剛体の運動方程式①ベクトルの微分

剛体の 運動方程式① ベクトルの微分 剛体の運動方程式①ベクトルの微分 © 2024 by Kouhei Ito is licensed under CC BY 4.0. To view a copy of this license, visit https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

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剛体の運動方程式 この世界の運動は、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の３つの座標 軸それぞれに並進運動と回転運動合わせて６つの運動 で表現する。 そのため６本の剛体の運動方程式を用いて表される。 運動方程式を立て計算することで、あらゆる物体の 運動は事前に推定することができ、航空機をはじめ、 車、電車、人工衛星、宇宙船等多くの「もの」の開発 に生かされている。 ※剛体とは形の変わらない物体のこと

剛体の運動方程式の形

剛体の運動方程式 並進運動 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡

剛体の運動方程式 並進運動 運動量ベクトル 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 物体に作用する 力のベクトルの総和 角運動量ベクトル 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 物体に作用する 力のモーメントベクトルの総和

剛体の運動方程式 並進運動 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 剛体の運動方程式とは、運動量 あるいは角運動量の時間微分が 力の総和あるいはモーメントの 総和に等しいという事実を表し ている。

剛体の運動方程式 並進運動 ベクトルの 微分が必要 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 ベクトルの 微分が必要 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 剛体の運動方程式とは、運動量 あるいは角運動量の時間微分が 力の総和あるいはモーメントの 総和に等しいという事実を表し ている。

ベクトル

ベクトル ベクトルの成分表示 𝐴𝑥 𝑨 = 𝐴𝑦 𝐴𝑧 ｚ 𝐴𝑧 𝑨 = 𝐴𝑥 𝑨 𝐴𝑦 ｙ ｘ 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑇

ベクトル ベクトルの成分表示 太字 ｚ 𝐴𝑧 𝐴𝑥 𝑨 = 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑨 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 ｙ 𝐴𝑥 縦書き 縦ベクトル 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑇 転置 𝑨 ｘ 細字 横書き

ベクトル ベクトルの成分表示 𝐴𝑥 𝑨 = 𝐴𝑦 𝐴𝑧 ｚ 𝐴𝑧 𝒌 𝑨 𝒊 ｘ 𝐴𝑥 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒋 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑇 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝐴𝑦 ｙ 単位ベクトル 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌

ベクトルの外積

外積 𝑨 = 𝑎𝑥 𝑩 = 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝒊 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝒋 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝒌 𝑎𝑧 𝑏𝑧 = (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 )𝒊 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝒋 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝒌

外積 𝑨 = 𝑎𝑥 𝑩 = 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝒊 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝒋 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝒌 𝑎𝑧 𝑏𝑧 = (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 )𝒊 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝒋 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝒌

外積 𝑨 = 𝑎𝑥 𝑩 = 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑏𝑧 𝒊 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝒋 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝒌 𝑎𝑧 𝑏𝑧 = (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 )𝒊 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝒋 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝒌

外積 y 𝑨 = 𝑎𝑥 𝑩 = 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐵 𝑏𝑦 𝑏𝑧 x 𝑖 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑗 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝐴 𝐴×𝐵 z 𝑘 𝑎𝑧 𝑏𝑧 外積もベクトル = (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 )𝒊 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝒋 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝒌 ｘ成分 ｙ成分 ｚ成分

外積の大きさは 面積に等しい 外積 y 𝑨 = 𝑎𝑥 𝑩 = 𝑏𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐵 𝑏𝑦 𝑏𝑧 x 𝑖 𝑨 × 𝑩 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑗 𝑎𝑦 𝑏𝑦 𝐴 𝐴×𝐵 z 𝑘 𝑎𝑧 𝑏𝑧 外積もベクトル = (𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 )𝒊 + (𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 )𝒋 + (𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 )𝒌 ｘ成分 ｙ成分 ｚ成分

モーメントと角運動量

モーメントの定義 外積 𝑨 × 𝑩 をBのモーメントと呼ぶ y 𝑩 𝑨 𝑨×𝑩 x z

運動量 質量 𝑚 速度 𝑽= 𝑢 運動量 𝑚𝑽 𝑣 𝑤𝑇

角運動量 運動量 𝑚𝑽 位置ベクトル y 𝒓 𝑚𝑽 𝑚 𝒓 𝒓 × 𝑚𝑽 x 運動量のモーメント 𝒓 × 𝑚𝑽 運動量のモーメントを角運動量と呼ぶ z

回転する座標系に定義された ベクトルの微分

回転する座標系とベクトル 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 ｚ 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 座標系の回転角速度を表すベクトル 𝒊 𝒋𝑞 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴𝑦 ｙ

ベクトルの微分 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 ｚ 座標系の回転角速度を表すベクトル 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑧 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 掛け算の 微分を適用

ベクトルの微分 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 ｚ 座標系の回転角速度を表すベクトル 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝐴𝑥 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 の時間の経過 による変位 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑧 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒊, 𝒋, 𝒌 の時間微 分は判れば すっきりする 部分

回転する座標系の 単位ベクトルの微分

回転座標系の 単位ベクトルの微分 ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝒊(𝑡)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝑟ℎ𝒋 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝒊(𝑡 + ℎ)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ)

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 ｘ 𝐴𝑥 𝒊(𝑡 + ℎ) 𝒌 𝑨 𝑝 −𝑞ℎ𝒌 𝑟ℎ𝒋 𝒊 𝒋𝑞 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴𝑦 ｙ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 微分の定義に基づいて単位ベクトルの微分について考える 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝒊 = 𝑑𝑡

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 微分の定義に基づいて単位ベクトルの微分について考える 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 ℎ→0 ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 ℎ→0 ℎ 𝒊 𝑡 + 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 − 𝒊(𝑡) = lim ℎ→0 ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝒊 𝒊 𝑡 + ℎ − 𝒊(𝑡) = lim 𝑑𝑡 ℎ→0 ℎ 𝒊 𝑡 + 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 − 𝒊(𝑡) = lim ℎ→0 ℎ 𝑟ℎ𝒋 − 𝑞ℎ𝒌 = lim = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 ℎ→0 ℎ

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴𝑦 ｙ 𝒊 𝑑𝒊 = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 = 𝑝 𝑑𝑡 1 𝒋 𝑞 0 𝒌 𝑟 =𝝎×𝒊 0

回転座標系の 単位ベクトルの微分 𝒊(𝑡) ｚ 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 −𝑞ℎ𝒌 𝒊 𝒋𝑞 𝑟ℎ𝒋 𝒊(𝑡 + ℎ) 回転𝝎によってℎ時間の 間に動いた𝒊ベクトル 𝐴𝑦 ｙ 𝒊 𝑑𝒊 = 𝑟𝒋 − 𝑞𝒌 = 𝑝 𝑑𝑡 1 𝑑𝒋 =𝝎×𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝒌 =𝝎×𝒌 𝑑𝑡 𝒋 𝑞 0 𝒌 𝑟 =𝝎×𝒊 0

ベクトルの微分 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 ｚ 座標系の回転速度を表すベクトル 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝒊 ベクトルの微分 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝐴𝑥 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 , 𝐴𝑧 が時間で変化 すれば０ではない部分。 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝒊 = 𝒊 + 𝐴𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝒋 + 𝒋 + 𝐴𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑧 𝑑𝒌 + 𝒌 + 𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝒊, 𝒋, 𝒌 の時間微 分は判れば すっきりする 部分

ベクトルの微分 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 座標系の回転速度を表すベクトル ｚ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 ベクトルの微分 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 = 𝒊 + 𝐴𝑥 𝝎 × 𝒊 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑦 + 𝒋 + 𝐴𝑦 𝝎 × 𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑧 + 𝒌 + 𝐴𝑧 𝝎 × 𝒌 𝑑𝑡

ベクトルの微分 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 座標系の回転速度を表すベクトル ｚ 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 ベクトルの微分 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 = 𝒊 + 𝝎 × 𝐴𝑥 𝒊 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑦 + 𝒋 + 𝝎 × 𝐴𝑦 𝒋 𝑑𝑡 𝑑𝐴𝑧 + 𝒌 + 𝝎 × 𝐴𝑧 𝒌 𝑑𝑡 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡

ベクトルの微分 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝐴𝑦 ｙ ここで 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑧 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝑑𝑡 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Aሶ 𝑥 𝒊 + Aሶ 𝑦 𝒋 + Aሶ 𝑧 𝒌

ベクトルの微分成分表示 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑧 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 ここで 𝑑𝑡 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Aሶ 𝑥 𝒊 + Aሶ 𝑦 𝒋 + Aሶ 𝑧 𝒌 𝐴𝑦 ｙ ベクトルの微分の成分表示 𝐴ሶ 𝑥 𝑖 𝑑𝑨 = 𝐴ሶ 𝑦 + 𝑝 𝑑𝑡 𝐴 𝑥 ሶ 𝐴𝑧 𝑗 𝑞 𝐴𝑦 𝑘 𝑟 𝐴𝑧

ベクトルの微分成分表示 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑧 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 ここで 𝑑𝑡 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Aሶ 𝑥 𝒊 + Aሶ 𝑦 𝒋 + Aሶ 𝑧 𝒌 𝐴𝑦 ｙ ベクトルの微分の成分表示 𝐴ሶ 𝑥 𝑞𝐴𝑧 − 𝑟𝐴𝑦 𝑑𝑨 = 𝐴ሶ 𝑦 + 𝑟𝐴𝑥 − 𝑝𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝑝𝐴𝑦 − 𝑞𝐴𝑥 𝐴ሶ 𝑧

ベクトルの微分成分表示 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝐴𝑦 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑧 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 ここで 𝑑𝑡 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Aሶ 𝑥 𝒊 + Aሶ 𝑦 𝒋 + Aሶ 𝑧 𝒌 𝐴𝑦 ｙ ベクトルの微分の成分表示 𝐴ሶ 𝑥 + 𝑞𝐴𝑧 − 𝑟𝐴𝑦 𝑑𝑨 = 𝐴ሶ 𝑦 + 𝑟𝐴𝑥 − 𝑝𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝐴ሶ 𝑧 + 𝑝𝐴𝑦 − 𝑞𝐴𝑥

課題１ 外積の計算練習 𝑨= 1 2 3 𝑩= 4 5 6 𝑨 × 𝑩を計算しなさい

課題２ 並進運動の運動方程式の展開 角速度𝝎で回転する座標系に定義された運動量ベクトル𝑚𝑽の微 分を計算しなさい。 速度ベクトル 𝑽 = 𝑢 𝑣 𝑤𝑇 座標系の角速度ベクトル 𝝎 = 𝑝 𝑞 𝑟𝑇