剛体の運動方程式③回転の座標変換

剛体の 運動方程式③ 回転の座標変換 剛体の運動方程式③回転の座標変換 © 2024 by Kouhei Ito is licensed under CC BY 4.0. To view a copy of this license, visit https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

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加法定理 sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛼 − 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 cos 𝛼 − 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽

復習：ベクトル・行列の掛け算 行列とベクトルの掛け算 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎11 𝑏1 + 𝑎12 𝑏2 + 𝑎13 𝑏3 𝑏1 𝑏2 = 𝑎21 𝑏1 + 𝑎22𝑏2 + 𝑎23𝑏3 𝑏3 𝑎31 𝑏1 + 𝑎32𝑏2 + 𝑎33𝑏3 行列と行列の掛け算 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑏11 𝑏21 𝑏31 𝑏12 𝑏22 𝑏32 𝑏13 𝑎11 𝑏11 + 𝑎12𝑏21 + 𝑎13 𝑏31 𝑏23 = 𝑎21 𝑏11 + 𝑎22 𝑏21 + 𝑎23𝑏31 𝑏33 𝑎31 𝑏11 + 𝑎32 𝑏21 + 𝑎33𝑏31 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 𝑏22 + 𝑎13 𝑏32 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22 + 𝑎23𝑏32 𝑎31𝑏12 + 𝑎32𝑏22 + 𝑎33𝑏32 𝑎11 𝑏13 + 𝑎12 𝑏23 + 𝑎13 𝑏33 𝑎21𝑏13 + 𝑎22𝑏23 + 𝑎23 𝑏33 𝑎31𝑏13 + 𝑎32𝑏23 + 𝑎33 𝑏33

本日のテーマ 座標変換とは

座標変換とは

座標変換とは 地球上ではここ にいます！

座標変換とは 太陽系ではここ にいます！

座標変換とは 太陽系ではここ にいます！ 視点（座標）が変わってもどちらかの 情報からそれぞれの座標での位置と姿 勢を変換して得ることを座標変換と呼 ぶ

座標変換とは 太陽系ではここ にいます！ 座標変換には並進と回転があります。 今回は回転を扱います。

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑅 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝛼

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽)

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 加法定理を適用 𝑥2 = 𝑅 (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽) 𝑦2 = 𝑅(sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽)

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 加法定理を適用 𝑥2 = 𝑅 (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽) 𝑦2 = 𝑅(sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽) 𝑥2 = 𝑅 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑅 sin 𝛼 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑅 sin 𝛼 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛼 sin 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑅 (cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽) 𝑦2 = 𝑅(sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽) 𝑥2 = 𝑅 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑅 sin 𝛼 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑅 sin 𝛼 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛼 sin 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑅 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑅 sin 𝛼 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑅 sin 𝛼 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛼 sin 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑅 cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑅 sin 𝛼 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑅 sin 𝛼 cos 𝛽 + 𝑅 cos 𝛼 sin 𝛽 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑥1 sin 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑥1 sin 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑦1 cos 𝛽 + 𝑥1 sin 𝛽 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑥1 sin 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑥1 sin 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛽

点の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 ′ 𝑃 (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 + 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin(𝛼 + 𝛽) 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 − 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = 𝑥1 sin 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛽 𝑥2 cos 𝛽 𝑦2 = sin 𝛽 − sin 𝛽 𝑥1 cos 𝛽 𝑦1

回転行列 𝑃′ (𝑥2 , 𝑦2 ) 𝛽 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥2 cos 𝛽 𝑦2 = sin 𝛽 − sin 𝛽 𝑥1 cos 𝛽 𝑦1 回転の行列

座標の回転 Y 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑅 𝛼 X

座標の回転 Y 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑅 𝛼 𝛽 X

座標の回転 Y 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑅 𝛽 X

座標の回転 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼

回転の座標変換 Y’ 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 − 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin( 𝛼 − 𝛽) 𝑅 X’

回転の座標変換 Y’ 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 − 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin( 𝛼 − 𝛽) 𝑅 X’ 青色の座標系で(𝑥1 , 𝑦1 )と表さ れていた点𝑃は緑色の座標系 ではどのように表されるか求 めることを座標変換と呼ぶ

回転の座標変換 Y’ 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 − 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin( 𝛼 − 𝛽) 𝑅 X’ 加法定理を適用 𝑥2 = 𝑅 (cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽) 𝑦2 = 𝑅(sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽)

回転の座標変換 Y’ 𝑥1 = 𝑅 cos 𝛼 𝑦1 = 𝑅 sin 𝛼 𝑥2 = 𝑅 cos(𝛼 − 𝛽) 𝑦2 = 𝑅 sin( 𝛼 − 𝛽) 𝑅 X’ 加法定理を適用 𝑥2 = 𝑅 (cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽) 𝑦2 = 𝑅(sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽) 𝑥2 = 𝑥1 cos 𝛽 + 𝑦1 sin 𝛽 𝑦2 = −𝑥1 sin 𝛽 + 𝑦1 cos 𝛽

回転の座標変換行列 Y’ 𝑥2 cos 𝛽 𝑦2 = − sin 𝛽 sin 𝛽 𝑥1 cos 𝛽 𝑦1 回転の座標変換行列 𝑅 X’

３次元の座標の回転 𝑍0 𝑋0 𝑌0 Ｚ軸、Ｙ軸、Ｘ軸周りの 順で座標を回します

３次元の座標の回転 𝑍0 𝑋0 𝑌0 ２次元での「もの」の姿勢 （角度）は基準線と回転の正 の方向を決めておくと他者に も伝えることができる。 では・・ ３次元での「もの」の姿勢 （角度）はどの様にしたら伝 えられるか？

３次元の座標の回転 𝑍0 𝑋0 𝑌0 最初はＺ軸周りに回す

３次元の座標の回転 𝑍0 𝑋0 𝜓 𝑌0 𝜓

３次元の座標の回転 𝑍1 𝑍0 𝑋0 𝜓 𝑋1 𝑌0 𝜓 𝑌1

３次元の座標の回転 𝑍1 𝑍0 𝑋0 𝑋1 𝑌0 𝑌1 次は新しいＹ軸周りに回す

３次元の座標の回転 𝑍1 𝜃 𝑍0 𝑋0 𝑋1 𝜃 𝑌0 𝑌1

３次元の座標の回転 𝑍1 𝑍 𝜃 𝑍0 2 𝑋0 𝑋1 𝑋2𝜃 𝑌0 𝑌2

３次元の座標の回転 𝑍2 𝑋0 𝑋1 𝑋2 𝑌0 𝑌2 𝑍1 𝑍0 最後に新しいX軸周りに回す

３次元の座標の回転 𝑍1 𝜙 𝑍0 𝑍 2 𝑋0 𝑋1 𝑋2 𝑌0 𝜙 𝑌2

３次元の座標の回転 𝑍3 𝑍1 𝜙 𝑍2 𝑍0 𝑋0 𝑋1 𝑋3 𝑋2 𝑌0 𝜙 𝑌3 𝑌2

３次元の座標の回転 𝑍3 𝑍1 𝜙 𝑍2 𝑍0 𝑋0 𝑋1 𝑋3 𝑋2 𝑌0 𝜙 𝑌3 𝑌2 𝑋0 𝑌0 𝑍0 座標系(青)の点(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )が 𝑋3 𝑌3 𝑍3 座標系（赤）ではどのように表 されるのか３次元の回転の座標変換に ついて、その回転の座標変換行列がど のような形になるのか、考察を進める。

図の見方のやくそく こちらから見る こちらから見る 座標軸の矢印

３次元の回転の座標変換 Ｚ軸周り こちらから座標系を見る 𝑌1 𝑌0 𝑍0 𝑍1 座標系をZ軸方向 から見た図 𝜓 𝑍1 𝑋1 𝑋0 𝑋0 𝜓 𝑋1 𝑥1 cos 𝜓 𝑦1 = − sin 𝜓 𝑌0 𝜓 𝑌1 sin 𝜓 𝑥0 cos 𝜓 𝑦0

３次元の回転の座標変換 Ｚ軸周り こちらから座標系を見る 𝑌1 𝑌0 𝑍0 𝑍1 𝜓 𝑍1 𝑋1 𝑋0 上図の状態を２次 元の回転と見て式 に当てはめて見る 𝑋0 𝜓 𝑋1 𝑥1 cos 𝜓 𝑦1 = − sin 𝜓 𝑌0 𝜓 𝑌1 sin 𝜓 𝑥0 cos 𝜓 𝑦0

３次元の回転の座標変換 Ｚ軸周り こちらから座標系を見る 𝑌1 𝑌0 𝑍0 𝑍1 𝜓 𝑍1 𝑋0 𝑋1 𝑋0 ３次元に拡大した 𝜓 𝑋1 𝑌0 𝜓 𝑌1 𝑥1 cos 𝜓 𝑦1 = − sin 𝜓 𝑧1 0 sin 𝜓 cos 𝜓 0 0 𝑥0 0 𝑦0 1 𝑧0

３次元の回転の座標変換 Ｚ軸周り こちらから座標系を見る 𝑌1 𝑌0 𝑍0 𝑍1 𝜓 𝑍1 𝑋1 𝑋0 𝑋0 𝜓 𝑋1 𝑌0 𝜓 𝑌1 𝑥1 cos 𝜓 𝑦1 = − sin 𝜓 𝑧1 0 sin 𝜓 cos 𝜓 0 0 𝑥0 0 𝑦0 1 𝑧0 Z軸周りの回転座標変換行列

３次元の回転の座標変換 Ｙ軸周り 𝑋2 𝑋1 𝑍2 𝜃 𝑍1 𝜃 𝑌1 𝑍2 𝑍1 𝑋1 𝜃 𝑋2 𝑧2 cos 𝜃 𝑥2 = − sin 𝜃 𝑌2 𝑌1 こちらから座標系を見る sin 𝜃 𝑧1 cos 𝜃 𝑥1

３次元の回転の座標変換 Ｙ軸周り 𝑋2 𝑋1 𝑍2 𝜃 𝑍1 𝜃 𝑌1 𝑍2 𝑍1 xyzの並びに変えたい 𝑋1 𝜃 𝑧2 cos 𝜃 𝑥2 = − sin 𝜃 𝑦2 0 𝑋2 𝑌2 こちらから座標系を見る sin 𝜃 cos 𝜃 0 0 𝑧1 0 𝑥1 1 𝑦1

３次元の回転の座標変換 Ｙ軸周り 𝑋2 𝑋1 𝑍2 𝜃 𝑍1 𝜃 𝑌1 𝑍2 𝑍1 この様に展開してか ら行を入れ替える 𝑋1 𝜃 𝑋2 𝑌2 こちらから座標系を見る 𝑧2 𝑧1 cos 𝜃 + 𝑥1 sin 𝜃 𝑥2 = −𝑧1 sin 𝜃 +𝑥1 cos 𝜃 𝑦2 𝑦1

３次元の回転の座標変換 Ｙ軸周り 𝑋2 𝑋1 𝑍2 𝜃 𝑍1 𝜃 𝑌1 𝑋1 𝜃 𝑋2 𝑌2 こちらから座標系を見る 𝑥2 cos 𝜃 𝑦2 = 0 𝑧2 sin 𝜃 𝑍2 𝑍1 𝑧2 𝑧1 cos 𝜃 + 𝑥1 sin 𝜃 𝑥2 = −𝑧1 sin 𝜃 +𝑥1 cos 𝜃 𝑦2 𝑦1 0 1 0 − sin 𝜃 0 cos 𝜃 𝑥1 𝑦1 𝑧1

３次元の回転の座標変換 Ｙ軸周り 𝑋2 𝑋1 𝑍2 𝜃 𝑍1 𝜃 𝑌1 𝑋1 𝜃 𝑋2 𝑌2 こちらから座標系を見る 𝑥2 cos 𝜃 𝑦2 = 0 𝑧2 sin 𝜃 𝑍2 𝑍1 𝑧2 𝑧1 cos 𝜃 + 𝑥1 sin 𝜃 𝑥2 = −𝑧1 sin 𝜃 +𝑥1 cos 𝜃 𝑦2 𝑦1 0 1 0 − sin 𝜃 0 cos 𝜃 Ｙ軸周りの回転座標変換行列 𝑥1 𝑦1 𝑧1

３次元の回転の座標変換 Ｘ軸周り 課題にします

回転の座標変換行列 Ｚ軸周り cos 𝜓 sin 𝜓 0 𝑹𝑍 (𝜓) = − sin 𝜓 cos 𝜓 0 0 0 1 Y軸周り cos 𝜓 0 − sin 𝜓 0 1 0 𝑹𝑌 (𝜃) = sin 𝜓 0 cos 𝜓 X軸周り cos 𝜓 0 − sin 𝜓 0 課題です 1 0 𝑹𝑋 (𝜙) = sin 𝜓 0 cos 𝜓

回転の座標変換行列 Ｚ軸周り 𝑥0 𝑥1 𝑦1 = 𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0 𝑧0 𝑧1 Y軸周り 𝑥2 𝑥1 𝑦2 = 𝑹𝑌 (𝜃) 𝑦1 𝑧2 𝑧1 X軸周り 𝑥3 𝑥2 𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙) 𝑦2 𝑧3 𝑧2

回転の座標変換行列 Ｚ軸周り 𝑥0 𝑥1 𝑦1 = 𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0 𝑧0 𝑧1 Y軸周り 𝑥2 𝑥1 𝑦2 = 𝑹𝑌 (𝜃) 𝑦1 𝑧2 𝑧1 X軸周り 𝑥3 𝑥2 𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙) 𝑦2 𝑧3 𝑧2 𝑥0 𝑥3 𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙)𝑹𝑌 (𝜃)𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0 𝑧0 𝑧3 𝑥0 = 𝑬(𝜙, 𝜃, 𝜓) 𝑦0 𝑧0

回転の座標変換行列 Ｚ軸周り 𝑥0 𝑥1 𝑦1 = 𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0 𝑧0 𝑧1 Y軸周り 𝑥2 𝑥1 𝑦2 = 𝑹𝑌 (𝜃) 𝑦1 𝑧2 𝑧1 X軸周り 𝑥3 𝑥2 𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙) 𝑦2 𝑧3 𝑧2 𝑥0 𝑥3 𝑦3 = 𝑹𝑋 (𝜙)𝑹𝑌 (𝜃)𝑹𝑍 (𝜓) 𝑦0 𝑧0 𝑧3 𝑥0 = 𝑬(𝜙, 𝜃, 𝜓) 𝑦0 𝑧0 回転の座標変換行列 𝑬 𝜙, 𝜃, 𝜓 = 𝑹𝑋 (𝜙)𝑹𝑌 (𝜃)𝑹𝑍 (𝜓)

課題１ 次の計算をしなさい （１） 1 2 3 1 4 5 6 0 7 8 9 −1 （２） 1 2 3 1 1 0 4 5 6 0 2 1 7 8 9 −1 3 1

課題２ Ｘ軸周りの回転座標変換行列 Ｘ軸周りの回転の座標変換行列を求めなさい。

課題３ 回転運動の座標変換行列 回転の座標変換行列の中身を３軸周りの座 標変換行列を掛け算して求めなさい。