート 組のリスト（LINKS） set ORIG; set DEST; set LINKS within {ORIG,DEST}; set LINKS := (GARY,DET) (GARY,LAN) (CLEV,FRA) (PITT,FRA) ... ; 9.2 データテンプレートとスライス ● 対に似ているが一方の成分が * に置き換わった式を「データ テンプレート」と呼ぶ ● (GARY,*) の後にリストが続き、各項目が * に代入されて対が 生成される ● こうしてできた対の集まりが、その次元における集合の「ス ライス」をなす ● 第 1 成分固定なら (GARY,*)、第 2 成分固定なら (*,FRA) のよう に使う テンプレートでスライス set LINKS := (GARY,*) DET LAN STL LAF (CLEV,*) FRA DET LAN WIN ... (PITT,*) FRA WIN STL FRE ; AMPL 第9章 データの指定 ● 対の中の要素順には意味がある：第 1 要素は ORIG、第 2 要素 は DEST から ● 対そのものは任意の順序で書いてよい（* を含まない対は自 分自身のみを指定） 7
≡
二次元パラメータのリスト
● 集合 LINKS で添字づけられたパラメータ cost も、集合と同
じ形式にパラメータ値を加えて指定する
● スライスのリストも同様に拡張され、暗黙の各集合要素の
後にパラメータ値を置く
● パラメータのテンプレートは角括弧 [ ] で囲む（集合の丸括
弧 ( ) と区別するため）
● [GARY,*] の後の DET 14 は、cost["GARY","DET"] に 14 を与える
ことを意味する
9.2
param cost {LINKS} >= 0;
param cost :=
[GARY,*] DET 14
STL 16
[CLEV,*] FRA 27
LAN 12
STL 26
[PITT,*] FRA 24
STL 28
LAN 11
LAF 8
DET 9
WIN 9
LAF 17
WIN 13
FRE 99 ;
● 対のリストは、既定テンプレート [*,*] を使った特別な場合
とみなせる
AMPL 第9章 データの指定
8
≡ 三次元以上への拡張と一般規則 1次元スライス（ROUTES） set ROUTES within {ORIG,DEST,PROD}; set ROUTES := (CLEV,*,bands) FRA DET LAN ... (GARY,*,coils) LAN STL LAF ; 9.2 一般規則（n 次元テンプレート） ● n 次元の集合・パラメータのテンプレートは n 個の項目（正 しい集合要素または *）を持つ ● 集合のテンプレートは組と同様に丸括弧、パラメータのテン プレートは角括弧で囲む ● テンプレートの後には、* 一つにつき一つの集合要素（パラ メータなら値も）が続く 2次元スライス（* が2つ） set ROUTES := (*,FRA,*) CLEV bands CLEV coils PITT bands ; # * の数だけ後続の要素が対で続く AMPL 第9章 データの指定 ● * の数が異なるテンプレートを同じデータ文で混在させても よい ● テンプレートがない箇所は、すべて * のテンプレートが仮定 される 9
≡ 集合とパラメータを結合したリスト 冗長な書き方 複数パラメータをまとめる set PROD := bands coils plate ; param rate := bands 200 coils 140 plate 160 ; 集合名を param 文に含めて重複を回避 param: PROD: rate := bands 200 coils 140 9.2 plate 160 ; param rate := bands 200 coils 140 plate 160 ; param profit := bands 25 coils 30 plate 29 ; param market := bands 6000 coils 4000 plate 3500 ; # ↓ 一つの文にまとめられる param: rate profit market := bands 200 25 6000 coils 140 30 4000 plate 160 29 3500 ; 集合＋複数パラメータも一括可能 param: PROD: rate profit market := ... ; AMPL 第9章 データの指定 10
≡ 欠損値のドット（.）表記 9.2 ● n_min は MINREQ、n_max は MAXREQ という重なりうる異な る集合で添字づけられる 栄養素 n_min n_max ● MINREQ にない NA については n_min[NA] は定義されない → ドット（.）を明示的に置く A 700 20000 ● 空欄のままにはできない：空白は無視されるため次の値と 誤って結び付く C 700 . ● ドットの代わりに 0 を置くのも誤り。未定義のまま参照す るとエラーになる B1 0 . B2 0 . アクセス時のエラー例 NA . 50000 error processing param n_min: invalid subscript n_min['NA'] discarded. CAL 16000 24000 AMPL 第9章 データの指定 11
表形式データの基本 ▦ 9.3 ● 行のラベルが第1添字、列のラベルが第2添字を与える 転置：(tr) ● パラメータ名の後にコロン、列ラベルの後に := を置くと AMPL が表と認識する 添字集合の一方だけが大きい場合、小さい 方の集合を列に置くため表を転置できる。 ● cost["GARY","FRA"] は 39 に設定される cost FRA DET LAN WIN STL FRE LAF GARY 39 14 11 14 16 82 8 CLEV 27 9 12 9 26 95 17 param cost (tr): GARY CLEV PITT := FRA 39 27 24 DET 14 9 14 ... ; (tr) は列ラベルが第1添字、行ラベルが第2添字 を表す PITT 24 14 17 13 28 99 20 図 3-1b：param cost: FRA DET LAN WIN STL FRE LAF := ... ; AMPL 第9章 データの指定 12
▦ 大きな表の分割と集合の +/- 表 ● 改行は無視されるため、各行を複数行に折り返して幅を抑えられる 9.3 LINKS FRA DET LAN ● 表を列方向にいくつかの部分表へ分割してもよい。新しい部分表の 先頭はコロンで示す GARY - + + ● LINKS のような疎な添字集合では、表中にドット（.）を置いて「値 なし」を示す CLEV + + + PITT + - - ● 集合自体も同じ形の表で指定でき、要素なら +、非要素なら - を置く 列方向の分割（例） + は集合の要素である対、- は要素でない対を示す（パラメータの 表形式はそのまま集合にも使える） param cost: FRA DET LAN WIN := GARY 39 14 11 14 CLEV 27 9 12 9 : STL FRE LAF := GARY 16 82 8 CLEV 26 95 17 ; AMPL 第9章 データの指定 13
▦ 高次元データの表：スライスと多次元表 2次元スライスの並び param cost := [*,*,bands]: FRA DET LAN WIN STL FRE LAF := CLEV 27 9 12 . 26 . 17 PITT 24 . . 13 28 99 . [*,*,coils]: FRA DET LAN WIN STL FRE LAF := GARY . . 11 . 16 . 8 ... ; 9.3 多次元表の考え方 ● 2次元を超えるデータは、二次元の「スライス」表の並びとして 指定できる（テンプレートに * が2つ） ● 左右の見出しに2つ以上の添字を置き、単一の表で多次元データ を表すこともできる ● 見出し行それぞれの前にコロンを置き、:= は最後の見出し行の 後にのみ置く ● 既定では左→上の順に添字が取られる。(tr) を付けると上→左の 順に転置される テンプレートで配置を精密指定 ● 表現の選び方はデータの意味に影響しない → 読みやすさ・簡潔 さで自由に選べる [*,:,*] : FRA DET LAN ... := CLEV bands 27 9 12 ... # * は左（行）、: は上（列）に来る添字 AMPL 第9章 データの指定 14
既定値（default 句） ● 値の与え忘れ・与えすぎはどちらもエラーになる（solve 時 などに検出） ● 同じ値が何度も現れるなら default 句で繰り返し指定を避け られる ● 添字づけられた集まり全体に一様な値を与える場合にも便利 （例：供給量をすべて 1 に） 9.4 データ文での default param cost default 9999 := [*,*,bands]: FRA DET LAN ... := CLEV 27 9 12 . 26 . 17 PITT 24 . . 13 28 99 . [*,*,coils]: ... ; ● default はモデルの param 宣言中にも書ける。既定値を他の データに依存させたい場合はこちらを使う AMPL 第9章 データの指定 24 param supply default 1; param demand default 1; 個の 9999 が自動的に割り当てられ る 割当問題：供給・需要を一律 1 に 15
添字付き集合の集まり／変数の初期値 集合の添字づけられた集まり set PROD; set AREA {PROD}; set AREA[bands] := east north ; set AREA[coils] := east west export ; 9.4 変数の初期値 var Trans: FRA DET LAN WIN STL FRE LAF := GARY 100 100 800 100 100 500 200 CLEV 900 100 100 500 500 200 200 PITT 100 900 100 500 100 900 200 ; ● 集合名にキーワード set の後で添字を付ける以外、通常の集合データ文と 同じ形式が使える ● 空にしたい要素は空リストで指定。データを与えない要素は、モデル側 で default {} を宣言すれば警告を避けられる ● param データ文と同じ形式で、パラメータ名の代わりに変数名・制約名を 使えばよい（先頭を var にしてもよい） ● 初期値はソルバーへの出発点になる。非線形最適化で特に有用（第18章 ） AMPL 第9章 データの指定 16
↓
read コマンド：整形されていないデータ
● ファイルが集合名・パラメータ名・:= を含まず、値だけが
順序正しく並んでいる場合に便利
● 基本形：read item-list < filename ; 値は現れる順にリストの
項目へ割り当てられる
9.5
基本例：週次データ
param T > 0;
param avail {1..T} >= 0;
● item は「パラメータ」「{添字式} パラメータ」「{添字式}
(item-list)」のいずれか（入れ子も可）
read T, {t in 1..T} avail[t]
<week_data.txt;
● ファイル名を省くと現在の入力（対話プロンプトなど）か
ら読む。"-" は標準入力を表す
# week_data.txt:
4
40 40 32 40
入れ子の item-list
順序に関する注意
文字列で添字づけられた集合は、要素の内部順序で読まれる。順序を
確実にするには ordered / ordered by を使うか、ファイル中に添字自体
を明示する。
AMPL 第9章 データの指定
read {p in PROD}
(prodcost[p], invcost[p],
{t in 1..T} (revenue[p,t],
market[p,t]))
<cost_data;
17
✓ まとめ 1 data コマンドでモデルモードとデータモードを切替 第9章 宣言（モデル）と値（データ）を明確に分離して記述できる 2 リスト形式はテンプレート（*）でスライスを簡潔に表現 1次元〜多次元の集合・パラメータに一貫した構文を適用 3 表形式は2次元以上の添字を読みやすく配置 転置 (tr)、部分表への分割、+/- 記法、多次元見出しが使える 4 default・添字付き集合の集まり・変数初期値など補助機能が豊富 繰り返しの排除や、ソルバーへの出発点指定に活用できる 5 read コマンドで整形されていない外部データも柔軟に取り込める item-list の入れ子で、ファイルの並びに合わせた読み込みが可能 AMPL 第9章 データの指定 18
A MP L ： 数理 計画 の ため のモ デ リン グ言 語 ▦ 第10章 データベースアクセス table 宣言で AMPL の集合・パラメータ・変数を関係データベースの表に対応づける table 宣言 全22章シリーズ read table / write table 第10回 ODBC・Access・Excel・テキスト Fourer / Gay / Kernighan『AMPL』日本語版
▦ 本章の内容 1 データ対応の一般原則 2 テーブル操作文の例 3 関係表からのデータの読み込み 4 関係表へのデータの書き出し AMPLの実体と関係表の列の対応 table宣言・read table・write table キー列・データ列・集合の読込 AGENDA 5 同じ表の読み書き 6 表と列の添字づけられた集まり 7 標準および組込みのテーブルハンドラ IN・OUT・INOUTの使い分け テーブル配列と2次元表の入出力 ODBC・テキスト・バイナリ・SQL data-spec / key-spec からの推論 AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス 2
AMPLの実体と関係表の対応 10.1 diet.mod set FOOD; FOOD cost f_min f_max param cost {FOOD} > 0; BEEF 3.19 2 10 CHK 2.59 2 10 FISH 2.29 2 10 HAM 2.89 2 10 … … … param f_min {FOOD} >= 0; param f_max {j in FOOD} >= f_min[j]; … • 集合 FOOD の要素 → 表の「キー列」 • パラメータ cost / f_min / f_max → 各1本の「データ列」 • 1行 = 集合の1要素（1食品）のすべてのデータ キー列 FOOD の項目は一意 ＝ 各キー値がちょうど1行を特定する 行 = レコード 列 = フィールド データベース用語では、表の各行はレコード、レコード内の各項目はフ ィールドと呼ばれる。 AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス 3
● レコード単位のデータ入力 • キー列の項目は集合の要素と同様に一意でなければな らない • データベースソフトでは、表の行は「レコード」、列 は「フィールド」とみなされる • データ入力フォームには列ごとに1つの入力欄が用意さ れる • 配合問題のフォーム（Microsoft Access）では、表の各 行に対応するレコードを、フォーム下部の操作部で1件 ずつ入力・閲覧できる 10.1 図10-1 Accessのデータ入力フォーム AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス 4
▦
多次元の実体 → 複数のキー列
10.1
steelT.mod
set PROD;
param T > 0;
# products
# number of weeks
PROD
TIME
market
revenue
Make
Sell
param market {PROD,1..T} >= 0;
bands
1
6000
25
5990
6000
param revenue {PROD,1..T} >= 0;
var Make {PROD,1..T} >= 0;
bands
2
6000
26
6000
6000
coils
1
4000
30
1407
307
coils
2
2500
35
1400
2500
•
PROD と 1..T の直積で添字づけられた実体 → キー列が2つ (PROD,
TIME)
•
各次元につき1つのキー列を割り当てる
•
見出し TIME は式 1..T を表すために考案した名前
2つのキー列の順序対は一意
集合 {PROD,1..T} で対が一意であるのと同様、表でも ("bands",1) や
("coils",3) のような組はちょうど1行に対応する。
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
5
◆ データで決まる集合との対応 10.1 transp3.mod • set LINKS within {ORIG,DEST}; param cost {LINKS} >= 0; ORIG DEST cost Trans var Trans {LINKS} >= 0; GARY DET 14 0 GARY LAF 8 600 CLEV DET 9 1200 PITT STL 28 900 PITT WIN 13 0 LINKS は1次元集合から構成されるのではなく、データとして 読まれる対の集合 • 対応する関係表もキー列を2つもつ（ORIG, DEST） • 表には ORIG・DEST の全組合せではなく、実際に集合 LINKS に 属する組だけが行として現れる AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス 網羅的な直積表ではなく「実在する組だけ」を並べる疎な表 6
table宣言の構文構造
table table-name IN string-list :
10.2
key-spec, data-spec, data-spec, ... ;
テーブル名
IN / OUT
string-list
key-spec
data-spec
AMPL内でこの表を指す
名前（例：Foods）
既定の読み書き状態。省
略時は INOUT
外部ファイル・表の場所
（ハンドラ固有）
キー列 [ ... ] と集合との
対応（<-, ->, <->）
データ列とパラメータ・
変数・式との対応
コロンより前＝表の所在（テーブル名・ IN/OUT・外部ファイル）
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
／ コロンより後＝列とAMPLの実体との対応
7
■
同じ対応、異なる外部形式
Access
10.2
テキスト
Excel
table Foods IN "ODBC" "diet.mdb":
FOOD <- [FOOD], cost, f_min,
table Foods IN "ODBC" "diet.xls":
FOOD <- [FOOD], cost, f_min,
table Foods IN:
FOOD <- [FOOD], cost, f_min,
f_max;
f_max;
f_max;
diet.mdb
diet.xls
•
コロン前の情報だけが変わる：ODBCハンドラ経由か、既定のテキストハンドラかを指定
•
3つとも AMPL 側のテーブル名は同じ Foods → read table Foods は共通
•
詳細を省略すると既定でテキストファイル Foods.tab が使われる
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
Foods.tab
8
read table でAMPLに読み込む
10.2
amplセッション
ampl: model diet.mod;
ampl: table Foods IN "ODBC" "diet.mdb":
ampl?
FOOD <- [FOOD], cost, f_min, f_max;
ampl: read table Foods;
ampl: display cost, f_min, f_max;
:
cost f_min f_max
:=
BEEF
CHK
3.19
2.59
2
2
10
10
FISH
2.29
2
10
HAM
...
2.89
2
10
;
図10-2 Accessの関係表
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
9
入力と出力を1つの宣言に
10.2
table Foods "ODBC" "diet.mdb":
[FOOD] IN, cost IN,
f_min IN, f_max IN, Buy OUT,
Buy.rc ~ BuyRC OUT,
{j in FOOD} Buy[j]/f_max[j]
~ BuyFrac OUT;
•
IN / OUT を表全体ではなく列ごとに指定できる
•
~ 演算子で AMPL の式（Buy.rc など）をデータベースの正しい列名
に結びつける
•
read table → IN列を読み、write table → OUT列に書き出す
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
図10-4 出力列が加わったAccessの関係表
10
データ読み込みの2つの基本形 パラメータのみ読む 10.3 集合とパラメータを同時に読む table Foods IN: table Foods IN: [FOOD], cost, f_min, f_max; • • 集合 FOOD はモデルまたは他の表であらかじめ定義されて いる キー列の項目を各パラメータの添字として値を割り当てる だけ AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス FOOD <- [FOOD], cost, f_min, f_max; • 矢印 <- はキー列 → 集合への読み込み方向を示す • key-spec を短縮形 [FOOD] IN と書くこともできる（集合名= キー列名の場合） 11
✎ 列名の対応づけとダミー添字による調整 ~ 列名が違う 10.3 f_min ~ lowerlim, f_max ~ upperlim AMPL側と表側で名前が食い違う場合 ~ 番号の基準が違う [p ~ PROD, t ~ TIME], market[p,t+1] ~ market 表は 0始まり、モデルは1始まりなどのずれを補正 ~ 添字の順序が違う market, revenue[t,p] ~ revenue 同じ集合でも添字の並びが異なる場合 ~ 1つの値が複数列に分割 revenue["bands",t] ~ revbands, revenue["coils",t] ~ revcoils 系列ごとに別列で保持されている場合 AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス 12
▤ データ指定(data-spec)から行を推論 table Foods OUT: [FoodName], 10.4 FoodName f_min Buy f_max BEEF 2 5.36061 10 CHK 2 2 10 HAM 2 10 10 SPG 2 9.30605 10 f_min, Buy, f_max; • • • key-spec が単なる [キー列名] のリストのとき、display コマンド と同様に動く data-spec が示す（あるいは含意する）添字集合の和で、書き 出す行が決まる 挙げる項目はすべて同じ次元でなければならない AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス write table Foods; → FOOD の各要素につき 1行が生成される 13
→
キー指定(key-spec)から行を推論
table Foods OUT:
10.4
!
エラーになる例
FOOD -> [FOOD],
f_min, Buy, f_max;
table Nutrs OUT: [Nutrient],
Diet.lslack, Diet.ldual, ...;
# Column "Diet.lslack" contains '.'
•
矢印 -> は AMPL の集合 → キー列へ書き出す方向
•
明示した集合の各要素につき1行を書き出す（data-specの添字集合
からの推論ではない）
•
✓
~ で列名を与えて解決
同じ集合名がキー列名なら [FOOD] OUT と略記できる
table Nutrs OUT: [Nutrient],
Diet.lslack ~ lb_slack,
Diet.ldual ~ lb_dual,
Diet.uslack ~ ub_slack,
Diet.udual ~ ub_dual;
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
14
同じ表を読み書きする
•
方法A：読み込み用と書き出し用、2つの table 宣言を使う
•
方法B：1つの table 宣言に読み書きの状態をまとめる
10.5
指定
read table
write table
<- / IN
読む
—
-> / OUT
—
書く
<-> / INOUT
読む
書く
単一の宣言
table Foods "ODBC" "diet1.mdb" "Diet":
FOOD <- [FoodName],
•
read table Foods → IN・INOUT状態の列だけ読む（FoodName, cost,
f_min, f_max）
•
write table Foods → OUT・INOUT状態の列だけ書く（Buy）
•
既存の表・ファイル全体を上書きするのは、全列がOUTのときだ
け
cost IN, f_min IN,
Buy OUT, f_max IN;
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
15
▦
テーブル・列の添字づけられた集まり
•
table 宣言も {indexing-expr} で添字づけできる（例：食品ごと
に別々の表へ出力）
•
data-spec も {j in FOOD} <...> の形で列の集まりを生成できる
•
二次元の表計算データ（行×列）を読み書きするのに特に便
利
10.6
2次元表の読込
table dietAmts IN "ODBC" "Diet2D.xls":
図10-7 Excelにおける二次元のAMPLテーブル
[i ~ NUTR],
{j in FOOD} <amt[i,j] ~ (j)>;
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
16
標準および組込みのテーブルハンドラ
●
標準 ODBC ハンドラ
Access・Excel など ODBC ドライバを持つあらゆるアプリと接続（Windows）
●
組込みテキスト／バイナリ
.tab（ASCII）／ .bit（バイナリ）— デバッグ・実演用の最小実装
●
SQL クエリの埋め込み
"SQL=SELECT ..." で一時的な関係表を作ってから読み込める
10.7
SQL埋め込み例
table cheapFoods IN "ODBC" "diet.mdb"
"SQL=SELECT * FROM Foods WHERE cost <= 2.49":
FOOD <- [FOOD], cost, f_min, f_max;
AMPL 第10章 ｜ データベースアクセス
17
✓ まとめ：第10章 データベースアクセス 1 table 宣言が、AMPLの集合・パラメータ・変数・式と、関係表の列との対応を定義する 2 実際の入出力は read table / write table コマンドで実行される 3 キー列は <- ・ -> ・ <-> で、データ列は IN・OUT・INOUT で読み書きの方向を制御する 4 ~ 演算子とダミー添字により、列名の違い・番号のずれ・添字順序の違いに対応できる 5 標準ODBCハンドラに加え、テキスト・バイナリの組込みハンドラやSQLクエリも利用できる 第10章 データベースアクセス ｜ 全22章シリーズ
A MPL ：数 理計画の ための モデリ ング言語 第11章 モデリングコマンド model・solve から fix・drop・relax_integrality まで — 解いて、直して、また解く。対話的セッションを操るコマンド群 >_ 全22章シリーズ 第11回
AGEN DA 本章の内容 11.1 コマンドとオプションの一般原則 対話セッションの基本構造、option コマンドによる設定 11.2 モデルとデータの設定と求解 model / data / solve コマンド、目的関数の選択、ソルバー選択 11.3 データの変更 reset data / update data、再標本化、let コマンド、丸め関数 11.4 モデルの変更 delete / purge / redeclare、fix / unfix / drop / restore、整数性の緩和 第11章 モデリングコマンド AGENDA 2
1 1.1 コマ ンド とオ プシ ョン コマンド環境の一般原則 対話的セッション ampl を起動すると ampl: プロンプトが現れ、入力されたコマンドを解釈・実行する ; ampl: display {i in ORIG, j in DEST} ampl? sum {p in PROD} Trans[i,j,p]; セミコロンで終端 コマンドはセミコロンで終わる。1行に複数コマンドを書いても、複数行にまたがっても よい ? amplsession # ampl? は継続入力を示す 継続プロンプト コマンドの途中で改行すると ampl? が現れ、続きの入力を促す F ファイル名 セミコロンと引用符を除く印字可能文字の並び。規則は OS が決める Q end / quit コマンドはスクリプト（第13章）にも登場する。 GUIのメニュー操作も裏ではこのコマンド体系を 呼び出している。 セッションを終えるにはこのいずれかを打ち込む 第11章 モデリングコマンド 11.1 一般原則 3
1 1.1 コマ ンド とオ プシ ョン
option コマンド
▪ 各オプションは名前と値（数値または文字列）を持つ
▪ 例：prompt1・prompt2（文字列）、display_width（数値）
▪ option 名前; で現在の値を表示
▪ option 名前 値; で値を再設定
オプションを見る
ampl: option prompt1, display_width;
option prompt1 'ampl: ';
option display_width 79;
▪ 名前に * を使うとワイルドカード一致
▪ option だけ、または option *; で全オプション一覧
▪ reset options; で既定値に一括復元
▪ AMPLは正しいオプション名の一覧を持たない — 打ち間違いは新しいオプシ
ョンとして静かに定義されるので注意
オプションを設定
ampl: option prompt1 "A> ", display_width 60;
A> option display_width;
option display_width 60;
第11章 モデリングコマンド
11.1 一般原則
4
1 1.2 設定 と求 解 モデルとデータの設定と求解 diet.mod を解く ampl: model diet.mod; data diet.dat; solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 6 iterations, objective 88.2 M モデル / データ モード ▪ AMPL は常に「モデルモード」で開始 ▪ ファイル名なしの data; でデータモードへ ▪ ファイル名なしの model; でモデルモードへ戻る ▪ option・solve・subject to 等もモデルモードへ復帰させる ▪ model：モデル宣言（第5〜8章）を含むファイルを名指しし、現在の モデルに追加 ▪ data：データ値（第9章）を含むファイルを名指しし、既存の構成要素 に値を与える ▪ solve：最適化問題をソルバーへ送り、結果を取り出す ▪ 複数回の model / data コマンドで、異なるファイルから積み上げられる ∑ objective コマンド 単一の目的関数を選ぶ objective Total_Number; objective Total_Cost["A&P"]; 第11章 モデリングコマンド 11.2 設定と求解 5
1 1.2 設定 と求 解
solve コマンドの流れ
問題の生成
1
モデルとデータから具体的な最適化問題を作る。データ不足や制限
違反はここでエラー
前処理（プリソルブ）
2
問題を解きやすく縮小。実行不可能を検出しソルバー送信を省くこ
ともある
ソルバーへ送信
前処理が実行不可能を検出
ampl: model steel4.mod;
ampl: data steel4.dat;
ampl: let avail['reheat'] := 10;
ampl: solve;
presolve: constraint Time['reheat']
cannot hold: body <= 10 cannot be
>= 11.25; difference = -1.25
エラーの手がかり
▪ “ignoring integrality” → 整数計画対応ソルバーが必要
3
既定ソルバーは option solver で確認・変更できる
▪ “can't handle nonlinearities” → 非線形対応ソルバーが必要
▪ 解が遅い／メッセージなしで戻る → ソルバー固有オプションを確
認
第11章 モデリングコマンド
11.2 設定と求解
6
1 1.2 設定 と求 解 ソルバーの選択と比較 同じ問題を3つのソルバーで比較 ampl: model steelT.mod; data steelT.dat; ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 15 iterations, objective 515033 S 使い方の基本 ▪ option solver; で既定ソルバー名を確認 ▪ option solver cplex; のように切り替え ▪ 多くの問題は solver 設定と solve だけで十分 ampl: reset; ampl: model steelT.mod; data steelT.dat; ampl: option solver cplex; ampl: solve; CPLEX 8.0.0: optimal solution; objective 515033 ampl: reset; ampl: model steelT.mod; data steelT.dat; ampl: option solver snopt; ampl: solve; SNOPT 6.1-1: Optimal solution found. 15 iterations, objective 515033 第11章 モデリングコマンド なぜ毎回 reset するのか reset なしだと、あるソルバーが見つけた解の情報が次に引 き継がれ、比較が不公平になる。同じ初期条件から始めて性 能を比較するために reset を挟む。 11.2 設定と求解 7
1 1.3 デー タの 変更 データの変更：reset data / update data R reset data U update data ▪ 指定した集合・パラメータの現在値を削除する ▪ 新しい値が実際に読まれるまで、古い値は削除されない ▪ 以後 solve すると未設定のためエラーになりうる ▪ 読み込まれなかった項目は以前の値のまま残る ampl reset data MINREQ, MAXREQ, amt, n_min, n_max; ampl update data MINREQ, MAXREQ, amt, n_min, n_max; 例：MINREQ・amt・n_min のみ新しい値を読み込んだ場合 — reset data なら MAXREQ・n_max は値を失いエラーになるが、update data なら以前の値のまま維持される。 第11章 モデリングコマンド 11.3 データの変更 8
1 1.3 デー タの 変更
乱数パラメータの再標本化
avail を正規乱数として定義
param avail_mean {STAGE} >= 0;
param avail_variance {STAGE} >= 0;
param avail {s in STAGE} =
Normal(avail_mean[s], avail_variance[s]);
▪ reset data は乱数で計算されるパラメータを再標本化する
▪ 標本が変われば解も、最適目的値も変わる
▪ reset（データではなく全体）を出すと乱数生成器自体がリセットされ、値は
最初から繰り返される
第11章 モデリングコマンド
steel4r：再標本化のたびに解が変わる
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
3 iterations, objective 187632.2489
ampl: display avail;
reheat 32.3504
roll 43.038 ;
ampl: reset data avail;
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
4 iterations, objective 158882.901
ampl: display avail;
reheat 32.0306
roll 32.6855 ;
11.3 データの変更
9
1 1.3 デー タの 変更
let コマンド
配合モデルの上限を試行錯誤で変更
ampl: let f_max["CHK"] := 11;
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
1 iterations, objective 73.43818182
添字集合をまとめて変更
let {j in FOOD} f_max[j] := 8;
let {j in FOOD}
f_max[j] := 1.1 * f_max[j];
!
注意：添字づけへの影響
▪ keyword let ＋（任意で）添字式 ＋ 代入 という形
▪ = で定義されていない集合・パラメータの値を直接変更できる
▪ 変数の現在値も変更でき、別の解を試すのに使える
週数 T のような、他のデータの添字づけに使われる値を let で変えると、既
存データの添字が無効になりエラーになりうる（Tdata と T を分けて宣言す
るのが定石）。
表11-1 丸め関数（抜粋）
第11章 モデリングコマンド
ceil(x)
x の天井（次に大きい整数）
floor(x)
x の床（次に小さい整数）
round(x, n)
小数点以下 n 桁に丸め
trunc(x)
整数に切り捨て
11.3 データの変更
10
1 1.4 モデ ルの 変更 モデル構成要素の除去と再定義 D P X delete purge xref redeclare 他の構成要素から参照されていな ければ取り除く。目的・制約はい つでも削除可 指定要素と、それに直接・間接に 依存するすべての構成要素をまと めて削除 ある構成要素にどの構成要素が依 存しているかを調べる 宣言を改訂版で置き換える。依存 要素やデータ値はそのまま保たれ る purge f_min の影響範囲を先に確認 ampl: xref f_min; # 4 entities depend on f_min: f_max Buy Total_Cost Diet 第11章 モデリングコマンド E redeclare の例 ampl: redeclare param f_min {FOOD} > 0 integer; # f_min の妥当性条件だけを変更 # 依存要素・既存データ値は保持 11.4 モデルの変更 11
1 1.4 モデ ルの 変更
fix・unfix・drop・restore
⊘
drop
特定の制約・目的を一時的に無視する
⊕
F
fix の実例（配合モデル）
drop の効果を打ち消し、制約を復活させる
ampl: let {j in FOOD} Buy[j] := f_min[j];
ampl: fix {j in FOOD: amt["NA",j]>1200}
Buy[j];
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
7 iterations, objective 86.92
fix
# ナトリウム過多の食品を固定し
# 残りの変数だけを最適化
restore
変数を現在値に固定する（＝制約であるかのように扱う）
U
unfix
fix の効果を打ち消す
添字式・代入句も併用可能
drop {i in MAXNOT} Diet_Max[i];
fix {j in FOOD:...} Buy[j] := f_min[j];
いずれもキーワード＋任意の添字式＋名前という共通構文。drop/restore は制約
・目的、fix/unfix は変数を対象とする。連続する drop の効果は累積する。
第11章 モデリングコマンド
11.4 モデルの変更
12
1 1.4 モデ ルの 変更 整数性の緩和 0/1 relax_integrality オプション ampl AMPL の緩和 vs ソルバーの緩和指示 scale=0.95、f_max=10 の配合モデル（整数変数）で比較： option relax_integrality 1; 緩和なし objective 122.89 ▪ 既定 0 → 1 にすると整数制限をすべて無視 上限9.5を整数条件で9に前処理で切り下げ ▪ integer 変数は元の上下限のまま連続値に ▪ binary 変数は下限0・上限1の連続値に ソルバーの relax 指示 objective 120.24 前処理は9のまま。ソルバー側だけ緩和 .r .relax 接尾辞 relax_integrality 1 objective 119.15 選んだ変数だけ緩和 前処理も9.5のまま。最も緩い解 let {j in FOOD: f_min[j]>allow_frac} Buy[j].relax := 1; 第11章 モデリングコマンド 11.4 モデルの変更 13
S UM M A R Y 第11章のまとめ 1 対話環境の基本 ampl: プロンプト、セミコロン終端、option コマンドによる振る舞いの制御 2 model・data・solve 現在のモデルを積み上げ、objective で目的を選び、solver でソルバーを切り替える 3 データの再設定 reset data／update data で値を入れ替え、let で個別値をピンポイントに変更 4 モデルの限定変更 delete・purge・redeclare で構成要素を、fix・drop で一時的な制約緩和を行う 5 整数性の制御 relax_integrality と .relax 接尾辞で、必要な変数だけ整数条件を緩められる 次章：第12章へ続く
▦ A MPL ：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド display・print・printf で結果を読み解き、思いどおりに整形する 集合・値の表示 全22章シリーズ 書式と数値オプション 解の双対値・被約費用 モデル検査 (show/xref/expand) Fourer, Gay, Kernighan 著（日本語版）
AGEN D A ≡ 12章 本章の内容 12.1 結果を眺める：display コマンド λ 12.5 解に関連する値 12.2 display の書式オプション » 12.6 モデルと問題例に関するその他の表示機能 0.0 12.3 display の数値オプション → 12.7 出力を操作する一般的な機能 ▦ ¶ 12.4 その他の出力コマンド：print と printf AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 2
{} 12. 1 D ISP LAY コ マン ド 基本 結果を眺める：display コマンド 対話例（amplsession） ▪ display に見たいものの記述を続けて打ち込むだけで、値を見慣れ た配置に自動整形する。 ampl: display ORIG, DEST, LINKS; set ORIG := GARY CLEV PITT; ▪ 第9章のデータ文と同じリスト・表の形式を可能なかぎり使う。 ▪ 集合の内容は display と集合名のリストで表示できる。 ▪ 添字づけられた集まりの各集合も一括表示できる（例：PROD, AREA）。 ▪ 引数は宣言済みの集合でなくてよく、集合に評価される任意の式 を渡せる。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド set DEST := FRA DET LAN WIN STL FRE LAF; set LINKS := (GARY,DET) (GARY,LAF) (CLEV,LAN) ... (PITT,STL) (CLEV,FRA) (CLEV,WIN) ...; ampl: display union {p in PROD} AREA[p]; set union {p in PROD} AREA[p] := east north west export; 3
# 12. 1 D ISP LAY コ マン ド 次元別 パラメータと変数の表示 対話例：1次元 →2次元 →3次元 (スライス) 1 1次元データ 単純な集合で添字づけられたパラメータ・ 変数は列（リスト）形式。例：avail ampl: display avail; avail [*] := reheat 35 roll 40 ; 2 2次元データ ampl: display supply; 対の集合・二つの集合で添字づけられた値 。少なければリスト、多ければ表になる。 supply := CLEV bands 700 CLEV coils 1600 GARY bands 3+ ... ; 3次元以上 ampl: display Trans; AMPLは二次元の表に「スライス」して提示 する。表の数が最小になる軸を自動選択。 Trans [CLEV,*,*] : bands coils plate := DET ∑ 400 0 750 0 ... スカラー・式 display T や display sin(1)^2+cos(1)^2 のよう に単一値もそのまま表示できる。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 4
Σ
12. 1 D ISP LAY コ マン ド
式の表示
添字づけられた式の表示
対話例（誤り例→正しい書き方）
▪ 任意の算術式を display できるが、配列同士の演算（revenue * Sell
）は認識されない。
ampl: display revenue * Sell;
syntax error
▪ 式の添字づけられた集まりを表示するには、添字づけを明示的に
指定する。
ampl: display {p in PROD, t in 1..T}
▪ 添字式＋(式のリスト) は1つの「表示項目」として扱われる。
ampl?
revenue[p,t]*Sell[p,t];
revenue[p,t]*Sell[p,t] [*,*] (tr)
▪ display コマンド全体を添字づければ、添字集合の各要素ごとに個
別出力できる（表のスライスの並べ替えに有用）。
:
bands
coils :=
1
150000
9210
2
156000
87500 ...
ampl: display {p in PROD}:
ampl?
{i in ORIG,j in DEST} Trans[i,j,p];
Trans[i,j,'bands'] [*,*] (tr) ...
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド
5
12. 2 書 式オ プ シ ョン display の書式オプション（表12-1） オプション 意味（既定値） display_1col 表をリスト形式で表示する要素数の上限（20） display_transpose 行数－列数 ＜ display_transpose なら表を転置（0） display_width 1行あたりの最大文字数（79） gutter_width 表の列間の空白幅（3） omit_zero_cols 非0なら、全て零の列を表示から省く（0） omit_zero_rows 非0なら、全て零の行を表示から省く（0） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 表12-1 6
⇄ 12. 2 書 式オ プ シ ョン 配置 リストと表の配置・転置 display_1col：0でコンパクト表示を強制 display_transpose：正 =転置優勢／負 =抑制 ampl: option display_1col 0; ampl: option display_transpose -5; ampl: display cost; cost [*,*] : DET FRA FRE LAF LAN STL WIN := CLEV 9 27 . 17 12 26 9 GARY 14 . . 8 11 16 . PITT . 24 99 . . 28 13 ; ampl: display required; required [*] := Fri1 100 Mon1 100 Sat1 100 ... Fri2 Fri3 78 52 Mon2 Mon3 78 52 Sat2 78 ... Thu1 100 ...; ▪ display_1col：表示値の個数がこの値以下なら1列リスト、超えればコンパクトな形式（表）を使う。既定20。 ▪ 表の向きは既定で「行 ＞ 列」を優先。列数が行数を超える場合は転置され、先頭行に (tr) が付く。 ▪ display_transpose：規則は「行数－列数 ＜ display_transpose のときのみ転置」。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 7
0 12. 2 書 式オ プ シ ョン 幅と零 行幅の制御と零の抑制 行幅の制御 零の抑制 ▪ display_width：1行の最大文字数（既定79）。超える表は縦に2つ以上の表 へ分割される。 ▪ omit_zero_rows を1にすると、全て零の行が表示から省かれる。 ▪ 列見出しが値よりずっと広い場合は $1, $2 のような略号が自動導入され る。 ▪ omit_zero_cols を1にすると、全て零の列が表示から省かれる。 ▪ 割当問題のようにほぼ0の変数が多い場合に、関心のある項目だけに絞り 込める。 ▪ 見出しが値より狭ければ gutter_width（列間の空白、既定3）を減らして 詰められる。 対話例：零を含む大きな表を圧縮する ampl: option omit_zero_rows 1; ampl: display Trans; Trans := Coullard C118 1 Daskin D241 1 Hazen C246 1 ... ; AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 8
0.0 12. 3 数 値オ プ シ ョン display の数値オプション（表12-2） オプション 意味（既定値） display_eps 零と区別して表示する最小絶対値（0） display_precision 表示数値を丸める有効桁数。0なら完全精度（6） display_round 小数点位置での丸め桁。display_precision に優先（空） solution_precision 解の値そのものを丸める有効桁数（0） solution_round 解の値そのものを丸める桁位置。solution_precision に優先（空） 見え方だけを変える： display_eps / display_precision / display_round AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 表12-2 実際の値を変える： solution_precision / solution_round（solve の前に設定） 9
≈ 12. 3 数 値オ プ シ ョン 数値の見え方と丸め 丸め precision （有効桁数）と round（丸め位置） ampl: option display_precision 3; ▪ display_precision：既定6桁。0なら計算機表現から必要十分な桁数で正 確に表す。 Make['bands',4]/rate['bands'] = 32.1 ampl: option display_precision 0; ... ▪ display_round：小数点以下の桁数を固定（非負）／百・十の位に丸め （負）。整数値なら precision に優先。 = 32.14285714285713 ampl: option display_round 2; : bands coils := 1 4 29.95 32.14 10.05 7.86 ; AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド ▪ display_eps：この絶対値未満は厳密な零として扱い、1e-17 のような微 小残差の表示を防ぐ。 ▪ 注意：これらは見え方のみを変え、solve 後の実際の解の値には影響し ない。 10
¶
12. 4 p r in t / p r in tf
整形出力
その他の出力コマンド：print と printf
print：整形しない1行出力
printf：C言語風の書式指定
ampl: print {p in PROD} (p, rate[p]);
ampl: printf "Total revenue is $%6.2f.\n",
bands 200 coils 140
ampl?
sum {p in PROD,t in 1..T}
ampl?
revenue[p,t]*Sell[p,t];
ampl: print {t in 1..T}: {p in PROD} Make[p,t];
Total revenue is $787810.00.
5990 1407
6000 1400 ...
▪ 集合は引数にできないが、その要素は渡せる。添字づけを入れ子にできる点
が display と異なる。
▪ print_separator でスペース以外の区切り（タブ等）を指定でき、表計算への
出力に便利。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド
▪ 最初の印字項目が書式文字列。%6.2f のような変換指定で幅・小数点以下の
桁数を制御する。
▪ 改行は \n で明示。添字式＋コロンを使えば要素ごとに1行を自動生成できる
。
▪ 変換指定の数と値の数が一致する必要があり、列数が変わる表の出力には不
向き。
11
λ 12. 5 解 に関 連 す る値 接尾辞 目的関数・上下限・スラック 対話例：上下限・本体・スラックの表示 ▪ AMPLは「変数名／制約名 ＋ ドット ＋ 接尾辞」の修飾名で、最適 解に付随する量を参照する。 ▪ 目的関数の名前はそのまま最適値を指す（display、print、printf で 利用可）。 ▪ .lb / .ub 上下限（AMPLの前処理が導いた上下限を含む） ▪ .slack 値と近いほうの限界との差 ▪ .body 制約本体（下限 ≦ 本体 ≦ 上限）の現在値 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド ampl: display Buy.lb, Buy, Buy.ub, Buy.slack; : Buy.lb Buy Buy.ub Buy.slack := BEEF 2 2 10 0 CHK 2 10 10 0 MTL 2 6.236 10 3.764 SPG 2 5.258 10 3.258 ; ampl: display Diet_Min.lb, Diet_Min.body, ampl? Diet_Min.ub; : A .lb 700 .body 1013.98 .ub := Infinity C 700 700.00 Infinity ; 12
∑ 12. 5 解 に関 連 す る値 感度 双対値と被約費用 ▪ 制約の双対値（潜在価格）：修飾接尾辞なしの制約名で参照。制約の右辺 （限界）が1単位変化したときの目的値の変化率を表す。 ▪ スラックが正の制約では双対値は零。スラックが零のとき、双対値は意味 をもつ。 ▪ 変数側の対応物は被約費用（.rc）。上下限のいずれかで値が止まっている 変数で非零になりうる。 ▪ 目的値を制約の定数項に対して図示すると、区分的線形の曲線になる（右 図）。双対値・被約費用はその曲線の傾き＝局所的な感度を1つだけ与え る。 図12-1：目的関数の区分的線形なグラフ 縦軸＝最適な目的値、横軸＝制約の定数項（限界） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 13
» 12. 6 モ デル 検 査 機能 検査コマンド モデル構成要素と問題例の検査 対話例：show / xref / expand S show — モデル構成要素の一覧・宣言の表示 単独で全構成要素名を種類別に一覧。show Total_Cost のように個別の 宣言も表示でき、モデルファイルを探す手間を省く。 ampl: show; parameters: demand fcost limit ... variables: Trans Use constraints: Demand Max_Serve ... ampl: xref demand, Trans; X xref — 依存関係の表示 # 2 entities depend on demand: 指定した構成要素に直接・間接に依存するすべての構成要素（制約・ 目的など）を一覧する。 check 1 Demand ampl: expand Supply; subject to Supply['GARY']: E expand — 生成された問題例の表示 Trans['GARY','FRA'] + ... = 1400; モデルとデータから実際に生成された制約・目的を展開表示。 solexpand は前処理後の「ソルバーの視点」を示す。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド 14
@
12. 6 モ デル 検 査 機能
総称名
総称的な別名と資源の一覧
変数・制約・目的の総称的な別名
資源の一覧
▪ _nvars / _ncons / _nobjs：現在の問題の変数・制約・目的の数。
▪ show_stats：solve 時に問題の規模（変数・制約数、非零要素数など）を要約
表示。
▪ _varname[1.._nvars] など：各構成要素の真のAMPL名を返す文字列パラメータ
。
▪ times：AMPL翻訳系の所要時間とメモリの要約を表示。
▪ _var[j] / _con[j] / _obj[j]：番号で構成要素を参照する別名。_var[5].rc のように
接尾辞も使える。
▪ gentimes：genmod 段階の詳細な資源使用量。処理が遅い原因の特定に有用
。
▪ 接頭辞を _s に置き換えると（_svar 等）、前処理後の「ソルバーの視点」を
参照できる。
▪ _solve_time / _ampl_time：直近の solve に要したCPU秒数を保持する定義済み
パラメータ。
対話例：上限に達していない変数だけを列挙
ampl: display {j in 1.._nvars:
ampl? _var[j] < _var[j].ub - 0.00001} _varname[j];
_varname[j] [*] :=
2 "PD_Ship['SE']"
5 "DW_Ship['NE','BWI']"
6 "DW_Ship['SE','EWR']"
7 "DW_Ship['SE','BWI']" ;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド
15
→
12. 7 出 力の 操 作
出力制御
出力を操作する一般的な機能
対話例：リダイレクト／記録／打ち切り
>
リダイレクト（>／>>）
display / print / expand などのコマンド末尾に >filename を付ければ結果
をファイルに保存。>> は追記、close で明示的に閉じる。
ampl: display supply >multi.out;
ampl: close multi.out;
ampl: option log_file 'multi.tmp';
L
!
log_file オプション
以降のコマンドと応答をまとめて記録。log_model / log_data で入力フ
ァイルの内容も記録に含められる。
ampl: option eexit -3;
ampl: model diet.mod;
ampl: data diet.mod;
diet.mod, line 4 (offset 32):
expected ; ( [ : or symbol
Bailing out after 3 warnings.
メッセージの制限
eexit（既定-10）でエラー時の打ち切り方を制御。presolve_warnings（
既定5）、bad_subscripts（既定3）で警告数を制限。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第12章 表示コマンド
16
✓ 1 2 3 4 5 S U M M A RY 本章のまとめ display 集合・パラメータ・変数・任意の式を、1次元はリスト、2次元以上は表やスライスへ自動整形して表示する 。 書式・数値オプション display_1col / display_transpose / display_width / omit_zero_* で配置を、display_precision / display_round / display_eps で見え方を制御する。solution_* は実際の値を丸める。 print と printf 整形しない出力と、C言語風の書式で完全に制御した出力を使い分け、他ツール向けデータや報告書を作る 。 解に付随する値 .lb / .ub / .slack / .body、制約の双対値、変数の被約費用（.rc）で最適解を深く解釈できる。 モデル検査と出力制御 show / xref / expand でモデルと問題例を検査し、> によるリダイレクトや log_file、eexit 等で出力とメッセー ジ量を管理する。 次章：第13章へ続く 17
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 >_ 第13章 コマンドスクリプト include・for・repeat・if で解析作業を自動化する include / commands for repeat if-then-else break / continue Fourer · Gay · Kernighan 『AMPL：数理計画のためのモデリング言語』日本語版 全22章 文字列関数
≡ 本章の内容 AGENDA 13.1 スクリプトの実行：include と commands ファイルからコマンド列を読み込む2つの方法 13.2 集合上の反復：for 文 集合の各要素について文を繰り返す 13.3 条件付きの反復：repeat 文 while / until で終了条件を指定する 13.4 条件の検査：if-then-else 文 条件に応じて実行する文を切り替える 13.5 ループの終了：break と continue 回をスキップ／ループを打ち切る 13.6 スクリプトを一歩ずつ実行する single_step・step・next・skip でデバッグ 13.7 文字列の操作 連結演算子＆と文字列関数、文字列式の活用 第13章 コマンドスクリプト 2
i なぜコマンドスクリプトか ▪ モデル開発の初期段階では対話的にコマンドを打ち込むが、定式化が 落ち着くと 導入 1 ▪ 同じコマンド列を何度も繰り返し入力することになる ▪ スクリプト（script）＝ファイルに収めた、繰り返し使うためのコマ ンド列 ▪ for、repeat、if など、プログラミング言語のような制御構文を含めら れる ▪ → AMPL のコマンド言語で「小さなプログラム」が書ける 2 3 4 ▪ 単発実行 include／commands から、繰り返し for／repeat、条件分岐 if 、 ▪ 文字列処理まで、この章で段階的に扱う 第13章 コマンドスクリプト 5 読む model / data / include 繰り返す for / repeat 分岐する if-then-else 制御する break / continue 調べる single_step / step 3
IN スクリプトの実行：include と commands include filename commands filename ; ▪ 指定ファイルの内容で置き換えられる ▪ include に似ているが、独立した「文」である ▪ 他の文の途中にも現れてよい ▪ 終端のセミコロンが必要 ▪ 終端のセミコロンは不要 ▪ 文が合法な文脈にのみ現れうる ▪ モードを変えない（model/dataの一般形） ▪ for / repeat / if 内では commands が最善 13.1 ▪ model・data コマンドは、読み込み前にモードをモデル／データモードにする include の特別な場合 ▪ 小さなモデルでは、宣言・data コマンド・データ文を1ファイルにまとめ model や include で一度に読み込める ▪ 起動時に option の既定値を変える include ファイルを自動で読み込ませることもできる（付録 A-14, A-23） 第13章 コマンドスクリプト 4
感度分析スクリプトを commands で実行 steelT.sa1 （繰り返すコマンドを1ファイルに） 対話セッション：呼ぶたびに avail[3] が5増える solve; display Total_Profit >steelT.sens; option display_1col 0; option omit_zero_rows 0; display Make >steelT.sens; display Sell >steelT.sens; option display_1col 20; option omit_zero_rows 1; display Inv >steelT.sens; let avail[3] := avail[3] + 5; ampl: model steelT.mod; ampl: data steelT.dat; ampl: commands steelT.sa1; MINOS 5.5: optimal solution found. 15 iterations, objective 515033 ampl: commands steelT.sa1; MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective 532033 ampl: commands steelT.sa1; MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective 549033 13.1 ▪ commands steelT.sa1 の1行を打ち込むだけで、ファイル中の全コマンドが実行される ▪ display の出力はすべてファイル steelT.sens にリダイレクトされている（画面表示も可能） ▪ 同じ内容でも include で代用できるが、制御構文と組み合わせるスクリプトでは commands が安全 第13章 コマンドスクリプト 5
FOR 集合上の反復：for 文 13.2 for {添字式} コマンド; for {添字式} { コマンド1; コマンド2; ... } ▪ ある集合の各要素について一度ずつ、文（または波括弧でまとめた複数 の文）を実行する ▪ for と本体の間の式は任意の AMPL 添字式でよい ▪ コマンドを別ファイルに置いて commands で呼ぶ代わりに、波括弧内に直 接書ける ▪ 集合が順序づけられていれば（1..T や ordered/circular 宣言）その順序で反 復する ▪ 順序づけられていない集合では AMPL が順序を選ぶが、毎回同じ順序にな る 第13章 コマンドスクリプト 1回の for で4回の感度分析を実行 ampl: model steelT.mod; ampl: data steelT.dat; ampl: for {1..4} commands steelT.sa1; MINOS 5.5: optimal solution found. 15 iterations, objective 515033 MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective 532033 MINOS 5.5: optimal solution found. 1 iterations, objective 549033 MINOS 5.5: optimal solution found. 2 iterations, objective 565193 6
FOR
パラメータ感度分析のスクリプト
steelT.sa3
set AVAIL3;
param avail3_obj {AVAIL3};
param avail3_dual {AVAIL3};
let AVAIL3 := avail[3] .. avail[3]+15 by 5;
for {a in AVAIL3} {
let avail[3] := a;
solve;
let avail3_obj[a] := Total_Profit;
let avail3_dual[a] := Time[3].dual;
}
display avail3_obj, avail3_dual;
第13章 コマンドスクリプト
図13-1
ampl: commands steelT.sa3;
: avail3_obj avail3_dual :=
32
515033
3400
37
532033
3400
42
549033
3400
47
565193
2980
;
▪ AVAIL3 は試したい avail[3] の値の集合
▪ for {a in AVAIL3} が各値 a について解き直す
▪ 添字 a はループ内の文でそのまま使える
▪ option solver_msg 0 でソルバーの出力を抑制
7
FOR
入れ子ループで整形表を作る
steelT.tab1 （外側 1..T、内側 PROD の二重ループ）
printf "\nSALES";
printf {p in PROD}: "%14s
printf "\n";
", p;
for {t in 1..T} {
printf "week %d", t;
for {p in PROD} {
printf "%9d", Sell[p,t];
printf "%7.1f%%", 100*Sell[p,t]/market[p,t];
}
printf "\n";
}
図13-2
ampl: commands steelT.tab1;
SALES
bands
coils
week 1
6000 100.0%
307
7.7%
week 2
6000 100.0% 2500 100.0%
week 3
1399 35.0% 3500 100.0%
▪ 外側ループ {1..T} が表の1行を生成
▪ 内側ループ {p in PROD} がその行の各製品の項目を生成
▪ printf は改行 \n が現れるまで行を変えない
▪ 製品数や名前がデータ依存でも対応できる（1つの display文
より汎用的）
第13章 コマンドスクリプト
8
REP 条件付きの反復：repeat 文 13.3 ▪ 論理条件が満たされるかぎり反復を続ける ▪ while：条件が真であるかぎり継続 ▪ until：条件が偽であるかぎり継続（真になったら終了） ▪ 条件なしなら無限ループ（break 等で終了） repeat while COND { ... } 本体の前に検査 → 最初から偽なら0回 repeat until COND { ... } 本体の前に検査 → 最初から真なら0回 repeat { ... } while COND 本体の後に検査 → 少なくとも1回実行 repeat { ... } until COND 本体の後に検査 → 少なくとも1回実行 第13章 コマンドスクリプト 9
REP
感度を記録する repeat スクリプト
steelT.sa4
set AVAIL3 default {};
param avail3_obj {AVAIL3};
param avail3_dual {AVAIL3};
param avail3_step := 5;
repeat {
solve;
let AVAIL3 := AVAIL3 union {avail[3]};
let avail3_obj[avail[3]] := Total_Profit;
let avail3_dual[avail[3]] := Time[3].dual;
let avail[3] := avail[3] + avail3_step;
} until Time[3].dual = 0;
図13-3
▪ 反復回数が事前に分からないので AVAIL3 を default {} で
空集合に
▪ = {} ではなく default {} が重要：
▪ let で以後も変更可能にするため
▪ 解いた後で新しい avail[3] を集合に追加していく
▪ 浮動小数点誤差対策として option solution_precision 10 を
設定
▪ 本体の後の until … なので少なくとも1回は solve される
display avail3_obj, avail3_dual;
第13章 コマンドスクリプト
10
IF
条件の検査：if-then-else 文
if Make["coils",2] < 1500 then
printf "under 1500\n";
if Make["coils",2] < 1500 then {
printf "Fewer than 1500 coils.\n";
let market["coils",2] :=
market["coils",2] * 1.1;
}
else
printf "At least 1500 coils.\n";
// else if の連鎖：
if Sell[p,t] = 0 then printf "
";
else if Sell[p,t] < market[p,t] then
printf "%7.1f%%", 100*Sell[p,t]/market[p,t];
else printf " --- ";
第13章 コマンドスクリプト
13.4
▪ if 条件式 then 動作; が最も単純な形
▪ 動作は単一コマンドでも { ... } でまとめた複数コマンドでもよい
▪ 任意の else が代替の動作を指定する（単一コマンドまたはブロッ
ク）
▪ 式が真なら then 側、偽なら else 側（あれば）を実行
▪ then／else の中身がさらに if 文でもよく、else if を連ねて多分岐に
できる
▪ else は直前の対応可能な if と対にされる
11
BRK
ループの終了：break と continue
13.5
continue
break
名前付きループ
現在の回を終了し、次の回の検査から実行
を続ける
for／repeat ループを完全に終了し、直後の
文へ制御を移す
repeat name { ... } と break name; で外側ルー
プを直接指定
steelT.sa7（図13-5）：変化があった時だけ記録
repeat {
let avail[3] := avail[3] + 1;
solve;
if Time[3].dual = previous_dual
then continue;
let AVAIL3 := AVAIL3 union {avail[3]};
...
if Time[3].dual = 0 then break;
let previous_dual := Time[3].dual;
}
第13章 コマンドスクリプト
▪ break・continue は最も内側のループにのみ適用される
▪ 外側のループを直接抜けたい場合はループに名前を付ける：
▪ repeat sens_loop { ... }
▪ for {t in 1..T}
▪
if Time[t].dual<2700 then
▪
break sens_loop;
▪ ループ名は repeat／for の直後、break／continue の直後に置く
12
≫ スクリプトを一歩ずつ実行する ▪ option single_step 1; で1コマンドずつ止まる「シンボリックデバッガ 」に ▪ step / step n ▪ 次の1個／n個のコマンドを実行 ▪ next / next n ▪ 複合コマンド（for/repeat/if）の中に入らず、その先へ進む ▪ skip / skip n ▪ 次の1個／n個を実行せずに飛ばす ▪ 止まった位置は ファイル名:行番号(文字番号) で示される ▪ 一歩ずつ実行中も任意の AMPL コマンドを打ち込める（display 等で 状態確認） 13.6 対話セッション：<2>ampl は入れ子水準を示す ampl: option single_step 1; ampl: commands steelT.sa7; steelT.sa7:2(18) data ... <2>ampl: step steelT.sa7:4(36) option ... <2>ampl: step steelT.sa7:5(66) option ... <2>ampl: display avail[3], Time[3].dual, previous_dual; avail[3] = 22 Time[3].dual = 3620 previous_dual = 3620 <2>ampl: step steelT.sa7:17(317) continue ... ▪ <n>ampl: プロンプトはこのモードにいることを示す 第13章 コマンドスクリプト 13
& 文字列の操作：関数と演算子 13.7 & 連結演算子。2つの文字列（数値は自動変換）をつなげる "WEEK" & t length(s) 文字列 s の文字数を返す length("FISH") = 4 match(s,t) s の中で t が最初に現れる位置。なければ0 match("CHK","H") = 2 substr(s,p,n) 位置 p から始まる長さ n の部分文字列 substr("A_BEEF",1,1) = "A" sub / gsub 正規表現 t の最初／すべての出現を置換 第2引数は正規表現として解釈 sprintf(...) printf と同じ書式変換で文字列を返す（出力しない） sprintf("WEEK%3.1f",0.3) 第13章 コマンドスクリプト → "WEEK3" 14
&
文字列式でファイル名・オプションを組み立てる
▪ model, data, commands のファイル名、リダイレクト先（>, >>）、
▪ 添字 j や i, j はループ中で文字列に自動変換される
▪ option の値、table の string-list などに文字列式が使える
▪ ループを通るたびに異なるファイル・異なるオプション値を設定できる
13.7
▪ いずれの場合も文字列式は括弧で囲む
diet1.dat〜diet3.dat を順に解き diet1.out〜.out へ保存
組み合わせを変えて4通りの CPLEX 指示で解く
model diet.mod;
set CASES = 1 .. 3;
model sched.mod; data sched.dat;
option solver cplex;
for {j in CASES} {
reset data;
data ("diet" & j & ".dat");
solve;
display Buy >("diet" & j & ".out");
}
set DIR1 = {"primal","dual"};
set DIR2 = {"primalopt","dualopt"};
第13章 コマンドスクリプト
for {i in DIR1, j in DIR2} {
option cplex_options (i & " " & j);
solve;
}
15
まとめ ✓ スクリプトはファイルに収めたコマンド列 1 2 3 4 5 include はどこにでも現れる置換、commands は独立した文。制御構文と併用するなら commands が安全 for 文で集合上を反復 任意の添字式・任意の集合上で反復でき、入れ子にして printf と組み合わせれば整形表も作れる repeat 文で条件付き反復 while／until を本体の前後どちらに置くかで、最低実行回数（0回 or 1回）が決まる if-then-else と break／continue でループ制御 多分岐や条件付きスキップ・終了、名前付きループで外側ループも直接制御できる 文字列演算子 & と関数、single_step デバッグ 文字列式でファイル名・オプション値を動的に組み立て、step/next/skip で挙動を検証できる 第13章 コマンドスクリプト | 次章：第14章へ続く
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第14 章 ソルバーとのやりとり 前処理・求解結果・接尾辞・複数モデルの交互求解までを、AMPLとソルバーの対話として理解する AMPL Book 日本語版スライド 全22章シリーズ
A G EN D A 本章の内容 14.1 前処理 ソルバーへ送る前に問題を簡約する仕組みと制御オプション 14.2 求解結果の取り出し solve_result・変数状態(.sstatus)・AMPL状態(.astatus) 14.3 接尾辞による情報交換 ユーザー定義／ソルバー定義の接尾辞でソルバーと対話 14.4 モデルを交互に使う 列生成・分解などのアルゴリズム的手続きの実装 14.5 名前付き問題 problem文・environ文でモデルの一部を切り替える 第14章 ソルバーとのやりとり 02 / 20
14.1 前処 理 前処理(presolve)の働き ▪ solve コマンドの実行時、問題例がソルバーに送られる前に自 動的に実行される ▪ 変数を1つしか含まない制約を検出し、変数を固定または上下 限に畳み込んで除去 ▪ 現在の上下限から冗長と証明できる制約を検出して除去 ▪ 簡約はすべて解が返された後に元に戻されるので、解はもとの 問題の用語で見られる ▪ オプション show_stats を1にすると効果がレポートされる 除去された構成要素の確認: 状態(.status)が "pre" の変数・制約 を print で列挙できる 第14章 ソルバーとのやりとり ampl: model steelT.mod; data steelT.dat; ampl: option show_stats 1; ampl: solve; Presolve eliminates 2 constraints and 2 variables. Adjusted problem: 24 variables, all linear 12 constraints, all linear; 38 nonzeros MINOS 5.5: optimal solution found. 15 iterations, objective 515033 図4-4 steelT.mod の求解例：2制約・2変数が前処理で除去される 03 / 20
14.1 前処 理 前処理の効果を制御するオプション presolve 0で前処理を完全に停止、1で第2部のみ停止。既定は10(走査回数の上限) var_bounds 既定1は狭い上下限、2にすると第2の上下限の組をソルバーへ渡す presolve_inteps presolve_eps 整数変数の上下限を丸める際の許容誤差。既定 1.0e-6 実行不可能性の検出を緩和する許容誤差。既定 0 presolve_fixeps ほぼ等しい上下限をもつ変数・制約本体を平均値に固定する閾値 presolve_warnings 表示する前処理メッセージ数の上限。既定 5 接尾辞 .lb0/.ub0(原上下限)、.lb1/.ub1(第1組)、.lb2/.ub2(第2組)、.lb/.ub(現在送られる値) で各段階の上下限を調べられる 第14章 ソルバーとのやりとり 04 / 20
14.1 前処 理
前処理による実行不可能性の検出
ampl: let market["bands"] := 500;
ampl: solve;
inconsistent bounds for var
Make['bands']:
lower bound = 1000
> upper bound = 500;
difference = 500
単純な場合：変数の上限が下限を下回る
ampl: let avail := 13;
ampl: solve;
presolve: constraint Time
cannot hold:
body <= 13 cannot be
>= 13.2589;
difference = -0.258929
高度な検査：複数変数にまたがる矛盾も検出
▪ presolve_eps を小さな正の値に設定すると、丸め誤差による見かけ上の矛盾を無視できる（既定0、上限 presolve_epsmax=1.0e-5）
第14章 ソルバーとのやりとり
05 / 20
14.2 結果 の取 り出 し
solve_result と solve_result_num
solve_result_num
solve_result
解釈
0-99
solved
最適解が見つかった
100-199
solved?
最適解が示されたが誤りの可能性あり
ampl: display
solve_result_num, solve_result;
solve_result_num = -1
solve_result = '?'
ampl: solve;
MINOS 5.5: infeasible problem.
200-299
infeasible
制約を満たせない
300-399
unbounded
目的を限りなく改善できる
400-499
limit
設定した限界(反復回数等)で停止
500-599
failure
ソルバー内のエラー条件で停止
ampl: display
solve_result_num, solve_result;
solve_result_num = 200
solve_result = infeasible
スクリプトでは solve_result を検査して分岐するのが定石(200<=n<300 より簡潔)
第14章 ソルバーとのやりとり
06 / 20
14.2 結果 の取 り出 し
応用例：実行不可能性を検査する感度分析
# diet.run（図14-1・抜粋）
option solver_msg 0;
▪ 栄養素の上限を刻み幅ずつ減らしながら solve を繰り返す
for {i in nstart .. 0 by -nstep} {
let n_max[N] := i;
solve;
if solve_result = "infeasible"
then {
printf "--- infeasible at %d ---\n", i;
break;
}
let N_MAX := N_MAX union {i};
let N_obj[i] := Total_Cost;
let N_dual[i] := Diet[N].dual;
}
display N_obj, N_dual;
▪ 実行可能な間は目的値と双対値を記録して感度を分析
第14章 ソルバーとのやりとり
▪ if solve_result = "infeasible" で実行不可能を検出し break
▪ solver_msg を0にすると毎回のソルバーメッセージを抑制で
きる
--- infeasible at 48000 --:
N_obj
N_dual
:=
51000 115.625
-0.0021977
60000 101.013
7.04e-19
07 / 20
14.2 結果 の取 り出 し ソルバー起動の失敗を検出する ▪ solve_exitcode：ソルバー起動の成否を記録 ▪ 初期値 -1、起動成功で 0、失敗時はシステム依存の非零値 ▪ よくある失敗原因：ソルバー名の綴り間違い、ライセンス不備、一 時ファイルの書き込み失敗 ▪ solve_exitcode_max（既定0）を超えると、include・for・repeat等の複 合文を中断 ▪ solve_message：最新のソルバー返却メッセージを保持する記号パラ メータ ▪ solver_msg を0にすればメッセージ表示自体を抑制できる 第14章 ソルバーとのやりとり ampl: option solver xplex; ampl: solve; Cannot invoke xplex: No such file or directory ampl: display solve_exitcode; solve_exitcode = 1024 ampl: display solve_result, solve_result_num; solve_result = '?' solve_result_num = -1 08 / 20
14.2 結果 の取 り出 し 変数のソルバー状態 .sstatus sstatus_table の値 ampl: solve; MINOS 5.5: optimal solution found. bas 基底 (basic) ampl: display Buy.sstatus; Buy.sstatus [*] := BEEF bas CHK low FISH low HAM upp MCH upp MTL upp SPG bas TUR low ; low 下限で非基底 upp 上限で非基底 sup 超基底（非線形ソルバー） equ 上下限が等しい状態で非基底 none 状態未割当 第14章 ソルバーとのやりとり 09 / 20
14.2 結果 の取 り出 し send_statuses による再最適化の高速化 ▪ send_statuses（既定1）は、各 solve で変数の基底状態をソルバ ーへ送り、次回の出発点に使う ▪ 労働力を5%ずつ増やして繰り返し解く例：状態を送るだけで反 復回数が激減する send_statuses 0（毎回ゼロから） 18 solve 1 19 send_statuses 1（既定・状態を継承） 19 17 solve 2 solve 3 solve 4 18 solve 1 1 0 1 solve 2 solve 3 solve 4 単体法の反復回数（ steelT3.mod, CPLEX） 第14章 ソルバーとのやりとり 10 / 20
14.2 結果 の取 り出 し 制約の状態と AMPL 状態 制約のソルバー状態 .sstatus AMPL 状態 .astatus ▪ 各制約に付随する「論理変数」(スラック/人工変数)の基底状態を表す ▪ in：問題に含まれる／drop：drop コマンドで除去 ▪ 不等式制約はスラック変数を持ち bas/low/upp などをとる ▪ pre：前処理で除去／fix：fix コマンドで固定 ▪ 等式制約は人工変数を持ち、非基底時は equ ▪ sub：代入で除去／unused：目的・制約に未使用 .status = 統合されたひとつの状態 name.status は、name.astatus が "in" なら name.sstatus に等しく、そうでなければ name.astatus に等しい。通常はどちらか一方の状態に しか関心がないため、この統合接尾辞が便利。 第14章 ソルバーとのやりとり 11 / 20
14.3 接尾 辞
ユーザー定義の接尾辞：整数計画の指示
▪ suffix 文でソルバー固有の接尾辞を宣言する
▪ IN：AMPLが書き出しソルバーが読む値（例：分枝優先度）
▪ CPLEXの .priority（0-9999）と .direction（-1,0,1）で
▪ 分枝の優先順位と方向を変数ごとに指定できる
▪ let 文や var 宣言中の suffix 句で値を割り当てる
ampl: suffix priority IN, integer,
ampl?
>= 0, <= 9999;
ampl: suffix direction IN, integer,
ampl?
>= -1, <= 1;
ampl: let {i in ORIG, j in DEST}
ampl?
Use[i,j].priority :=
ampl?
sum {p in PROD} demand[j,p];
ampl: let Use["GARY","FRE"]
ampl?
.direction := -1;
ampl: solve;
CPLEX 8.0.0: optimal integer
solution; objective 235625
799 MIP simplex iterations
69 branch-and-bound nodes
第14章 ソルバーとのやりとり
12 / 20
14.3 接尾 辞 ソルバー定義の接尾辞：感度分析 cplex_options に 'sensitivity' を指定すると、CPLEXが .down / .current / .up の3接尾辞を自動生成する（OUT：ソルバーが書き出す） ampl: option cplex_options 'sensitivity'; ampl: solve; ...suffix current OUT; (自動実行) ampl: display Sell.down, Sell.current, ampl? Sell.up; : Sell.down Sell.current Sell.up := bands1 23.3 25 1e+20 bands3 24.9 27 27.5 coils2 33 35 1e+20 ; 第14章 ソルバーとのやりとり 意味 ▪ 変数：.current は現在の目的係数、.down/.up は現在の基底が最 適のままである係数の範囲 ▪ 制約：右辺値(定数項)に対する同様の範囲 ▪ ±1e+20 はそれぞれ -∞、+∞ を表す 13 / 20
14.3 接尾 辞
ソルバー定義の接尾辞：診断のための2例
実行不可能性の診断：.iis
非有界方向：.unbdd
▪
cplex_options に iisfind 1(高速)/2(小さいIIS) を指定
▪
非有界LPで実行可能半直線 X + αd（α≥0）の方向 d を返す
▪
既約実行不可能部分系(IIS)＝それ以上減らせない矛盾の集合
▪
Benders分解の部分問題などで活用（trnloc1d.mod）
▪
.iis は記号接尾辞：non/low/fix/upp を返す
▪
使用前に repeat ループの外で suffix unbdd OUT; の宣言が必要
ampl: option cplex_options
ampl?
'iisfind 1';
ampl: solve;
Returning iis of 7 variables
and 2 constraints.
ampl: solve;
CPLEX 8.0.0: unbounded problem.
ampl: display Supply_Price.unbdd;
Supply_Price.unbdd [*] :=
1 -1 4 -1
7 -1 10 -1 ...
ampl: print {i in 1.._ncons:
ampl? _con[i].iis <> "non"}: _conname[i];
Diet['B2']
Diet['NA']
第14章 ソルバーとのやりとり
14 / 20
14.3 接尾 辞 suffix 文の構文 入出力の指定 suffix priority IN, integer, >= 0, <= 9999; 接尾辞の型 (指定なし) 任意の数値 integer 整数値 binary 0 または 1 symbolic suffix_table に列挙された文字列 IN AMPLが書き出し、ソルバーが読む OUT ソルバーが書き出し、AMPLが読む INOUT IN と OUT の両方（既定） LOCAL 読み書きどちらもしない 記号接尾辞の仕組み symbolic接尾辞ごとに数値版 _num が自動定義され、 name_table オプションで整数と文字列の対応を宣言する 接尾辞は変数・目的・制約（および問題）の名前に付けられる独立した名前空 間をもつ 第14章 ソルバーとのやりとり 15 / 20
14.4 モデ ルを 交互 に使 う
2つのモデルを交互に解く：切断ストック問題
Gilmore–Gomory の列生成手続き：切断最適化とパターン生成を交互に solve する
双対価格 price[i] → 新パターン Use[i]
切断最適化モデル (cut.mod)
パターン生成モデル (cut.mod)
minimize Reduced_Cost:
1 - Σ price[i]*Use[i]
subject to Width_Limit: Σ i*Use[i] <= roll_width
minimize Number: Σ Cut[j]
subject to Fill{i}: Σ nbr[i,j]*Cut[j] >= orders[i]
新パターンを追加
需要を満たす初期パターンを選ぶ
repeat {
(分数の)切断最適化問題を解く → price[i] := Fill[i].dual
パターン生成問題を解く
最適値 < 0 なら新しいパターンを追加、そうでなければ終了して整数解を求める
}
第14章 ソルバーとのやりとり
16 / 20
14.4 / 14.5
problem 文でモデルの一部を切り替える
▪ problem 文が変数・目的・制約の部分集合に名前を付ける
▪ 現在の問題になると、その部分集合以外の変数は現在値に固定
、目的・制約は除去される
▪ fix/drop や 別モデルの solve を毎回書く方式より簡潔で誤りにく
い
▪ 問題ごとに option relax_integrality 等の環境も自動的に切り替わ
る
第14章 ソルバーとのやりとり
# cut.run（図14-3・抜粋）
problem Cutting_Opt: Cut, Number, Fill;
option relax_integrality 1;
problem Pattern_Gen: Use, Reduced_Cost,
Width_Limit;
option relax_integrality 0;
repeat {
solve Cutting_Opt;
let {i in WIDTHS} price[i] :=
Fill[i].dual;
solve Pattern_Gen;
if Reduced_Cost < -0.00001 then {
let nPAT := nPAT + 1;
let {i in WIDTHS} nbr[i,nPAT]
:= Use[i];
} else break;
}
17 / 20
14.5 名前 付き 問題 名前付き問題の使用と表示 ▪ problem だけのコマンド：現在の問題名を表示（既定は Initial） ampl: problem; problem Initial; ▪ show problems：定義済みの名前付き問題を一覧表示 ampl: problem Cutting_Opt: ampl? Cut, Number, Fill; ampl: problem Pattern_Gen: ampl? Use, Reduced_Cost, Width_Limit; ampl: problem; problem Pattern_Gen; ▪ show <name>：問題を構成する変数・目的・制約を表示 ▪ expand <name>：データ代入後の目的・制約を具体的に展開表示 ▪ solve <name> は problem <name> に続けて solve するのと同じ効果 ▪ redeclare problem／reset problem で定義を更新・巻き戻し可能 ampl: show problems; problems: Cutting_Opt Pattern_Gen ampl: show Cutting_Opt; problem Cutting_Opt: Fill, Number, Cut; 第14章 ソルバーとのやりとり 18 / 20
14.5 名前 付き 問題 名前付き環境 (environ) ▪ 環境＝すべての AMPL オプション値の集まり environ Master; ▪ 既定では各 problem 文が同名の環境も自動的に作成する ▪ 環境は作成時点のオプション値を継承し、現在である間の変更を保 持する problem MasterII environ Master: Total_Cost, Weight, Multi; ▪ environ 文で問題とは独立に環境を宣言・命名できる ▪ problem 文で "environ 名" を指定すれば既存の環境を結びつけられる ▪ 現在の問題／環境が切り替わるたびに option 設定も自動的に切り替 わる cut.run の例では relax_integrality を問題ごとに切り替え、ループ本体 を単純に保っている 第14章 ソルバーとのやりとり 19 / 20
まとめ 前処理は問題を自動的に簡約し、presolve/var_bounds/presolve_eps 等で挙動を制御できる solve_result・solve_result_num・solve_exitcode で求解結果や起動失敗を検査できる .sstatus/.astatus/.status で変数・制約の基底状態を調べ、再最適化を高速化できる suffix 文でユーザー定義・ソルバー定義の接尾辞を宣言し、高度な情報をやりとりできる problem 文と environ 文で、複数モデルを交互に解く手続きを簡潔かつ効率的に書ける AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第14章「ソルバーとのやりとり」
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 ⇄ 第 15 章 ネットワーク線形計画問題 節点と枝でモデルを描き、node と arc で AMPL に語らせる 転送 最大フロー 最短路 全22章シリーズ 割当 第15回 node / arc
▦ AGEN DA 本章の内容 15.1 最小費用転送モデル 節点・枝の集合、供給/需要、費用/容量、収支制約 Balance 15.2 その他のネットワークモデル 最大フロー・最短路・輸送/割当モデルへの応用 15.3 node と arc によるネットワークモデルの宣言 net_in / net_out、from・to・obj 句で図に沿って記述 15.4 node と arc 宣言の規則 収支条件の書式、側面制約・側面変数との組み合わせ 15.5 ネットワーク線形計画問題を解く 純粋ネットワーク構造と専用アルゴリズムによる高速化 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 1
⬡ 1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル ネットワークフローの基本構造 • 節点（node）＝円 … 都市・交差点などの地点 • 枝（arc）＝矢印 ンク • フロー（flow）＝矢印の向きに沿って枝を移動する量 • 枝には「費用, 容量」の2つの数字が付く（図の例） • 決定変数＝枝上のフロー量、制約＝上下限と各節点での フロー保存の2種類だけ … ある節点から別の節点へ走る有向リ 図15-1 有向ネットワーク（各枝の数字は「費用, 容量」） 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 2
Σ 1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル 例題：都市間パッケージ輸送 • PITT工場が来週450千パッケージを製造 • NE・SEの2配送センターが工場から受け取り、各倉庫へ 転送 • 倉庫ごとの需要（千パッケージ） BOS・EWR・BWI・ATL・MCOの5倉庫がそれぞれ必要量 をもつ 倉庫 BOS 需要 90 • 各リンクには「1000パッケージ当たりの費用」と「輸 送上限（容量）」がある EWR 120 • 目的：容量を守り需要を満たす最小費用の輸送計画を 求める BWI 120 ATL 70 MCO 50 450 5 9 PITT の供給（千パッケージ） 倉庫（需要地点）の数 リンク（枝）の本数 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 • 供給合計 450 • ＝ • 需要合計 450 • （90+120+120 • +70+50） 3
{}
•
1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル
一般的な転送モデル（1）— 宣言と目的関数
都市の集合 CITIES と、都市の順序対の部分集合 LINKS でリ
ンクを表す
•
各都市に供給 supply と需要 demand（ともに ≥ 0）を定義
•
各リンクに費用 cost と容量 capacity を定義
•
変数 Ship[i,j] は非負、かつ容量以下に制限
•
目的：全リンクの cost × Ship の総和を最小化
net1.m od（抜粋）
set CITIES;
set LINKS within (CITIES cross CITIES);
param supply {CITIES} >= 0;
param demand {CITIES} >= 0;
param cost {LINKS} >= 0;
param capacity {LINKS} >= 0;
var Ship {(i,j) in LINKS} >= 0,
<= capacity[i,j];
minimize Total_Cost:
sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Ship[i,j];
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
4
Σ
1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル
一般的な転送モデル（2）— 収支制約 Balance
subject to Balance {k in CITIES}:
supply[k]
+ sum {(i,k) in LINKS} Ship[i,k]
= demand[k]
+ sum {(k,j) in LINKS} Ship[k,j];
•
各都市 k で「供給＋入るフロー」＝「需要＋出るフロー」
•
sum{(i,k) in LINKS} Ship[i,k] … k に入るすべてのリンクの和
•
sum{(k,j) in LINKS} Ship[k,j] … k から出るすべてのリンクの和
•
この添字づけの約束が収支制約を簡潔に書く鍵
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
「正味需要」形式
# 変数を左辺、定数を右辺に移すと
subject to Balance {k in CITIES}:
sum {(i,k) in LINKS} Ship[i,k]
- sum {(k,j) in LINKS} Ship[k,j]
= demand[k] - supply[k];
入る量 − 出る量 ＝ 正味需要
正の値：倉庫都市 ／ 負の値：工場都市 ／ 零：転送都市
5
◈ 1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル 特化した転送モデル • 工場・配送センター・倉庫の3種類を別々の集合で宣言 • 工場は1つだけ → 記号パラメータ p_city で表す • DW_LINKS は「配送センター→倉庫」の対だけに限定 • 不適切な配置（倉庫間リンクなど）を構造的に排除できる • 一般モデルの CITIES・LINKS・supply・demand はこれらから導 出 net2.m od（抜粋） param p_city symbolic; set D_CITY; set W_CITY; set DW_LINKS within (D_CITY cross W_CITY); param p_supply >= 0; param w_demand {W_CITY} >= 0; set CITIES = {p_city} union D_CITY union W_CITY; set LINKS = ({p_city} cross D_CITY) union DW_LINKS; 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 6
±
1
1 5.1 最小 費用 転送 モデ ル
転送モデルの変形
不等式の収支
供給が需要を上回りうるなら P_Bal の = を <= に。
subject to P_Bal:
sum{i in D_CITY} PD_Ship[i] <=
p_supply;
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
2
輸送中の損失
損失率 pd_loss を導入し、届く量を (1-pd_loss)×Ship に
。
param pd_loss {D_CITY} >= 0, < 1;
subject to D_Bal {i in D_CITY}:
(1-pd_loss[i])*PD_Ship[i] =
sum{(i,j) in DW_LINKS} DW_Ship[i,j];
3
単位の換算
需要が箱、輸送が千パッケージなら換算係数 ppc を
使う。
param ppc integer > 0;
subject to W_Bal {j in W_CITY}:
sum{(i,j) in DW_LINKS}
(1000/ppc)*DW_Ship[i,j] =
w_demand[j];
7
⇒
1 5.2 その 他の ネッ トワ ークモ デル
最大フローモデル
•
収支制約 Balance は入口・出口を除く各交差点だけに課す
•
目的：入口から出る総フロー Entering_Traff を最大化
•
最適値：毎時 130 台
netma x.m od（抜粋）
set ROADS within
(INTER diff {exit}) cross (INTER diff {entr});
param cap {ROADS} >= 0;
var Traff {(i,j) in ROADS} >= 0,
<= cap[i,j];
maximize Entering_Traff:
sum {(entr,j) in ROADS} Traff[entr,j];
図15-5 交通流ネットワーク（数字は毎時の容量）
•
a から入り g から出る最大交通流を求める
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
subject to Balance {k in INTER diff {entr,exit}}:
sum{(i,k) in ROADS} Traff[i,k]
= sum{(k,j) in ROADS} Traff[k,j];
8
1 5.2 その 他の ネッ トワ ークモ デル
最短路モデル
•
同じネットワーク図（図15-5）を使い、容量を移動時間 time に
読み替える
•
変数 Use[i,j] は「最短路に含まれるなら1、含まれなければ0」
•
目的：time × Use の総和（総移動時間）を最小化
•
追加の制約 Start：入口から流れ出る量をちょうど1に固定
AMPL 対話セッション
ampl: model netshort.mod;
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
1 iterations, objective 140
ampl: option omit_zero_rows 1;
ampl: display Use;
Use :=
a b
1
b e
1
e g
1
;
nets hor t.mo d（抜粋）
param time {ROADS} >= 0;
var Use {(i,j) in ROADS} >= 0;
minimize Total_Time:
sum {(i,j) in ROADS} time[i,j]*Use[i,j];
subject to Start:
sum {(entr,j) in ROADS} Use[entr,j] = 1;
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
最短路：a → b → e → g （所要 140 分）
9
⇌
1 5.2 その 他の ネッ トワ ークモ デル
輸送モデルと割当モデル
•
•
•
節点は発地群と着地群の2つに分かれ
る二部構造
neta sgn .mod （抜粋）
set PEOPLE; set PROJECTS;
set ABILITIES within
(PEOPLE cross PROJECTS);
枝はすべて発地→着地を結ぶ（発地
間・着地間はなし）
var Assign {(i,j) in ABILITIES}
>= 0, <= limit[i,j];
このネットワーク上の最小費用転送
＝ 輸送モデル／割当モデル
subject to Supply {i in PEOPLE}:
sum{(i,j) in ABILITIES}
Assign[i,j] = supply[i];
•
係数は時間・人数・順位のいずれでもよい
•
順位を係数にすると「希望順位の合計最小化」割当になる
図15-8 二部ネットワーク
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
10
⌘ 1 5.3 node と arc によ るネ ット ワー クモデ ルの 宣言 なぜ node と arc が必要か • 代数的な var / subject to は変数と制約から出発し、節点・ 枝は式の中に暗黙に埋め込まれる 代数的な表現（読み取りにくい） • ネットワークが複雑になるほど収支制約の式は読み取りに くくなる sum {(i,k) in LINKS} Ship[i,k] - sum {(k,j) in LINKS} Ship[k,j] • node と arc は逆から出発：節点と枝を直接宣言し、フロ ー変数と収支制約を暗黙に生成 • 図の見え方（節点が先、枝が後）にそのまま対応する node / arc の表現（節点収支が一目瞭然） net_in 「入るフロー − 出るフロー」を1語で表す組込みキーワード （net_out はその符号反転） 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 11
▣
1 5.3 node と arc によ るネ ット ワー クモデ ルの 宣言
node と arc で書き直す — 一般的な転送モデル
net1no de. mod（抜粋）
# set / param 宣言は前と同じ
•
node Balance
•
各 CITIES の要素に1つの節点。net_in = demand − supply で正味需
要を指定
•
arc Ship
•
上下限は var と同じ書式。from・to で結ぶ節点、obj で目的関数
への係数を指定
•
minimize は名前だけでよい（項は arc 側の obj 句が供給）
minimize Total_Cost;
node Balance {k in CITIES}:
net_in = demand[k] - supply[k];
arc Ship {(i,j) in LINKS} >= 0,
<= capacity[i,j],
from Balance[i], to Balance[j],
obj Total_Cost cost[i,j];
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
12
●
1 5.4 node と arc 宣言 の規 則
node 宣言 — 収支条件の書式
•
書式：node 名前 {添字式}: 収支条件;
•
収支条件は net_in（または net_out）と算術式を =, <=, >= で結
ぶ
•
上下限つきの範囲条件（arith <= net <= arith）も書ける
•
収支条件を省略すると net_in = 0（＝ net_out = 0）が既定
許される収支条件の形
net-expr = arith-expr
net-expr <= arith-expr
net-expr >= arith-expr
arith-expr = net-expr
arith-expr <= net-expr
arith-expr >= net-expr
arith <= net-expr <= arith
arith >= net-expr >= arith
3種類の節点の例（net3no de. mod）
node Plant: net_out = p_supply;
node Dist {i in D_CITY};
node Whse {j in W_CITY}:
net_in = w_demand[j];
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
net-expr は ± net_in（または net_out）に定数項 arith-expr を足したものに
限られる。
13
→
1 5.4 node と arc 宣言 の規 則
arc 宣言 — from / to / obj 句
•
書式：arc 名前 {添字}, 上下限, from 節点, to 節点, obj 目的 係数;
•
from・to はどちらか片方を省略してもよい（枝の片端がぶら下が
る）
•
係数を from/to 句の末尾に付けると輸送損失・単位換算を表せる
•
if を使った添字式で条件つきに from / to を切り替えられる
条件つき fr om / to （最大フロー）
arc Traff {(i,j) in ROADS} >= 0,
<= cap[i,j],
from {if i = entr} Entr_Int,
from {if i <> entr} Intersection[i],
to
{if j = exit} Exit_Int,
to
{if j <> exit} Intersection[j],
obj Entering_Traff
(if i = entr then 1);
損失係数の例
arc PD_Ship {i in D_CITY} >= 0, <= pd_cap[i],
from Plant, to Dist[i] 1-pd_loss[i],
obj Total_Cost pd_cost[i];
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
14
⊕
1 5.4 node と arc 宣言 の規 則
付加制約と付加変数
付加制約 ── 多品種フロー
付加変数 ── 原料からの生産
arc の名前は subject to の中で通常の変数として使える。製品ごとの枝流
量に共同の容量制限をかけられる。
先に var で定義した通常変数を node の収支条件に含められる。
subject to Multi {(i,j) in LINKS}:
sum {p in PRODS} Ship[p,i,j]
<= cap_joint[i,j];
→ ネットワーク構造は壊れるが、費用・容量部分とは分離して書ける（
netmulti.mod ）。
第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題
var Feed {f in FEEDS, k in CITIES}
>= 0, <= limit[f,k];
node Balance {p in PRODS, k in CITIES}:
net_out = supply[p,k] - demand[p,k]
+ sum{f in FEEDS} yield[p,f]*Feed[f,k];
→ Feed[f,k] が製品ごとのネットワークを1つの線形計画問題に結びつける（
netfeeds.mod）。
15
1 5.5 ネッ トワ ーク 線形 計画問 題を 解く 純粋ネットワーク構造と解の速さ • 各変数が高々2本の制約に、係数 +1 と −1 で1回ずつ現れる ＝「 純粋な」ネットワークLP • 供給・需要・上下限が整数なら、必ず全整数の最適解が存在 • node / arc で書けば AMPL が自動でネットワーク構造をソルバー に伝達 • 専用のネットワークシンプレックス法で大幅に高速化されうる 代数的定式化（net3.mod） CPLEX 8.0.0: optimal solution; objective 1819 1 dual simplex iterations (0 in phase I) 同じ目的関数値 1819 だが… ampl: model net3node.mod; data net3.dat; solve; CPLEX 8.0.0: optimal solution; objective 1819 Network extractor found 7 nodes and 7 arcs. 7 network simplex iterations. 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 node / arc 定式化ではネットワーク抽出器が7節点・7枝を検出し、専 用のネットワークシンプレックス法が適用される。 16
まとめ ✓ 1 ネットワーク線形計画問題 決定変数＝枝のフロー、制約＝上下限とフロー保存だけの特別なLP 2 転送・最大フロー・最短路・割当 同じ変数/制約の型を、目的や収支条件の違いで使い分ける 3 node と arc 宣言 net_in / net_out と from・to・obj で図に沿って直接記述できる 4 側面制約・側面変数 多品種フローなど、ネットワークを超える拡張も自然に組み込める 5 純粋ネットワーク構造 整数最適解の保証と専用アルゴリズムによる高速な求解につながる 第15章 ｜ ネットワーク線形計画問題 17
A MP L ： 数 理 計 画 の た め の モ デ リ ン グ 言 語 ▦ 第 16 章 列単位の定式化 行を追うか、列を追うか — 変数中心でモデルを組み立てる 投入産出モデル | スケジューリングモデル | obj / coeff 句の規則 1 / 14
≡ AGENDA 本章の内容 投入産出モデル 16.1 行単位・列単位の両方で生産モデルを定式化し、obj句・coeff句を導入する スケジューリングモデル 16.2 シフト勤務の割当問題を列単位で定式化し、集合被覆問題との関係を見る 列単位の定式化の規則 16.3 to_come・coeff句・obj句の一般規則と、多品種フローモデルへの応用 第16章 列単位の定式化 2 / 14
CONCEPT ⇄ 行単位と列単位、二つの視点 AMPLは通常、var 宣言 → maximize/minimize → subject to の順に「行単位（制約指向）」で書く。しかし特定の線形計画問題 では、一つの変数に関わるすべての係数をまとめて見るほうが単純になる。 ▬ 行単位（制約指向） ││ 列単位（変数指向） ■ var → maximize/minimize → subject to の順 ■ maximize/subject to → var の順 ■ 一つの制約について全変数の係数を並べる ■ 一つの変数について全制約の係数を並べる ■ 本書の大半の例で用いられる標準的な書き方 ■ 第15章のnode/arc宣言もこの発想の一種 ■ 特化した制約が多いモデルに向く ■ obj句・coeff句をvar宣言に追加して実現 16.1 導入 3 / 14
16.1 投入産出モデル 原料と活動：io[i,j] の意味 製鋼所や精製所のような複雑な操業では、ある生産単位の投入が他の単位の産出になる。原料集合 MAT と活動集合 ACT に対し、投入 産出係数 io[i,j] を次のように定義する。 投入 産出 活動 j ( Run[j] ) 原料 i io[i,j] < 0 原料 i io[i,j] > 0 ■ io[i,j] > 0 ： 活動 j の1単位が生む原料 i の量（産出） ■ io[i,j] < 0 ： 活動 j の1単位が消費する原料 i の量の負値（投入） ■ io[i,j] = 0 ： 原料 i は活動 j に関与しない ■ 変数 Run[j] は活動 j の運用水準（act_min[j] ≤ Run[j] ≤ act_max[j]） 16.1 投入産出モデル 4 / 14
▬
16.1 投入産出モデル
まず行単位で定式化する
io r ow .m o d
set MAT;
set ACT;
読み方
# materials
# activities
param io {MAT,ACT};
# input-output coefficients
param revenue {ACT};
param act_min {ACT} >= 0;
param act_max {j in ACT} >= act_min[j];
■ Balance[i] は原料 i の産出量と消費量が均衡する
ことを表す
■ 資源の購入・製品の販売も「活動」として表現
し、Run[i]の下限・上限で量を制御
■ revenue[j] は活動ごとの単位収入（購入・生産は
負＝費用）
var Run {j in ACT} >= act_min[j], <= act_max[j];
maximize Net_Profit:
sum {j in ACT} revenue[j] * Run[j];
subject to Balance {i in MAT}:
sum {j in ACT} io[i,j] * Run[j] = 0;
図16-1 行単位の投入産出モデル
16.1 投入産出モデル
5 / 14
││
16.1 投入産出モデル
obj句・coeff句で列単位に書き換える
io c ol1 .m o d（ 抜粋 ）
maximize Net_Profit;
subject to Balance {i in MAT}: to_come = 0;
var Run {j in ACT} >= act_min[j], <= act_max[j],
obj Net_Profit revenue[j],
coeff {i in MAT} Balance[i] io[i,j];
3つのポイント
■ obj Net_Profit revenue[j] ： 目的 Net_Profit に項
revenue[j]*Run[j] を追加
■ coeff {i in MAT} Balance[i] io[i,j] ： 各制約 Balance[i]
に係数 io[i,j] を追加
■ to_come は制約の「雛型」— 後続のvar宣言が係数
を埋めていく
図16-2 列単位の定式化
注意：obj/coeff句がNet_ProfitとBalanceを参照するた
め、var 宣言は maximize/subject to の後に置く
必要がある。
16.1 投入産出モデル
6 / 14
16.1 投入産出モデル
販売活動を独立した変数に
完成原料 MATF を販売する変数 Sell[i] を新設。目的・制約の宣言は図16-2のまま変えず、変更はすべて var 宣言に反映される。
io c ol2 .m o d（ v a r宣 言部 ）
利点
var Run {j in ACT} >= act_min[j], <= act_max[j],
obj Net_Profit -cost[j],
coeff {i in MAT} Balance[i] io[i,j];
■ Sell[i] の投入は原料iのみ→coeff は Balance[i] -1 の1項
だけでよい
var Sell {i in MATF} >= sell_min[i], <= sell_max[i],
obj Net_Profit revenue[i],
coeff Balance[i] -1;
■ 明示されない係数はすべて0とみなされる（零係数
を書く必要がない）
■ display Sell で販売量だけを容易に確認できる
■ 新しい活動（例：購入変数Buy）の追加も定義を1つ
足すだけ
図16-3 販売活動を伴う列単位の定式化
16.1 投入産出モデル
7 / 14
▤ 16.2 スケジューリングモデ ル シフトへの従業員割当 工場の生産はシフトに分かれる。各シフトに必要な人数が働くよう従業員を割り当てたいが、5連勤は不可 など認められる週間スケジ ュールが限られる。そこで「従業員をスケジュールに割り当てる」問題として捉える。 set SHIFTS; # shifts param Nsched; # number of schedules set SCHEDS = 1..Nsched; # set of schedules set SHIFT_LIST {SCHEDS} within SHIFTS; param rate {SCHEDS} >= 0; param required {SHIFTS} >= 0; 16.2 スケジューリングモデル # 1人当たり賃金率 # シフトごとの必要人数 モデル化の要点 ■ SHIFT_LIST[j] ： スケジュールjに含まれるシフトの集合 ■ 変数 Work[j] ： スケジュールjに割り当てる人数 ■ 各シフトiは、iを含むスケジュールに割り当てられた人 数の合計でカバーされる 8 / 14
▬ 16.2 スケジューリングモデ ル 行単位で書くと制約が扱いにくい var Work {SCHEDS} >= 0; minimize Total_Cost: sum {j in SCHEDS} rate[j] * Work[j]; subject to Shift_Needs {i in SHIFTS}: sum {j in SCHEDS: i in SHIFT_LIST[j]} Work[j] >= required[i]; 発想の転換 ■ データはスケジュール別（j）に整理されてい る ■ 各スケジュールに変数も1つずつ対応する ■ → 係数を「変数ごと」に指定する方が自然で 、大規模例ではより効率的 左辺は「i in SHIFT_LIST[j] を満たすすべての j」にわたる和 — このsum ... : 条 件 という書き方の扱いにくさが、列単位への動機になる。 16.2 スケジューリングモデル 9 / 14
││
16.2 スケジューリングモデ ル
coeff句 と cover句
sc h ed. m od （ 図16 -4 ）
係数の意味
minimize Total_Cost;
subject to Shift_Needs {i in SHIFTS}:
to_come >= required[i];
■ SHIFT_LIST[j]の各シフトiについて、Shift_Needs[i]
で係数1をもつ
var Work {j in SCHEDS} >= 0,
obj Total_Cost rate[j],
coeff {i in SHIFT_LIST[j]} Shift_Needs[i] 1;
■ cover句はfrom/toと同様、係数1を簡潔に指定す
るための専用句
■ 航空会社の乗務員スケジューリングなど「集合
被覆問題」の典型形
図16-4 列単位のスケジューリングモデル
c ov er 句 （係 数 1 を 簡潔 に 指定 ）
var Work {j in SCHEDS} >= 0,
obj Total_Cost rate[j],
cover {i in SHIFT_LIST[j]} Shift_Needs[i];
16.2 スケジューリングモデル
10 / 14
16.2 スケジューリングモデ ル 実例：126通りのスケジュール 月〜金1日3シフト・土2シフト、各日100/78/52人が必要という設定で sched.mod を解く。 A MP Lセ ッシ ョ ン ampl: model sched.mod; data sched.dat; solve; MINOS 5.5: optimal solution found. 19 iterations, objective 265.6 ampl: display Work; Work [*] := 10 28.8 30 14.4 71 35.6 106 23.2 123 35.6 18 7.6 35 6.8 73 28 109 14.4 24 6.8 66 35.6 87 14.4 113 14.4 ; 265.6 最適目的値（延べ勤務量） 13 / 126 実際に使われたスケジュール数 271人 分数解を切り上げた271人が最良の整数解かどうかは、第20章の整数計画の技法で判定する。 16.2 スケジューリングモデル 各解を切り上げた実行可能整数解 11 / 14
⌗ 16.3 列単位の定式化の規則 to_come と coeff / obj 句の文法 雛 型制 約 の3 つ の形 to_come to_come + arith-expr arith-expr + to_come var 宣言に追加できる句 ■ coeff {添字式} 制約名 arith-expr ： 制約係数を指定（複数可） ■ obj 目的名 arith-expr ： 目的関数の係数を指定 ■ 添字式は {if logical-expr} の形も可（条件付きで係数を生成） ■ arc宣言のfrom/to句に加えcoeff句も使用可（側面制約の列単位記述） ■ const-expr 関係演算子 to_come の形が最も一般的（例：to_come >= required[i]） ■ 雛型制約が変数を含む場合、それは行単位・列単位の混成モデルに なる 省略のルール：目的が後続のvar宣言だけで指定される線形項の和なら、目的式は to_come のみとなり省略できる。 16.3 列単位の定式化の規則 12 / 14
⇆
16.3 応用
多品種フローモデルを完全に列単位で
第15章の多品種フローモデル（図15-13）を、arc 宣言の coeff 句で完全に列単位に書き直す。フロー収支は from/to 句、リンク総量の側面制
約は coeff 句で表す。
n etm c o l.m o d（ 図16 -6 ）
ポイント
minimize Total_Cost;
node Balance {k in CITIES, p in PRODS}:
net_in = demand[k,p] - supply[k,p];
subject to Multi {(i,j) in LINKS}:
to_come <= cap_joint[i,j];
■ from/to でフロー収支制約の係数を、coeffで
側面制約の係数を同時に指定
■ Multi[i,j] はリンク合計流量の上限（cap_joint
）を表す雛型制約
■ node/arc句とcoeff句は併用できる
arc Ship {(i,j) in LINKS, p in PRODS} >= 0, <= capacity[i,j,p],
from Balance[i,p], to Balance[j,p],
coeff Multi[i,j] 1.0,
obj Total_Cost cost[i,j,p];
図16-6 図15-13の列単位の定式化
16.3 列単位の定式化の規則
13 / 14
✓ 1 2 3 4 5 まとめ 行単位（変数→目的→制約）に対し、列単位は「先に目的と制約、後から変数」の順で書く発想 var 宣言に obj句・coeff句を加えることで、変数ごとに目的係数・制約係数をまとめて指定できる 制約・目的の雛型は to_come で示し、後続のvar宣言が係数を埋めていく 投入産出モデルやスケジューリングモデルなど、1変数が複数制約に現れる問題（集合被覆問題を含む）と相性が良い arc宣言のfrom/to/coeff句との併用で、行単位・列単位を柔軟に混成できる 14 / 14
A MP L ： 数 理 計 画 の た め の モ デ リ ン グ 言 語 第17章 区分的線形計画問題 折れ点と傾きで費用構造を表す ―― AMPL の <<breakpoints; slopes>> 記法 全22章シリーズ 第17回
本章の内容 17.1 費用項 固定数／可変数の部分区間をもつ区分的線形コストの表現 17.2 よくある 2・3 部分区間の項 柔らかい制約・実行不可能性・可逆的活動のモデル化 17.3 他の区分的線形関数 if-then-else、max、abs との等価性と記法の使い分け 17.4 区分的線形最適化のための指針 凸性・凹性と扱いやすさ、pl_linearize オプション AMPL 第17章 2
区分的線形とは つながった線形の部分区間を継ぎ合わせてできる関数 ● 線形計画問題の中には、厳密には線形でないが、直線の部分区間 をつなぎ合わせてできる「区分的線形」の項を使うものがある。 ● この形は思い描くのは容易だが、通常の代数記法で書くのは難し い。 ● そこで AMPL は区分的線形項を記述する専用の簡潔な構文を提供 する。 ● 本章では、費用の記述・柔らかい制約・実行不可能性の分析・可 逆的活動のモデル化という代表的な用途を、輸送モデルと生産モ デルを例に見ていく。 図：傾きが変わる点（折れ点）をつないだ区分的線形関数のイメージ AMPL 第17章 3
固定数の部分区間 ―― 輸送コストの例 ● 線形輸送モデルでは同じ単位費用が輸送量によらず一定。 ● 現実にはより有利な料金は限られた単位数までしか適用されず 、超過分にはより高い料金が課される。 ● 各発地・着地の対に 3 つの費用水準（rate1, rate2, rate3）と 2 つの上限（limit1, limit2）を指定する。 ● その結果、総輸送費用は輸送量とともに 3 つの部分区間をもつ 区分的線形のやり方で増加する（図 17-1）。 図17-1 3 つの傾きをもつ区分的線形関数 AMPL 第17章 4
AMPL の区分的線形記法 ● « と » の間の式が区分的線形関数を記述し、続けて適用する変数名を書く。 ● 折れ点リストと傾きリストはセミコロン（;）で区切り、各リストの要素はコンマ（,）で区切る。 ● 傾きの数は折れ点の数よりちょうど 1 つ多くなければならない（最初の傾きは最初の折れ点より前、最後の傾きは最後の折れ点 より後に適用）。 ● 曖昧さを避けるため、AMPL は区分的線形関数が「零で零」の値をとると仮定する（既定の基準点）。 AMPL 第17章 5
モデル例：transpl1.mod（3 部分区間）
set ORIG;
set DEST;
param supply {ORIG} >= 0;
param demand {DEST} >= 0;
param rate1 {i in ORIG, j in DEST} >= 0;
param rate2 {i in ORIG, j in DEST} >= rate1[i,j];
param rate3 {i in ORIG, j in DEST} >= rate2[i,j];
param limit1 {i in ORIG, j in DEST} > 0;
param limit2 {i in ORIG, j in DEST} > limit1[i,j];
var Trans {ORIG,DEST} >= 0;
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST}
<<limit1[i,j], limit2[i,j];
rate1[i,j], rate2[i,j], rate3[i,j]>> Trans[i,j];
AMPL 第17章
6
可変数の部分区間 ― npiece によるデータ駆動
● 部分区間が 12 個などになると、rate1〜rate12 を個別に宣言するのは
扱いにくい。
● 部分区間数そのものをパラメータ npiece[i,j] にするのがよい手法。
● 料金・上限をリンクと部分区間の組合せで添字づける：
● rate[i,j,p]、limit[i,j,p]。
● 折れ点・傾きのリストに添字式を使い、部分区間数をデータで変え
られるようにする。
AMPL 第17章
param npiece {ORIG,DEST} integer >= 1;
param rate {i in ORIG, j in DEST,
p in 1..npiece[i,j]} >= ...;
param limit {i in ORIG, j in DEST,
p in 1..npiece[i,j]-1} > ...;
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST}
<<{p in 1..npiece[i,j]-1} limit[i,j,p];
{p in 1..npiece[i,j]} rate[i,j,p]>>
Trans[i,j];
7
「柔らかい」制約への罰則項 第 4 章の複数週生産モデルを拡張 ● 硬い制約「使用時間 ≤ avail[t]」を、望ましい水準を超えると罰則 がかかる柔らかい制約に置き換える。 ● avail_min[t]：罰則なしで使える時間 ● avail_max[t]：使える上限時間 ● time_penalty[t]：avail_min を超えた 1 時間ごとの利益減少 ● 新変数 Use[t] （0 ≤ Use[t] ≤ avail_max[t]）を導入し、Time 制約を等 式に変更する。 図17-4 利用時間に対する区分的線形の罰則関数（1 折れ点） AMPL 第17章 8
罰則項を組み込んだ目的関数と解
AMPL 対話セッション
maximize Net_Profit:
sum {p in PROD, t in 1..T}
(revenue[p,t]*Sell[p,t]
- prodcost[p]*Make[p,t]
- invcost[p]*Inv[p,t])
- sum {t in 1..T}
<<avail_min[t]; 0,time_penalty[t]>>
Use[t];
ampl: model steelpl1.mod; data steelpl1.dat;
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
ampl: display avail_min,Use,avail_max;
: avail_min Use avail_max :=
1
35
35
42
2
35
42
42
3
30
30
40
4
35
42
42 ;
第 1・3 週は罰則のない時間だけを使うが、第 2・4 週では罰則のある時間も使う。区分的線形計画問題の解では、多くの変数がいずれ
かの折れ点に「くっつく」性質がしばしば見られる。
AMPL 第17章
9
実行不可能性への対処 ①：時間不足として見る ● 確約量（commit）を引き上げると時間が足りず、ソルバーが infeasible を返すことがある。 ● 返る「実行不可能な解」は在庫が負になったり最小量を割り込ん だりと、あちこちに散らばり原因がつかみにくい。 ● 対策：avail_max[t] を折れ点にし、その先に非常に大きな傾き（例 ：100,000）を追加する。 ● これにより Use[t] は avail_max を超えられるが、超過には極めて重 い罰則がかかるため、必要最小限しか超えない。 図17-6 2 つの折れ点をもつ利用時間の罰則関数 AMPL 第17章 10
実行不可能性への対処 ②：確約超過として見る ● Sell[p,t] が commit[p,t] を下回る単位ごとに大きな罰則を引く（図 17-7）。 ● 折れ点は零で零になるという既定の仮定があるため、単純な <<commit[p,t]; -100000,0>> だけでは値がずれる。 <<commit[p,t]; -100000,0>> (Sell[p,t], commit[p,t]); # 第2引数 zero-expr で # 「関数が commit[p,t] で零」と # 明示できる AMPL 第17章 図17-7 販売量に対する罰則関数（commit[p,t] に折れ点） 11
可逆的な活動 ―― 在庫と受注残 ● Inv[p,t] の宣言から >= 0 を外すと、負の値を「受注残」として解釈 できる。 ● しかし単純な線形費用 invcost[p]*Inv[p,t] のままでは、負の Inv が利 益を見かけ上増やしてしまい、不自然な解になる。 ● 適切な費用関数は零を折れ点とし、正負どちらの方向に離れても 増加する（図 17-8）。 ● 傾きは -backcost[p]（負側）と invcost[p]（正側）：<<0; -backcost[p], invcost[p]>> Inv[p,t]。 図17-8 在庫費用関数（零に折れ点をもつ V 字形） AMPL 第17章 12
他の書き方との等価性 ―― if・max・abs 同じ関数でも解けるかどうかは記法次第 # 同じ関数の別表現 if Use[t] > avail_min[t] then time_penalty[t]* (Use[t]-avail_min[t]) else 0 max(0, time_penalty[t]* (Use[t]-avail_min[t])) AMPL はこれらの式が区分的線形だと自動検出しない ―― 満足のいく解は得 にくい AMPL 第17章 # 明示的な区分的線形記法 <<avail_min[t]; 0,time_penalty[t]>> Use[t] # abs も同様 time_penalty[t] * <<avail_min[t]; -1,1>> Use[t] 構造がソルバーに直接伝わり、LP として効率よく解ける 13
分離不可能な例 ―― 最小最大の割当
● 目的 max{i} sum{j} cost[i,j]*Assign[i,j] は区分的線形だが、個々の変
数について分離可能ではないため <<...>> 記法では書けない。
● 解決策：最大値を表す新変数 M を導入し、線形計画問題に書き
直す。
var M;
minimize Max_Cost: M;
● M はすべての i について右辺以上という制約 M_def を課し、目
的は minimize M とする。
subject to M_def {i in PEOPLE}:
M >= sum {j in PROJECTS}
cost[i,j]*Assign[i,j];
● 同じ考え方は「最大最小」目的にも適用でき、その場合は
maximize と M <= … を使う。
AMPL 第17章
14
区分的線形最適化のための指針 <<breakpoint-list; slope-list>> pl-argument 凸関数（傾きが非減少） 凹関数（傾きが非増加） 分離可能な凸区分的線形関数の最小化は LP として効率よく解ける（本 章の例はすべてこの型）。 分離可能な凹区分的線形関数の最大化も同様に扱いやすい。 ● この 2 つを外れる場合、分離可能な区分的線形の最適化は整数計画（第20章）の応用として扱われ、AMPL が等価な整数計画に自動変換する。 ● 制約中の区分的線形は「凸で ≤ 制約左辺」または「凹で ≥ 制約左辺」の場合にかぎり LP で扱える。 ● 直接扱えるソルバーがあれば option pl_linearize 0; で変換を止められる。 ● 部分区間の総数が増えるほど難しさは増す ―― 10 数個を超えるなら第18章の非線形関数も検討する。 AMPL 第17章 15
応用：構造設計への拡張（練習問題 17-7） abs() の区分的線形記法は構造の最小重量設計にも使える ● 継手（joint）を棒（bar）でつないだ平面構造の最小 重量設計問題。 ● 棒の応力 F(i,j) は張力（正）・圧縮（負）のどちらも あり得る。 ● 重量は w(i,j) = l(i,j) × |F(i,j)| ―― 絶対値が登場する。 ● 均衡制約のもとで総重量を最小化する線形計画問題 として、abs 項を区分的線形記法 <<0; -1,1>> で表現 できる。 15 継手のトラス構造と外力の例 継手1〜5と棒の例 区分的線形記法は輸送や生産計画だけでなく、絶対値・逸脱量が現れるあらゆる 線形計画（構造設計、回帰、割当など）に応用できる。 AMPL 第17章 16
まとめ
第17章
1
区分的線形計画問題
<<breakpoint-list; slope-list>> pl-argument
折れ点と傾きをセミコロンで区切って書く AMPL 独自の構文で、区分的線形の費用・罰則を簡潔に表現できる。
2
データ駆動の部分区間数
npiece のような添字パラメータと {p in 1..npiece[i,j]} の添字式で、部分区間数を可変にできる。
3
柔らかい制約・実行不可能性・可逆的活動
少数の折れ点をもつ罰則関数として、超過ペナルティや在庫／受注残の費用を自然にモデル化できる。
4
if/max/abs より <<...>> を
同じ式でも明示的な区分的線形記法にしないと、AMPL は構造を検出できず効率よく解けない。
5
扱いやすさは凸性・凹性で決まる
凸最小化／凹最大化は LP で自動的に解ける。それ以外は整数計画に変換され、部分区間が増えるほど難しくなる。
次章：第18章 非線形計画問題
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第18章 非線形計画問題 滑らかな非線形モデルの記述と、局所最適解に潜む落とし穴 第 18 章 / 全 22 章
AG E N DA 本章の内容 18.1 18.2 18.3 18.4 第18章 非線形性の発生源 仮定の緩和・望みの効果・物理過程という 3 つの経路 非線形変数 初期値の指定と、変数を自動的に代入で除去する機能 非線形の式 滑らかさを保つ書き方と AMPL 組み込み関数・外部関数 非線形計画法の落とし穴 値域違反、複数の局所最適解、その他の失敗の様式 非線形計画問題 2 / 18
18.0 導入 非線形計画問題とは何か • 連続変数（整数・離散ではない）を扱う点は線形計画問題と同 じ • 目的関数・制約の式は線形である必要はないが、「滑らか」で なければならない • 滑らか＝すべての点で連続かつ勾配（1階微分）が一意に定まる こと • 跳躍（不連続）や折れ目（微分不可能）をもつ関数は対象外 なぜ特別扱いされるのか 他の「線形でない」問題と区別しやすく、応用が広く、確立されたアルゴ リズムで解けるため。ただし同程度の線形計画問題より定式化・求解はは るかに難しい。 (a) 滑らかで連続 (b) 不連続 (c) 微分不可能 第18章 非線形計画問題 3 / 18
18.1 非線 形性の 発生源 非線形性が持ち込まれる 3 つの経路 1 2 3 線形性の仮定を外す 望みの効果を構成する 本質的に非線形な過程 輸送費用が数量に比例するといった仮定 を緩め、区分的線形や滑らかな非線形の 費用関数に置き換える 混雑による所要時間の急増など、線形関 数では表せない振る舞いを狙って非線形 関数を設計する パイプラインの圧力と流量の関係など、 物理法則そのものが非線形な現象をその まま定式化する 第18章 非線形計画問題 4 / 18
1 8 .1 例題 （第 1 5章 ne t1 . mod ） 出発点：線形ネットワーク流モデル • 都市 i から j への輸送費用は cost[i,j]、輸送量は Ship[i,j] • LINKS は輸送経路が存在する都市の対の集合 • 各都市でフローが均衡するという制約をもつ • この線形モデルを土台に、非線形の変種を組み立てていく AMPL — net1.mod minimize Total_Cost: sum {(i,j) in LINKS} cost[i,j] * Ship[i,j]; subject to Balance {k in CITIES}: supply[k] + sum {(i,k) in LINKS} Ship[i,k] = demand[k] + sum {(k,j) in LINKS} Ship[k,j]; 線形性の仮定 i から j への輸送は、どの単位も同じ単価 cost[i,j] を要すると仮定してい る。この仮定を緩めることが、非線形化の第一歩になる。 第18章 非線形計画問題 5 / 18
18.1 図18-2 費用関数の形：線形から非線形へ 第18章 (a) 線形：一定の単価 (b) 区分的線形：単価が段階変化 (c) 固定費用：跳躍あり (d) 凹：数量割引に類似 (e) 凸：上限に近づき急増 (f) 凹凸混在 非線形計画問題 6 / 18
18.1 Co st を変 数とし て表す
非線形費用関数の定式化
•
cost[i,j]*Ship[i,j] を非線形の式に置き換えるだけでもよい
•
費用を変数 Cost[i,j] にすると、傾きが数量とともに連続変化する状況を表せる
•
Ship がゼロ近くでは cost1 に近づき、大きくなると cost2 に落ち着く
•
cost1 > cost2 なら図18-2d のような凹の費用曲線が得られる
変数の積 → 非線形
var Cost {ORIG,DEST};
# 単価
var Ship {ORIG,DEST} >= 0; # 輸送量
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST} Cost[i,j] * Ship[i,j];
除算を含む方程式
subject to Cost_Relation {i in ORIG, j in DEST}:
Cost[i,j] =
(cost1[i,j] + cost2[i,j]*Ship[i,j])
/ (1 + Ship[i,j]);
ポイント：
積 Cost[i,j]*Ship[i,j] や比の式は AMPL の線形性の規則を満たさないため「非線形」として扱われる。式そのものは自由に書けるが、意味のある滑らかな関数
になっているかは利用者の責任。
第18章
非線形計画問題
7 / 18
18.1 非線 形の効 果を構 成す る 望みの効果を得る：交通混雑モデル • 所要時間は交通量が少ないうちはほぼ一定 • リンクの容量 cap[i,j] に近づくにつれ無限大へ急増させたい • この振る舞いは線形関数では表現できない • sens[i,j] が両極端の間の形状を左右する 所要時間関数 time[i,j] + (sens[i,j]*Ship[i,j]) / (1 - Ship[i,j]/cap[i,j]) 交差点 a→b→d 、a→c→d を経由する交通流ネットワーク（演習 18-4で詳しく扱う） 常に凸な関数 Ship[i,j] が小さい値のときは time[i,j] にほぼ等しく、cap[i,j] に近づくにつれて無 限大に向かう。図18-2e に似た凸のグラフをもつ。 第18章 非線形計画問題 8 / 18
18.1 区分 的線形 から 2次へ
望みの効果を得る：需要乖離への罰則
•
変数 Discrepancy[k] で実配送量と需要量の乖離を表す（正負どちらも可）
•
乖離が大きくなり過ぎないよう目的関数に罰則項を追加する
区分的線形の罰則
2次の罰則
minimize Total_Cost:
sum{(i,j) in LINKS} cost[i,j]*Ship[i,j] +
sum{k in CITIES}
pen * <<-1,1; 0>> Discrepancy[k];
minimize Total_Cost:
sum{(i,j) in LINKS} cost[i,j]*Ship[i,j] +
sum{k in CITIES}
pen * Discrepancy[k] ^ 2;
乖離が比例的に罰せられるだけで、単位ごとの罰則は一定。大きな乖離を
十分には抑止できない。AMPL はこの目的関数を難なく線形に変換する。
乖離が悪化するほど単位当たりの罰則が着実に増大する。近似・データ当
てはめでよく使われる「2乗和」の典型例。
第18章
非線形計画問題
9 / 18
18.1 物理 法則に 由来す る非 線形性 本質的に非線形な過程：天然ガスパイプライン • 流量 Ship[i,j] に加え、各都市 k の圧力 Press[k] も変数として定 義 • 圧力が高い都市から低い都市へ流れが向かう • c[i,j] はパイプの長さ・直径・効率・ガスの性質で決まる定数 • 圧縮機や弁はさらに別の非線形の流量関係を生む 流量・圧力の関係 Flow[i,j]^2 = c[i,j]^2 * (Press[i]^2 - Press[j]^2) 第18章 非線形計画問題 継手（圧力・取出量をもつ）とパイプ（流量）から成るネットワーク（演習18-8） 物理モデルの非線形性は経済ではなく物理法則・実測から生じるため形は特定 しやすい一方、より複雑な関数形や変数間の相互作用を伴いやすい。 10 / 18
18.2 変数 の初期 値
非線形変数：初期値の重要性
•
solve すると初期値はソルバーへの出発点の推測として渡される
•
初期値を与えなければ AMPL は暫定的にゼロを設定する
•
良い初期値はソルバーの速度だけでなく、見つかる解そのものを左右し得る
宣言時に指定
var Ship {LINKS} >= 0, := 1;
var Ship {(i,j) in LINKS} >= 0,
:= cap[i,j] - 1;
data 文で指定
var Ship:
GARY
CLEV
PITT
FRA
800
800
800
DET
400
800
800
LAN
400
800
800
WIN :=
200
600
200 ;
双対変数にも同様の機能
制約名への代入は、対応する双対変数（ラグ
ランジュ乗数）の初期値として解釈される。
MINOS などのソルバーはこれらを利用できる
。
第18章
非線形計画問題
11 / 18
18.2 変数 の自動 代入 非線形変数：自動代入による変数の除去 • 定義変数（= の左辺に単一の変数をもつ制約）は代入で除去できる • 除去しても変数名は結果の閲覧時に引き続き利用できる • 式を複雑にする代わりに変数・制約の数を減らせる — 効果はモデル次第 方法1：オプション 方法2：= 句で明示 option substout 1; solve; var Cost {(i,j) in LINKS} = (cost1[i,j] + cost2[i,j]*Ship[i,j]) / (1 + Ship[i,j]); # 「定義」制約の条件： # ・左辺に変数がちょうど1つ # ・その変数に上下限等の制限なし # ・既に代入済みの制約に現れない 非線形部分は1つだけ保持し代入先リストを添える（オプション linelim=0 で無効化可）ため、線形項のみが実際に複製される。 第18章 非線形計画問題 12 / 18
18.3 非線 形の式 非線形の式：滑らかさを壊す落とし穴 • AMPL の式構文は自由度が高いため、書けてしまうことと滑らかであることは別問題 • abs・min・max を変数に適用すると一般に滑らかでなくなる • if_then_else も、変数を含む条件を伴うと不連続になりやすい 滑らかでない例① 滑らかでない例② cost[i,j] * abs(Flow[i,j]) if Flow[i,j] = 0 then 0 else base[i,j]+cost[i,j]*Flow[i,j] ゼロで傾きが急変（折れ目） ゼロで値が跳躍（不連続） AMPL は文句を言わない こうした式を使ってもエラーにはならず、ソルバーが「最適解」を返すことさえある。だが結果は誤っている可能性がある。滑らかさの保証はモデ ラーの責任。 第18章 非線形計画問題 13 / 18
18.3 注意 深く書 けば if も滑 らかに なる 非線形の式：滑らかさを保つ工夫 • 流量の符号で向きを表せば、1対の方程式を1つの if 式にまとめられる • Flow=0 で2つの2次関数が滑らかに「出会う」ため結果は滑らか 対称的な if の活用 特異点の回避 (if Flow[i,j] >= 0 then Flow[i,j]^2 else -Flow[i,j]^2) = c[i,j]^2*(Press[i]^2-Press[j]^2) if abs(Flow[i,j]-1) > 0.00001 then log(Flow[i,j])/(Flow[i,j]-1) else 1.5 - Flow[i,j]/2 Flow[i,j]の符号で i→j／j→i の向きを判定。定数 c[i,j]=c[j,i] を利用し1本の制約 に統合できる。 log(x)/(x-1) は x=1 で 0/0 になりエラー。厳密には滑らかでなくても、数値的 には十分滑らかな線形近似に置き換える。 第18章 非線形計画問題 14 / 18
18.4 非線 形計画 法の落 とし 穴
落とし穴①：関数の値域違反
•
rate*Trans/(1-Trans/limit) を最小化する非線形輸送モデルで発生
•
ソルバーが Trans[i,j] = limit[i,j] を許し、ゼロ除算でエラー
•
出発点を変えても Trans が limit を超え、目的関数が -10¹⁸ 規模に発散
amplsession
ampl: solve;
MINOS 5.5 Error evaluating objective Total_Cost
can't compute 8000/0
MINOS 5.5: solution aborted.
修正：上限を課す
var Trans {i in ORIG, j in DEST}
>= 0, <= .9999 * limit[i,j];
# 修正後 → optimal solution found
教訓
非線形関数は変数の意図した範囲の外では非常に悪い振る舞いをし得る。特異点（limit[i,j]）から十分に遠ざける上限（.9999倍）を明示的に与える必要があ
る。
第18章
非線形計画問題
15 / 18
18.4 局所 最適解 と大域 最適 解 落とし穴②：複数の局所最適解 • Trans^0.8 を導入すると凹凸混在の費用曲線になる • 出発点 alpha=0.5 → 目的値 355,438 ／ • どちらも局所最適だが、大域最適とは限らない alpha=0 → 目的値 427,568 355,438 目的関数の凸性＋制約の線形性が揃えば局所最適＝大域最適が保証さ れる • 427,568 alpha = 0.5 の最良解 alpha = 0 の局所解 alpha を変えたときの Total_Cost（一部抜粋） α=0.0 α=0.2 α=0.5 α=0.6 α=0.9 α=1.0 427568.1 366791.2 355438.2 356531.5 402795.3 365827.2 複数の出発点を系統的に試し、最良の解を採用する — 大域最適化の単純 だが実用的な方法。より高度な手法は探索の順序をより体系立てて行う。 第18章 非線形計画問題 16 / 18
18.4 実務 上の注 意 その他の落とし穴と実務のコツ 第18章 非線形性は制約より目的関数へ 変数のスケールを揃える 自動代入オプションを使い、可能なら非線形性を目的関数 側に集める 値がせいぜい2〜3桁しか違わないよう単位を選ぶ。桁違い はソルバーを誤誘導する 現実的な上下限を課す 解けたら上下限を確認 定常点・符号の取り違え・偽の実行不可能宣言を防ぎ、成 功の見込みを高める 「安全のための」上下限に解が達していないか確認し、達 していれば緩めて解き直す 非線形計画問題 17 / 18
第18章の ポイン ト まとめ 1 滑らかさが鍵 2 3つの発生源 3 初期値と自動代入 4 滑らかさを壊さない書き方 5 局所最適 ≠ 大域最適 次章：第19章へ続く 非線形計画問題の対象は連続かつ勾配が一意に定まる「滑らか」な関数に限られる 仮定を外す・望みの効果を構成する・本質的な物理過程という3経路で非線形性が生じる 良い初期値はソルバーの成否を左右し、定義変数は代入で除去してモデルを整理できる abs・if_then_else の乱用に注意し、対称的な if や近似で滑らかさを保つ 値域違反や複数の局所最適解に注意し、複数の出発点や適切な上下限で対処する 18 / 22
⇄ AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 complements 演算子で経済均衡・ゲーム理論の相補性条件をモデル化する 全22章シリーズ 第19回
目 本章の内容 相補性の発生源 19.1 経済均衡モデル、生産経済学の相補性形式、上下限・価格依存需要への拡張、他の応用 相補性制約の形式 19.2 complements 演算子の一般定義（単一不等式の対／二重不等式と式） 相補性制約を扱う 19.3 関連する解の値（接尾辞）、前処理（presolve）、制約の総称的な同義語 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 2
⇄ 相補性問題とは 19.1 相補性の発生源 • さまざまな物理的・経済的現象は、2つの不等式制約が「相補的」— —少なくとも一方が等号で成り立つ——であることを要求する形で最 も自然にモデル化される。 相補性条件 • 最適化は相補性の特殊な場合とみなせる。線形・非線形計画の標準 的な最適性条件そのものが相補性問題である。 x • しかし他の相補性問題は最適化から生じるとは限らず、最適化問題 として便利に定式化できないこともある。 • AMPL の complements 演算子は、制約宣言の中で相補性条件を直接記 述できるようにする。 ≥ 0 complements f(x) ≥ 0 → 両方成立、かつ少なくとも 一方は等号で成立 x = 0 または f(x) = 0 （あるいは両方） AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 3
$
生産経済学の最小費用モデル
19.1
生産経済学の相補性モデル
• 決定変数 Level[j]：活動 j の生産水準
• 目的関数：総生産費用 Total_Cost の最小化
• 制約 Demand：各製品の総産出が需要を満たす
図19-1
econmin.mod（生産費用最小化モデル）
set PROD; set ACT;
param cost {ACT} > 0;
param demand {PROD} >= 0;
param io {PROD,ACT} >= 0;
var Level {j in ACT} >= 0;
minimize Total_Cost:
sum {j in ACT} cost[j]*Level[j];
subject to Demand {i in PROD}:
sum {j in ACT} io[i,j]*Level[j]
>= demand[i];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
実行結果（CPLEXで solve）
ampl: model econmin.mod;
ampl: data econ.dat;
ampl: solve;
CPLEX 8.0.0: optimal solution;
objective 6808640.553
ampl: display Level;
Level [*] :=
P1a 1555.3
P3
147.465
P3c 1889.4
(他は 0)
双対値（制約 i の「価格」）
ampl: display Demand.dual;
AA1 16.7051
AC1 5.44585
BC1 57.818
BC2 0
NA2 0
NA3 0
4
≡ 最適化から均衡へ：2つの要件 19.1 変数 Level[j] に加え変数 Price[i] を導入 ① 価格と需給の相補性 ② 水準と価値の相補性 各製品について、総産出は需要を満たさなければならず、 価格は非負でなければならない。生産が需要を上回るとこ ろでは価格はゼロ、価格が正であれば産出は需要に等しい 。 各活動について、産出の総価値は単位費用を超えられない 。費用が総価値を上回るところでは活動はゼロ、活動が正 であれば総価値は費用に等しい。 この2組の相補性条件をまとめると「正方」相補性問題になる（変数数＝相補性関係数）。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 5
① complements 構文：価格と需給 各製品 i について Pri_Compl 制約を定義 AMPL 記述 subject to Pri_Compl {i in PROD}: Price[i] >= 0 complements sum {j in ACT} io[i,j] * Level[j] >= demand[i]; • 2つの不等式が complements で結ばれるとき、両方が成り立ち、少なくとも一方は等号で成り立つ。 • この例は集合 PROD で添字づけられているため、製品ごとにこの相補性関係が設定される。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 6
②
complements 構文：水準と総価値
各活動 j について Lev_Compl 制約を定義
AMPL 記述
subject to Lev_Compl {j in ACT}:
Level[j] >= 0 complements
sum {i in PROD} Price[i] * io[i,j] <= cost[j];
活動 j の1単位あたりの総価値 = sum{i in PROD} Price[i]*io[i,j] が費用 cost[j] を超えない。
正方（square）相補性問題
変数の数 ＝ 相補性関係の数（＝活動数＋製品数）
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
7
▷
均衡モデルの実行（PATH ソルバー）
図19-3 econ.mod
econ.mod（Pri_Compl と Lev_Compl）
var Price {i in PROD};
var Level {j in ACT};
subject to Pri_Compl {i in PROD}:
Price[i] >= 0 complements
sum {j in ACT} io[i,j]*Level[j]
>= demand[i];
subject to Lev_Compl {j in ACT}:
Level[j] >= 0 complements
sum {i in PROD} Price[i]*io[i,j]
<= cost[j];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
実行結果
ampl: model econ.mod;
ampl: data econ.dat;
ampl: option solver path;
ampl: solve;
Path v4.5: Solution found.
7 iterations; 33 pivots.
ampl: display
sum{j in ACT} cost[j]*Level[j];
= 6808640
→ LP最小費用解と一致。
Price は Demand.dual と一致。
8
⇕
上下限をもつ変数への拡張
level_min[j] <= Level[j] <= level_max[j]
混合相補性条件（二重不等式）
subject to Lev_Compl {j in ACT}:
level_min[j] <= Level[j] <= level_max[j] complements
cost[j] - sum {i in PROD} Price[i] * io[i,j];
費用 ＞ 総価値
水準は下限に達する（level_min）
費用 ＝ 総価値
水準は上下限の間にある
費用 ＜ 総価値
水準は上限に達する（level_max）
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
9
▷ 上下限付きモデルの実行結果 図19-4 econ2.mod を PATH で解く 実行結果（display level_min, Level, level_max） ampl: model econ2.mod; ampl: data econ2.dat; ampl: option solver path; ampl: solve; Path v4.5: Solution found. 9 iterations; 8 pivots. ampl: display level_min, Level, level_max; : level_min Level level_max := P1 240 240 1000 P1a 270 1000 1000 P2 220 220 1000 P2a 260 680 1000 P2b 200 200 1000 P3 260 260 1000 P3c 220 1000 1000 P4 240 240 1000 ; 結果は、図19-1の変数に同じ上下限を課したLPの解と一致する。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 10
価格に依存する需要への拡張
19.1
LP に等価でない相補性問題
• 需要を固定とせず、価格の減少関数とみなす方が現実的。
• 線形の場合：demzero[i] − demrate[i]*Price[i]
• Price[i] が complements の両側に現れるため、等価な LP は存
在しない。
図19-5
econnl.mod（抜粋）
subject to Pri_Compl {i in PROD}:
Price[i] >= 0 complements
sum{j in ACT} io[i,j]*Level[j] >=
demzero[i] - demrate[i]*Price[i];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
実行結果（PATH）
ampl: model econnl.mod;
ampl: data econnl.dat;
ampl: option solver path;
ampl: solve;
Path v4.5: Solution found.
11 iterations; 11 pivots.
ampl: display Level;
Level [*] :=
P1
240
P2a 260
P1a
710.156 P2b 200
P2
220
P3
260
P3c
939.063 P4 240
;
→ 需給均衡が生産水準を
押し下げる。
11
◇ 他の相補性モデルと応用 19.1 M 経済均衡以外の相補性問題 MPEC（均衡制約付き数理計画） 目的関数を追加し、等式・不等式・相補性制約を混在させる。解法はまだ実験的段階。 物理系の均衡 力の均衡条件のモデル。相補性制約は2物体の接触／非接触の離散化を表す。 ゲーム理論（ナッシュ均衡） バイマトリクスゲームのナッシュ均衡は相補性条件で特徴づけられる（各手の確率と期待利得）。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 12
⧉ 相補性制約の一般形式 19.2 complements 演算子の構文 ① 単一不等式どうし single-inequality complements single-inequality ; 両方の不等式が成り立ち、少なくとも一方が等号で成り立つときに満たされる。 ② 二重不等式と式（混合相補性） double-inequality complements expression ; expression complements double-inequality ; • 下側 <= または右側 >= が等号 → 式は 0 以上 • 上側 <= または左側 >= が等号 → 式は 0 以下 • どちらの側も等号でない → 式は 0 に等しい AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 13
▤ 解に関連する値：接尾辞 19.3 cname.Lsuf ／ cname.Rsuf ／ cname.slack • cname.Lsuf と cname.Rsuf は complements の左オペランド・右オ ペランドに対応。 • cname.slack は、単一不等式の対では Lslack と Rslack の小さい方 。両方満たされていれば非負、厳密に相補性が成り立てば 0。 • 接尾辞なしで cname が現れると cname.slack と解釈される。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 display Lev_Compl.Llb, .Lbody, .Rbody, .Rslack ampl: display Lev_Compl.Llb, ampl? Lev_Compl.Lbody, ampl? Lev_Compl.Rbody, ampl? Lev_Compl.Rslack; : Llb Lbody Rbody Rslack := P1 240 240 1392.86 Infinity P1a 270 1000 -824.286 Infinity P2 220 220 264.286 Infinity P2a 260 680 5.00e-12 Infinity ; 14
⚑ 前処理（presolve）による簡単化 19.3 相補性制約特有の簡単化 option show_stats 1 の出力 Presolve eliminates 16 constraints and 2 variables. Presolve resolves 2 of 14 complementarity conditions. Adjusted problem: 12 variables, all linear 12 constraints, all linear 12 complementarity conditions 28 14 _ncons _nccons 12 12 _sncons _snccons 需要が最小産出量を常に下回らない製品（NA2・NA3）では Price を 0 に固定し、問題から除去できる。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題 15
⌂
制約の総称的な同義語
19.3
con → ccon への置き換え
モデル作成者の視点（前処理前）
_nccons
相補性制約の数
_cconname 相補性制約の名前
_ccon
相補性制約の同義語
各相補性制約 cname は
cname.L と cname.R の2つの
通常制約に展開される。
ソルバーの視点（前処理後・標準形）
expr complements
lbound <= var <= ubound
expr <= 0 complements var <= ubound
expr >= 0 complements lbound <= var
solexpand で送信形を確認できる
expand Pri_Compl['AA1'] の結果（例）
subject to Pri_Compl['AA1']:
Price['AA1'] >= 0
complements
60*Level['P1'] + 8*Level['P1a'] + ... >= 70000;
→ _con[1] = "Pri_Compl['AA1'].L"、_con[2] = "...R"
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第19章 相補性問題
16
✓ まとめ 1 相補性条件は「2つの不等式のうち少なくとも一方が等号で成立」を表す自然なモデル化手段であり、最適化の最適性条件もその 特殊例である。 2 3 4 5 AMPL の complements 演算子は、単一不等式どうし、あるいは二重不等式と式という2つの構文で相補性制約を宣言できる。 経済均衡モデルでは、価格と需給、活動水準と総価値のあいだの相補性が「正方」相補性問題を構成し、PATH ソルバーで解ける 。 上下限をもつ変数や価格依存の需要関数への拡張により、LP に等価でない相補性問題も自然に表現できる。 接尾辞（.Lbody, .Rbody, .slack）、前処理、総称的な同義語（_ccon 等）により、相補性制約も通常の制約と同様に扱える。 次章：第20章へ続く 17
Z AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 整数変数と0-1（二値）変数で、分割できない実体や論理条件をモデル化する 全22章シリーズ 第20回
目 本章の内容 整数変数 20.1 var 宣言に integer キーワードを加える。飲食モデルを例に、LP解と整数解の違いを見る 0-1変数と論理条件 20.2 binary 変数で固定費用・最小輸送量・カーディナリティ制限などの論理条件を表現する 整数計画法における実務上の考慮事項 20.3 整数計画問題の難しさ、変数を絞る工夫、緩和をタイトにする再定式化 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 2
≈ 整数計画問題とは 整数解が自然に得られる場合と、明示的に強制すべき場合 LPがたまたま整数解を返す場合 整数性を明示的に強制すべき場合 第15.5節のネットワーク線形計画問題では整数最適解が保証 される。変数の数が制約の数を大きく上回る問題では、多く の変数が上下限にとどまる「極」解が得られ、たまたま整数 値になりやすい（図16-4・16-5のスケジューリング問題）。 そうした保証がない状況は数多く残る。整数計画法ソルバー は線形計画法ソルバーよりはるかに難しい問題に直面し、よ り多くの計算時間・メモリと、定式化やオプション選択にお ける利用者の助けを必要とする。 本章ではまず整数変数の宣言を説明し、次に論理条件をモデル化する0-1変数の使い方を紹介する。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 3
Z
整数変数の宣言
20.1
var 宣言に integer キーワードを加える
• var 宣言の限定句に integer を加えることで、宣言する変数を整
数値に制限できる。
• 例：第2.3節の飲食モデルの元のLP最適解では、BEEF が5.36061
、SPG が9.30605という端数の購入量になった。
var 宣言に integer を追加（dieti.mod）
var Buy {j in FOOD} integer
>= f_min[j], <= f_max[j];
• 食品を整数量で購入したいなら、var 宣言（図2-1）に integer を
加える。
元のLP最適解（display Buy 抜粋）
ampl: solve;
MINOS 5.5: optimal solution found.
13 iterations, objective 118.0594032
ampl: display Buy;
Buy [*] :=
BEEF
5.36061
MCH 10
CHK 2
MTL 10
FISH
2
SPG
9.30605
HAM 10
TUR
2
;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
4
▷ 整数解を求める MINOSは整数性を無視する → 整数対応のソルバーに切り替える MINOSは整数制約を無視する CPLEXに切り替えて解く ampl: model dieti.mod; ampl: data diet2a.dat; ampl: solve; MINOS 5.5: ignoring integrality of 8 variables. 13 iterations, objective 118.0594032 最小費用 118.06 ドル（LP） ampl: option solver cplex; ampl: solve; CPLEX 8.0.0: optimal integer solution; objective 119.3 11 MIP simplex iterations 1 branch-and-bound nodes → 119.30 ドル（整数） 整数性は追加の制約であるため、目的関数はより不利な方向にしか動かない。BEEFは5.36061→9、SPGは9.30605→7、HAMは10→8に変化。 非整数最適解を最も近い整数値に丸めるだけでは、整数最適解を常に導き出せるわけではない。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 5
B 0-1変数と論理条件 20.2 マルチコモディティ輸送モデルに戻る • 値として0と1だけをとる変数は整数変数の特別な場合。「0-1」変数、ある いは「二値」変数と呼ぶ。 • 目的関数や制約に巧みに組み込むことで、線形制約だけでは実用的な形で 記述できないさまざまな論理条件を指定できる。 • 図4-1のマルチコモディティ輸送モデルに戻る。Trans[i,j,p] は発地 i から着地 j への製品 p の輸送トン数。 • 純粋なLPでは多くの発着対の間で少量の輸送を許してしまう → 0-1変数でこ れを抑止する方法を導入する。 LP最適解（線形計画） 199,500 総変動輸送費用（ドル） 41 iterations で最適解に到達。マルチコモディ ティ上限 625 に達する経路が6つ、100トン以下 の少量輸送も残る。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 6
$
固定費用の導入
経路ごとの固定費用を目的関数に加える
パラメータと0-1変数の宣言
param vcost {ORIG,DEST,PROD} >= 0;
# variable cost on routes
param fcost {ORIG,DEST} > 0;
# fixed cost on routes
var Use {ORIG,DEST} binary;
# =1 only for routes used
目的関数（線形の式として書ける）
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST,
p in PROD}
vcost[i,j,p] * Trans[i,j,p]
+ sum {i in ORIG, j in DEST}
fcost[i,j] * Use[i,j];
• Use[i,j] は下限0・上限1の整数と言ってもよいし、同じことだがキーワード binary を使ってもよい。
• 連続（非整数）変数と整数変数を組み合わせるため、いわゆる「混合整数」計画問題になる。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
7
⇄ Use と Trans を結びつける制約 Multi制約を修正して Use 変数を組み込む Multi制約の修正 subject to Multi {i in ORIG, j in DEST}: sum {p in PROD} Trans[i,j,p] <= limit[i,j] * Use[i,j]; Use[i,j] = 0 sum Trans[i,j,p] <= 0 → 輸送量は0でなければならない（非負変数の和のため） Use[i,j] = 1 sum Trans[i,j,p] <= limit[i,j] → 以前と同じマルチコモディティ上限 fcost[i,j] が正である限り、最適解では Use[i,j] は輸送量が正であるとき、かつそのときに限り 1 になる。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 8
M
完全なモデル：multmip1.mod
図20-1a 固定費用付きマルチコモディティモデル
set ORIG; set DEST; set PROD;
param supply {ORIG,PROD} >= 0;
param demand {DEST,PROD} >= 0;
param limit {ORIG,DEST} >= 0;
param vcost {ORIG,DEST,PROD} >= 0;
var Trans {ORIG,DEST,PROD} >= 0; # units to be shipped
param fcost {ORIG,DEST} >= 0;
# fixed cost for using a route
var Use {ORIG,DEST} binary;
# = 1 only for routes used
minimize Total_Cost:
sum {i in ORIG, j in DEST, p in PROD} vcost[i,j,p] * Trans[i,j,p]
+ sum {i in ORIG, j in DEST} fcost[i,j] * Use[i,j];
subject to Supply {i in ORIG, p in PROD}:
sum {j in DEST} Trans[i,j,p] = supply[i,p];
subject to Demand {j in DEST, p in PROD}:
sum {i in ORIG} Trans[i,j,p] = demand[j,p];
subject to Multi {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p] <= limit[i,j] * Use[i,j];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
9
▷ 固定費用モデルの実行結果 図20-1bのデータ（multmip1.dat）を用いて解く 199,500 223,504 229,850 LP （固定費用なし） 整数性を無視 （MINOS、Useが端数） 真の整数最適解 （CPLEX） CPLEXによる整数解の探索 ampl: option solver cplex; solve; CPLEX 8.0.0: optimal integer solution; objective 229850 295 MIP simplex iterations 19 branch-and-bound nodes 整数制約を課すと総費用は223,504ドルから229,850ドルへ増加する一方、望んでいた通り使われない経路の数は0から7に増える。 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題 10
≥
ゼロまたは最小量の制限
Min_Ship 制約 — 輸送するなら minload 以上
AMPLは制約の中で論理演算子 or を受け付けない
subject to Min_Ship {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p] = 0 or
sum {p in PROD} Trans[i,j,p]
>= minload;
# NOT ALLOWED
Use[i,j] を使った正しい定式化
subject to Min_Ship {i in ORIG, j in DEST}:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p]
>= minload * Use[i,j];
Use[i,j] が1なら最小輸送量制約になり、Use[i,j] が0なら 0 >= 0 に帰着して何の効果ももたない。
minload = 375 で解くと、目的関数は 233,150 ドル（+1.4%）
CPLEX 8.0.0: optimal integer solution; 279 MIP simplex iterations, 17 branch-and-bound nodes
使われない経路数は依然7つだが、同じ経路ではない。最小輸送量を満たすため解の実質的な組み換えが必要になった。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
11
#
カーディナリティの制限
Max_Serve 制約 — 発地ごとの配送先数を制限
変数で定義される集合は制約の card に使えない
subject to Max_Serve {i in ORIG}:
card {j in DEST:
sum {p in PROD} Trans[i,j,p]
> 0} <= maxserve;
# NOT ALLOWED
Use[i,j] を使った正しい定式化
subject to Max_Serve {i in ORIG}:
sum {j in DEST} Use[i,j]
<= maxserve;
sum {j in DEST} Use[i,j] は発地 i が配送する着地の数を表す。maxserve = 5 として解く。
固定費用のみ
229,850 ドル ／ 未使用経路 7
+ 最小輸送量（minload = 375）
233,150 ドル （+1.4%）
+ カーディナリティ（maxserve = 5）
235,625 ドル （+1.1%）
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
12
⚑
整数計画法の実務上の考慮事項
20.3
!
整数計画法における実務上の考慮事項
整数計画問題ははるかに解くのが難しい
同じ規模のLPよりずっと難しい。反復回数の目安：線形版の41回に対し、混合整数版は約280～400回。計算時間も同様に増大する。
≪
整数変数は少なく、上下限は厳しく
問題規模が増すと整数計画法の難しさは急速に増大する。連続な線形・ネットワーク定式化で十分でないか、まず検討すべきである。
R
緩和がタイトになるよう再定式化する
個々の Trans[i,j,p] を Use[i,j] に連動させる制約を追加すると、LP緩和での Use[i,j] が1に近づき、整数最適解を速く見つける助けになる。
再定式化の例：Avail制約（緩和をタイトにする）
subject to Avail {i in ORIG, j in DEST, p in PROD}:
Trans[i,j,p] <= min(supply[i,p],demand[j,p]) * Use[i,j];
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 第20章 整数線形計画問題
13
✓ まとめ 1 整数変数は var 宣言に integer を、0-1（二値）変数は binary を加えて宣言する。パッケージや人など分割できない実体や、論理条件の モデル化に使われる。 2 LPソルバーがたまたま整数解を返すこともあるが（ネットワーク構造、極解など）、保証がない場合は整数計画法ソルバー（CPLEXな ど）に明示的に切り替える必要がある。 3 0-1変数 Use[i,j] を輸送量に連動させる制約（Trans <= limit*Use）により、固定費用・最小輸送量・カーディナリティ制限といった論理条 件を線形制約として表現できる。 4 5 整数制約は目的関数をより不利な方向にしか動かせず、非整数解を丸めるだけでは整数最適解を得られない。 整数計画問題はLPよりはるかに解くのが難しい。少ない整数変数・厳しい上下限・緩和をタイトにする再定式化・実験的な試行錯誤が 成功への鍵となる。 次章へ続く 14
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 §A 付録A AMPLリファレンスマニュアル クイックリファレンス ― 字句規則から起動オプションまで、全23節の構文早見 23 節 14 全22章 表 (A-1〜A-14) Fourer, Gay, Kernighan 著 シリーズ最終回 日本語版
目 付録Aの構成 ― 23節を5カテゴリーで整理 アジェンダ 本編の概念解説に対し、付録 Aは逐条的な文法リファレンス。カテゴリー別に要点を凝縮する。 字句・式編 字 4節 字句規則 / 集合のメンバー / 添字式と下付き添字 / 式 宣言編 宣 7節 モデル実体の宣言 / 集合 / パラメータ / 変数 / 制約 / 目的関数 / 接尾辞記法 データ編 デ 2節 標準データ形式 / データベースへのアクセスと表 コマンド編 コ 7節 コマンド概観 / リダイレクト / 印字と表示 / データ読込 / モデル化コマンド / モデル検査 / 制御フロー 環境・拡張編 環 3節 計算機環境 / インポートされる関数 / AMPLの起動 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 2
字
字句規則
A.1
名前・数値定数・リテラル・コメント・予約語・演算子の同義語
▪ 名前: Unicode文字・数字・下線からなる英数字。大文字小文字を区別
演算子の同義語 (左が推奨形)
▪ 数値定数: 標準の科学的記法。指数部は d/D/e/E のいずれでも可
^
**
べき乗
▪ リテラル: ' または " で区切る文字列。区切り文字はそれを二重にして
エスケープ
=
==
等号
<>
!=
不等号
▪ 文はセミコロンで終わる。空白(スペース・タブ・改行)は自由に置け
る
and
&&
論理積
not
!
論理否定
▪ コメント: # から行末まで、または /* ... */ (入れ子不可)
or
||
論理和
▪ 予約語(約44語)は他の用途に使えない。それ以外のキーワードは再定
義可能
prod
product
総乗の縮約演算子
予約語の例
リテラル・コメント
1.23D-45
# 科学的記法(d/D/e/Eは同義)
'x''y'
== x'y
# 引用符の二重化でエスケープ
set prod;
# 事前定義語 prod を再定義
# コメントは行末まで
/* 複数行のコメント */
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
if
then
else
while
sum
forall
exists
in
within
union
integer
symbolic
3
添
集合のメンバー / 添字式と下付き添字
A.2–A.3
集合はメンバーの重複しない順序付きリスト。添字式はダミーメンバーで反復範囲を指定する
集合リテラル
よく使う添字式パターン
パターン集
{"a","b","c"}
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{("a",2),("a",3),("b",5)}
# 1次元
# 多次元(タプル)
下付き添字 と 添字式の構文
{A}
{i in A, j in B}
{i in A, C[i]}
{i in A: p[i] > 0}
{i in A, (j,k) in D: i<=j}
# Aの全要素
# A×B の全ペア
# Aと C[i] の組
# such that (条件選択)
# 多次元集合との組合せ
# ダミー添字の有効範囲は宣言/式の終わりまで
cost[j, p[k]+1, "O+"]
indexing: { sexpr-list [ : lexpr ] }
sexpr-list: dummy-member in sexpr , ...
集合は 0 個以上のメンバーからなり、各メンバーは同じ成分数(=次元)をもつ。
1 と 0.01E2 のように浮動小数点として同じ値に丸まる数値メンバーは同一視される。
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
4
式
式 (1) — 演算子と優先順位
A.4
算術式 expr・論理式 lexpr・集合式 sexpr の3種類。表A-1は16段階の優先順位を規定
3種類の式
優先順位(抜粋・低い順)
expr (A)
算術式。変数を含んでよい
1
cexpr
変数を含まない「定数式」
2–4 or/exists/and
lexpr (L)
真偽を返す論理式
5
sexpr (S)
集合を返す式
8–10 union/inter/cross 集合演算
式の例
sum {i in Prod} cost[i] * Make[i]
if x > 0 then 1 else 0
A union B
A diff B
A inter B
1 .. 10 by 2
# 等差数列の集合
setof {i in A} (i, i^2)
# 集合構成子
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
if-then-else
比較演算子
A/S、else省略時は 0
論理和・論理縮約・論理積
< <= = <> >= >
12
+ - less
a less b = max(a-b,0)
13
sum prod min max
算術縮約演算子
16
^
べき乗(右結合)
**
5
関 式 (2) — 組込み関数と区分的線形項 A.4 算術・文字列・乱数の組込み関数(表A-2〜A-4)、および区分的線形項の構文 算術関数 区分的線形項 abs sqrt exp log log10 ceil floor round(x,n) trunc min/max << breakpoints ; slopes >> var << 0,10 ; -1,0,1 >> x # 折れ点;傾き 文字列・正規表現関数 s & t length substr sprintf match sub gsub num num0 char 乱数生成関数 Uniform01() Uniform(m,n) Normal(μ,σ) Poisson(μ) Exponential() Gamma(a) Beta(a,b) Irand224() 正規表現の主なメタ文字 . 任意の1文字 [a-z0-9] 文字クラス r* r+ ^r r$ r1|r2 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル r? 0回以上・1回以上・0または1回 先頭一致・末尾一致 選択(または) 6
集 モデル実体の宣言 / 集合の宣言 A.5–A.6 全実体は共通の宣言形式に従う。集合は dimen / within / = / default の属性をもつ 共通形式 entity name alias_opt indexing_opt body_opt ; entity: set param var arc minimize maximize subject to node 順序付き集合 ordered / circular set S ordered [ by [reversed] sexpr ]; set S circular [ by [reversed] sexpr ]; next(e,S,k) member(j,S) prev(e,S,k) first(S) ord(e,S) card(S) last(S) 集合宣言の属性 dimen n 次元を明示 within sexpr 部分集合であることを要求(複数可) = sexpr 値を確定(データ節で変更不可) default sexpr データ未指定時の既定値 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 推移閉包の例 set nodes; set arcs within nodes cross nodes; param n := card(nodes)-1; # card(s)=要素数 set reach = ...; # 再帰的な集合定義 7
P
パラメータの宣言
A.7
param name alias_opt indexing_opt attributes_opt ; / check 文と Infinity
再帰的な定義 と Infinity
属性
binary / integer
0,1に制限 / 整数に制限
symbolic
文字列も許容(比較演算子属性は不可)
relop expr
< <= = >= > による制約検査
in sexpr
所属する集合を検査
= expr / default expr
値を確定 / 既定値(互いに排他)
check文
check [ indexing_opt : ] lexpr ;
check {i in A}: p[i] >= 0;
# solve/write等で評価
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
param comb {n in 0..N, k in 0..n} =
if k=0 or k=n then 1
else comb[n-1,k-1] + comb[n-1,k];
# 以前に計算された値だけを参照すれば再帰可
Infinity
param Ub{A} default Infinity;
param Lb{A} default -Infinity;
var V {i in A} >= Lb[i], <= Ub[i];
8
V
変数の宣言
A.8
var name alias_opt indexing_opt attributes_opt ; / 定義変数と弧(arc)
主な属性
定義変数のポイント
binary / integer
0,1に制限 / 整数に制限
▪ option substout=1 で、定義制約の左辺変数を共通部分式として除去
>= expr / <= expr
下限 / 上限
▪ 整数性・上下限などの制約を持つ変数は定義変数になれない
:= expr / default
初期値 / 既定初期値(排他)
= expr
定義変数(他の属性と併用不可)
coeff / obj / cover
列方向の係数生成
suffix sufname expr
接尾辞の初期値
▪ option linelim=1(既定)で線形の定義変数を特別扱い
arc宣言
var x {J} >= 0, <= 100, integer;
var w = 2*x[1] + x[2];
# 定義変数(名前付き部分式)
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
arc F {(i,j) in ARCS} >= 0, <= cap[i,j],
from node[i], to node[j];
# from/to は node制約に係数を寄与
9
制
制約の宣言 / 目的関数の宣言
A.9–A.10
[subject to] name : expr ; / minimize|maximize name : expr ; / 相補性制約
制約の形式
[subject to] name indexing_opt
[:= initial_dual] [default d] [: expr] ;
expr: e<=e | e=e | e>=e | c<=e<=c | c>=e>=c
相補性制約
name : constr1 complements constr2 ;
expr4 complements lb <= var <= ub
目的関数の形式
minimize Cost: sum {j in J} cost[j]*x[j];
maximize Profit: to_come;
# 列方向の係数生成
▪ constr1・constr2 は合計2個の不等式演算子を含む(=は2個と数える)
▪ 両方が成り立ち、少なくとも一方が等式で満たされるとき充足
▪ 均衡制約付き数理計画(MPEC)の表現に使う。他の制約・目的関数と共存可能
▪ 同義語 _scvar[i] がどの変数がどの制約に相補するかを示す
ノード制約 (net_in / net_out)
node Bal {i in NODES}: net_in = net_out;
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10
尾 補助的な値のための接尾辞記法 A.11 name.suffix で変数・制約・目的関数の付随値にアクセス(表A-6〜A-8) 変数の接尾辞(抜粋) 制約の接尾辞(抜粋) .lb .ub 下限・上限 .body 制約本体の値 .val 現在の値 .dual 双対変数 .rc 換算費用 .slack スラック .status ステータス .lb .ub 下限・上限 suffix宣言(方向) suffix name alias_opt attributes_opt ; suffix priority IN, integer; direction: IN | OUT | INOUT | LOCAL (既定 INOUT) AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 目的関数の接尾辞 .val 目的関数の現在値 display x.lb, x.ub, x.rc; display Balance.dual; ステータス接尾辞 ▪ .sstatus: ソルバーが返す基底情報 (次のsolveで再利用) ▪ .astatus: AMPLのdrop/restore・fix/unfixの状態を反映 ▪ .status: .astatus と .sstatus から導かれる総合ステータス 11
デ 標準データ形式 (1) — 集合のデータ A.12 data節はキーワード・リテラル・数・区切り文字からなる書式自由なトークン列 1次元・タプル集合 data; set A := a b c; # 1次元(引用符省略可) set B := "x y" z; # 空白を含む文字列は引用符 set PAIR := (a,1) (a,2) (b,3); 2次元集合(表形式) set PAIR : b1 b2 b3 := a1 + + a2 + - ; # 行=第1添字, 列=第2添字, + は所属, - は非所属 集合データ文の一般形 set set-name := set-spec set-spec ... ; set-template: ( templ-item, ... ) templ-item: object | * | : ▪ テンプレートの * にオブジェクトが左から代入される ▪ テンプレート省略時は全て * (集合の次元数分)が仮定される ▪ (tr) を付けると表が転置され、行と列の役割が入れ替わる ▪ 添字付き集合は成分ごとに別々のデータ文で与える ▪ データの書式(改行・空白)は人間の可読性のためで、AMPL自体は無視する AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 12
P
標準データ形式 (2) — パラメータのデータ
A.12
param param-name := value-list|value-table ; / 複数パラメータの同時定義
1次元(リスト形式)
param表の要点
param cost :=
a1 10
a2 20 ;
▪ テンプレートは丸括弧でなく角括弧 [ * , * ] で与える
▪ 2次元表は +/- でなく数値(記号パラメータはリテラル)を格納
▪ default r 句で、値未指定のパラメータに既定値を一括付与
▪ 「.」は欠損値。default指定があればその値に解決される
▪ var name はデータ節では param の同義語(変数の初期値指定に使用)
複数同時定義
param: DEMAND: d cost :=
chi
200
1.5
den
150
2.1 ;
# 集合DEMANDと複数パラメータを同時定義
var x {J} := 0;
param p {A} default 0 := a1 5, a2 . ;
# 初期値もparamと同じ書式で指定可
# . は欠損値→既定値
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
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表
データベースへのアクセスと表
A.13
table宣言は外部リレーショナルテーブルの列と AMPLの集合・パラメータを接続する
table宣言の形式
table table-name indexing_opt in-out_opt
string-list_opt :
key-spec, data-spec, data-spec, ... ;
in-out: IN | OUT | INOUT
(既定 INOUT)
使用例
table Orders IN "ODBC" (dsn="mydb"):
[ORD] ORD ~ id, Qty ~ qty;
read table Orders;
# 外部→AMPL
write table Orders;
# AMPL→外部
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
キー列とデータ列
key-name
ダミー添字と列名を兼用
key ~ col
ダミー添字keyを列colに対応付け
param ~ col
AMPL名を外部列名に対応付け
<- -> <->
読込/書出/双方向の向き
▪ 組込みハンドラは .tab / .bit ファイルの読み書きに対応
▪ DB・スプレッドシート接続には別途ハンドラの導入が必要
▪ 組込み集合 _HANDLERS が利用可能なハンドラ名を列挙
14
＞ コマンド言語の概観 A.14 モデルモード / データモードの2モード。option コマンドでオプションを管理 (表A-9) 基本フロー model diet.mod; data diet.dat; option solver cplex; option *col*; # 名前パターンで一括表示 ▪ data文でデータモードへ。モデルモードに戻すのは他のコマンド 代表的なコマンド(表A-9より抜粋・全44種) solve display print printf let fix unfix drop restore expand show xref reset write read option problem check cd shell ▪ include filename でファイルを挿入(model/data命令の省略形あり) ▪ $opname=現在値、$$opname=既定値(環境から継承 or AMPLの既定) ▪ option opname evalue; で設定、option opname; で現在値を表示 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 15
印
入出力のリダイレクト / 印字と表示のコマンド
A.15–A.16
> >> < でファイル入出力を切替。display / print / printf で結果を整形出力
リダイレクト
> filename
# 上書き(最初にオープン時)
>> filename
# 追記
< filename
# read コマンド用の入力
close filename;
remove filename;
3つの出力コマンド
display [indexing:] disparglist redirection ;
print
[indexing:] arglist redirection ;
printf [indexing:] fmt, arglist redirection ;
printf 変換指定(表A-10・抜粋)
%d %i
符号付き10進
%s
文字列
%f %e %g
浮動小数点(固定/指数/自動)
%q %Q
必要時/常に引用符付き文字列
%x %o
16進 / 8進
▪ display: 数値を既定で有効数字6桁に丸める(display_precision等で変更)
▪ print: 完全精度。区切り文字は print_separator で変更可
▪ display_1col, display_width, gutter_width 等が表の体裁を制御
printf "%s: %8.2f\n", j, cost[j] > "out.txt";
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
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解
データの読み込み / solve・write コマンド
A.17–A.18
read で書式なしデータを取込み。 solve でソルバー起動、 write で問題を書き出す
read コマンド
read [indexing:] arglist redirection ;
read {j in DEST} demand[j] < "demand.txt";
solveに関わる主なオプション
solver
起動するソルバー名
relax_integrality
integer/binary属性を無視
reset_initial_guesses
初期推定値を送るか制御
send_suffixes
接尾辞値の送受信を制御
solve_result_num
ソルバーの戻りコード
solve コマンド
solve redirection_opt ;
1) 一時ファイルへ問題を書出し
2) option solver の値でソルバーを起動
3) stub.sol から主変数・双対変数を読込む
write bstub;
# スタイル文字+スタブでファイル生成
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更 モデル化コマンド — 変更・固定・問題・データ更新 A.18 delete / drop / fix / problem / reset / let で実体やデータを操作する 実体の変更・除去 問題(problem)とデータ更新 delete / purge 実体を削除 / 依存物ごと削除 redeclare 実体の宣言を再定義 drop / restore 制約・目的関数をソルバーから除外/復帰 fix / unfix 変数を現在値に固定/解除 fix x[1] := 5; drop Balance[1]; let demand[j] := demand[j]*1.1; AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル problem name indexing_opt : itemlist ; problem name; # 切替 problem SubProb: x, Balance; reset data 読込済みデータを破棄 update data 後続データ節での上書きを許可 let name := expr 集合・パラメータ・変数の値を変更 18
検 モデルの検査 A.19 show / xref / expand / solexpand と組込みの総称的な名前(表A-13) show namelist 実体の名前・種類を列挙 xref itemlist 依存する実体を表示 expand itemlist 生成された制約・目的関数を展開表示 solexpand ソルバーから見た展開(前処理後)を表示 check; 全ての check 文を評価 show; expand Balance[1]; # 全モデル実体を列挙 # 特定制約の展開 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 組込みの総称的な名前(抜粋) _nvars _ncons _nobjs _VARS _CONS _OBJS _varname{} _conname{} _PARS display _nvars, _ncons, _nobjs; 19
制
スクリプトと制御フロー文
A.20
if-then-else / for / repeat による条件分岐とループでスクリプトを自動化
for + if-then-else
for {t in TIME} {
if t <= 6 then
let cmin[t] := 3;
else
let cmin[t] := 4;
}
構文まとめ
if lexpr then cmd
[else cmd] 条件分岐
for indexing cmd
添字集合にわたる反復
repeat {cmds}
while/until条件付き反復
break / continue
ループの中断 / 次の反復へ
▪ cmd はセミコロン終端の単文、または{ }で囲んだ文の並び
repeat / break /
continue
repeat loopname_opt while lexpr { cmds } ;
break loopname_opt ;
continue loopname_opt ;
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
▪ option single_step n; で1コマンドずつ実行するデバッグモード
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環 計算機環境 A.21 shell / cd コマンド、組込みの時間計測パラメータ、ログ記録オプション(表A-14) 外部コマンド・終了 shell 'command-line' redirection_opt ; cd new-directory ; quit; exit expr_opt; end; 時間計測パラメータ(抜粋) _solve_time 直近solveのCPU時間 _total_solve_time 全solveの累積CPU時間 _shell_elapsed_time 直近shellの経過時間 _ampl_elapsed_time AMPLプロセス開始からの経過秒数 ▪ quit: $outoptが暗示するファイルを書き出さず終了 ▪ exit: quitの同義語。ステータス値を環境に返せる display _total_solve_time; ▪ log_file が空でなければ標準入力の内容をログに複写 ▪ log_model / log_data で他ファイルのコマンド・データも記録 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 21
関
インポートされる関数
A.22
function宣言で外部関数を取込む。パイプ関数は別プロセスとして評価される
function宣言
function name alias_opt (domain-spec)_opt
type_opt [pipe litseq_opt [format fmt]] ;
使用例
function mean2 pipe "awk '{print ($1+$2)/2}'";
display mean2(1,2) + 1;
call myfunc(x, y);
# 戻り値を使わない呼出し
ドメイン方向とロード
IN / OUT / INOUT
情報の流れる向き(既定IN)
symbolic / random
文字列を返す/毎回異なる値を返す
load / unload / reload
共有ライブラリの制御
reset function name
パイプ関数を閉じて再起動可能に
▪ domain-spec が集合を指定する引数は、その集合への所属を検査
▪ 単独の * はドメイン検査を省略する印
AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル
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起 AMPL の起動 A.23 コマンドライン引数とセッション間で設定を記憶するオプション (OPTIONS_IN 等) コマンドライン例 ampl '-?' # 起動オプション一覧を表示 ampl -s1 model.mod # 乱数シードを1に指定 ampl -R # 制限付きサーバーモード セッションを跨ぐオプション記憶 OPTIONS_IN 起動時に読み込むオプションファイル OPTIONS_INOUT 起動時に読込み、終了時に書出す OPTIONS_OUT 終了時に現在の設定を書出す ▪ -v: AMPLのバージョンを印字(option version と同等) ▪ -ilibs: 最初にロードする関数/tableハンドラのライブラリを指定 ▪ -R: cd/shell禁止、ソルバー名やリダイレクト名を英数字に制限 AMPL：数理計画のためのモデリング言語 付録A AMPLリファレンスマニュアル 23
了 まとめ ― 本編と付録Aの使い分け 本編(第1〜21章) 付録A(本スライド) ▪ モデリングの考え方・ワークフローを、実例を通じて学ぶ章立て ▪ 正確な文法・キーワード・オプション名を引くための逐条リファレ ンス ▪ 生産・輸送・スケジューリングなど分野別の応用例が中心 ▪ コーディング中に「あの構文は？」を素早く確認する用途 よく使うキーワード早見表 set param var subject to minimize maximize sum forall if-then-else in / within display solve let option table function 全22章シリーズ、完結。 詳細な最新情報は www.ampl.com を参照