剛体の運動方程式②慣性テンソル

剛体の 運動方程式② 角運動量と 慣性テンソル 剛体の運動方程式②角運動量と慣性テンソル © 2024 by Kouhei Ito is licensed under CC BY 4.0. To view a copy of this license, visit https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

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剛体の角運動量と慣性テンソル 並進運動の運動方程式は速度に質量がかけられた運 動量を微分する式です。質量が大小により同じ力をか けた場合も物体の加速度の大きさが違ってくることか ら質量はものの動かしやすさ（にくさ）を表します。 角運動量を微分する回転の運動方程式には質量に相 当するものが見当たりません。実は、速度に対する質 量のように、角速度に対して慣性テンソルがあります。 剛体の角運動量を調べることで、それを明らかにし ます。

復習：質点の角運動量

質点の角運動量ベクトル 運動量 𝑑𝑚𝑽 位置ベクトル y 𝒓 𝑑𝑚𝑽 𝑑𝑚 𝒓 𝒓 × 𝑑𝑚𝑽 x 運動量のモーメント 𝒓 × 𝑑𝑚𝑽 運動量のモーメントを角運動量と呼ぶ z

剛体内の点の速度

剛体内の点の速度 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑞 x z 𝝎= 𝑝 𝑟 𝑽 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑹 𝑞 x z 𝝎= 𝑝 𝑟 𝑽 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑹 𝑞 𝒓 x z 𝝎= 𝑝 𝑟 𝑽 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑞 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑹 𝑞 𝒓 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 慣性系（地表）から見た剛体内の点の位置 𝑹 = 𝑹0 + 𝒓 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑹 𝑞 𝒓 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 慣性系（地表）から見た剛体内の点の位置 𝑹 = 𝑹0 + 𝒓 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 慣性系（地表）から見た剛体内の点の速度𝑣 𝒗 = 𝑹ሶ = 𝑹ሶ 0 + 𝒓ሶ 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 慣性系（地表）から見た剛体内の点の位置 𝑹 = 𝑹0 + 𝒓 𝝎で回転している 𝑝 y 𝑞 𝒓 慣性系（地表）から見た剛体内の点の速度𝑣 𝒗 = 𝑹ሶ = 𝑹ሶ 0 + 𝒓ሶ 𝑅ሶ 0 は剛体の重心速度なので 𝑽 = 𝑹ሶ 0 𝑟は剛体とともに回転しているので 𝒓ሶ = 𝒓ሶ 𝐵 + 𝝎 × 𝒓 𝑟は剛体内では動かないので 𝒓ሶ 𝐵 = 0 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体内の点の速度 よって、慣性系から見た剛体内の点の速度は 𝒗 = 𝑹ሶ = 𝑽 + 𝝎 × 𝒓 𝝎で回転している y 𝑹 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量

剛体の角運動量 微小部位の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 剛体の重心を座標系の原点とし、回転の中心とする 質量𝑑𝑚の微小部位の角運動量𝑑𝒉は 𝑑𝒉 = 𝒓 × 𝑑𝑚𝒗 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 微小部位の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 剛体の重心を座標系の原点とし、回転の中心とする 質量𝑑𝑚の微小部位の角運動量は𝑑𝒉は 𝑑𝒉 = 𝒓 × 𝑑𝑚𝒗 剛体全体の角運動量 𝑯 = ම 𝑑𝒉 = ම 𝒓 × 𝒗𝑑𝑚 = ම 𝒓 × (𝑽 + 𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝑽 + 𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝑽 + 𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම(𝒓 × 𝑽)𝑑𝑚 + ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝑽 + 𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම(𝒓 × 𝑽)𝑑𝑚 + ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම 𝒓𝑑𝑚 × 𝑽 + ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝑽 + 𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 原点が 重心な ので = ම(𝒓 × 𝑽)𝑑𝑚 + ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම 𝒓𝑑𝑚 × 𝑽 + ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝒊 𝝎×𝒓= 𝑝 𝑥 𝒋 𝑞 𝑦 𝒌 𝑟 𝑧 = 𝑞𝑧 − 𝑟𝑦 𝒊 + 𝑟𝑥 − 𝑝𝑧 𝒋 + 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥 𝒌 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 𝝎で回転している 剛体全体の角運動量 y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝒊 𝑥 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) = 𝑞𝑧 − 𝑟𝑦 𝒋 𝑦 𝑟𝑥 − 𝑝𝑧 𝒌 𝑧 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥 = 𝑦 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥 − 𝑧(𝑟𝑥 − 𝑝𝑧) 𝒊 + 𝑧 𝑞𝑧 − 𝑟𝑦 − 𝑥(𝑝𝑦 − 𝑞𝑥) 𝒋 + 𝑥 𝑟𝑥 − 𝑝𝑧 − 𝑦(𝑞𝑧 − 𝑟𝑦) 𝒌 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 𝝎で回転している 剛体全体の角運動量 y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) = 𝑦 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥 − 𝑧(𝑟𝑥 − 𝑝𝑧) 𝒊 + 𝑧 𝑞𝑧 − 𝑟𝑦 − 𝑥(𝑝𝑦 − 𝑞𝑥) 𝒋 + 𝑥 𝑟𝑥 − 𝑝𝑧 − 𝑦(𝑞𝑧 − 𝑟𝑦) 𝒌 2 2 = 𝑝𝑦 − 𝑞𝑥𝑦 − 𝑟𝑥𝑧 + 𝑝𝑧 𝒊 + 𝑞𝑧 2 − 𝑟𝑦𝑧 − 𝑝𝑥𝑦 + 𝑞𝑥 2 𝒋 + 𝑟𝑥 2 − 𝑝𝑥𝑧 − 𝑞𝑦𝑧 + 𝑟𝑦 2 𝒌 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) = 𝑝𝑦 2 − 𝑞𝑥𝑦 − 𝑟𝑥𝑧 + 𝑝𝑧 2 𝒊 + 𝑞𝑧 2 − 𝑟𝑦𝑧 − 𝑝𝑥𝑦 + 𝑞𝑥 2 𝒋 + 𝑟𝑥 2 − 𝑝𝑥𝑧 − 𝑞𝑦𝑧 + 𝑟𝑦 2 𝒌 2 2 = (𝑦 + 𝑧 )𝑝 − 𝑥𝑦𝑞 − 𝑥𝑧𝑟 𝒊 + −𝑥𝑦𝑝 + (𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑞 − 𝑦𝑧𝑟 𝒋 + −𝑥𝑧𝑝 − 𝑦𝑧𝑞 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑟 𝒌 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑝 − 𝑥𝑦𝑞 − 𝑥𝑧𝑟 𝑑𝑚 𝒊 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 + ම −𝑥𝑦𝑝 + (𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑞 − 𝑦𝑧𝑟 𝑑𝑚 𝒋 + ම −𝑥𝑧𝑝 − 𝑦𝑧𝑞 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑟 𝑑𝑚 𝒌 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 𝝎で回転している 剛体全体の角運動量 y 𝑞 𝒗 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ම (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑝 − 𝑥𝑦𝑞 − 𝑥𝑧𝑟 𝑑𝑚 𝒊 𝑹 𝑝 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 + ම −𝑥𝑦𝑝 + (𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑞 − 𝑦𝑧𝑟 𝑑𝑚 𝒋 + ම −𝑥𝑧𝑝 − 𝑦𝑧𝑞 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑟 𝑑𝑚 𝒌 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 ここで ℎ𝑥 = ම (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑝 − 𝑥𝑦𝑞 − 𝑥𝑧𝑟 𝑑𝑚 ℎ𝑦 = ම −𝑥𝑦𝑝 + (𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑞 − 𝑦𝑧𝑟 𝑑𝑚 ℎ𝑧 = ම −𝑥𝑧𝑝 − 𝑦𝑧𝑞 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑟 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

慣性テンソル

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 ここで ℎ𝑥 = ම (𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑝 − 𝑥𝑦𝑞 − 𝑥𝑧𝑟 𝑑𝑚 ℎ𝑦 = ම −𝑥𝑦𝑝 + (𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑞 − 𝑦𝑧𝑟 𝑑𝑚 ℎ𝑧 = ම −𝑥𝑧𝑝 − 𝑦𝑧𝑞 + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑟 𝑑𝑚 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 ここで ℎ𝑥 = ම 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑝 − ම 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝑞 − ම 𝑥𝑧𝑑𝑚 𝑟 ℎ𝑦 = − ම 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝑝 + ම 𝑧 2 + 𝑥 2 𝑑𝑚 𝑞 − ම 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝑟 ℎ𝑧 = − ම 𝑥𝑧𝑑𝑚 𝑝 − ම 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝑞 + ම 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 ここで ℎ𝑥 = ම 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑝 − ම 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝑞 − ම 𝑥𝑧𝑑𝑚 𝑟 ℎ𝑦 = − ම 𝑥𝑦𝑑𝑚 𝑝 + ම 𝑧 2 + 𝑥 2 𝑑𝑚 𝑞 − ම 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝑟 ℎ𝑧 = − ම 𝑥𝑧𝑑𝑚 𝑝 − ම 𝑦𝑧𝑑𝑚 𝑞 + ම 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 ここで ℎ𝑥 = 𝐼𝑥𝑥 𝑝 + 𝐼𝑥𝑦 𝑞 + 𝐼𝑥𝑧 𝑟 ℎ𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 𝑝 + 𝐼𝑦𝑦 𝑞 + 𝐼𝑦𝑧 𝑟 ℎ𝑧 = 𝐼𝑧𝑥 𝑝 + 𝐼𝑧𝑦 𝑞 + 𝐼𝑧𝑧 𝑟 𝑹 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 𝑹 ここで 𝐼𝑥𝑥 ℎ𝑥 ℎ𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 ℎ𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝑝 𝑞 𝑟 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 = ℎ 𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 𝑹 ここで 𝐼𝑥𝑥 ℎ𝑥 ℎ𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 ℎ𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝑝 𝑞 𝑟 𝐼𝑥𝑥 ， 𝐼𝑦𝑦 ， 𝐼𝑧𝑧 : 慣性モーメント 𝐼𝑥𝑦 ， 𝐼𝑥𝑧 ， 𝐼𝑦𝑥 ， 𝐼𝑦𝑧 ， 𝐼𝑧𝑥 ， 𝐼𝑧𝑦 : 慣性乗積 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

剛体の角運動量 剛体全体の角運動量 𝝎で回転している y 𝑞 𝒗 𝑝 𝒓 𝑯 = ම 𝒓 × (𝝎 × 𝒓) 𝑑𝑚 𝑹 = ℎ𝑥 𝒊 + ℎ𝑦 𝒋 + ℎ𝑧 𝒌 𝐼𝑥𝑥 ℎ𝑥 ℎ𝑦 = 𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥 ℎ𝑧 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦 𝐼𝑥𝑧 𝐼𝑦𝑧 𝐼𝑧𝑧 慣性テンソル 𝑝 𝑞 = 𝑰𝝎 𝑟 x z 𝑟 𝑽 𝑹0 𝝎= 𝑝 𝑞 𝑟

復習：剛体の運動方程式 並進運動 𝑑(𝑚𝑽) = Σ𝑭 𝑑𝑡 回転運動 𝑑𝑯 = Σ𝑴 𝑑𝑡 剛体の運動方程式とは、運動量 あるいは角運動量の時間微分が 力の総和あるいはモーメントの 総和に等しいという事実を表し ている。

復習：回転する座標系とベクトル 単位ベクトルを用いたベクトルの表記 ｚ 𝑨 = 𝐴𝑥 𝒊 + 𝐴𝑦 𝒋+ 𝐴𝑧 𝒌 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 座標系の回転角速度を表すベクトル 𝒊 𝒋𝑞 𝝎 = 𝑝𝒊 + 𝑞𝒋 + 𝑟𝒌 𝐴𝑦 ｙ

復習：ベクトルの微分成分表示 ベクトルの微分 ｚ 𝑑𝑨 𝑑𝑨 = +𝝎×𝑨 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐵 𝐴𝑧 𝑟 𝒌 𝑨 𝑝 ｘ 𝐴𝑥 𝒊 𝒋𝑞 𝑑𝑨 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑥 𝑑𝐴𝑥 = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 ここで 𝑑𝑡 𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = Aሶ 𝑥 𝒊 + Aሶ 𝑦 𝒋 + Aሶ 𝑧 𝒌 𝐴𝑦 ｙ ベクトルの微分の成分表示 𝐴ሶ 𝑥 + 𝑞𝐴𝑧 − 𝑟𝐴𝑦 𝑑𝑨 = 𝐴ሶ 𝑦 + 𝑟𝐴𝑥 − 𝑝𝐴𝑧 𝑑𝑡 𝐴ሶ 𝑧 + 𝑝𝐴𝑦 − 𝑞𝐴𝑥

課題１ 慣性テンソル （１）すべての慣性モーメントとその式を 記述しなさい （２）すべての慣性乗積とその式を記述しなさい

課題２ 回転運動の運動方程式の展開 回転運動の運動方程式の左辺を展開し成分表示し なさい。 解答例（解答の一部⋯を埋めなさい） 𝐼𝑥𝑥 𝑝ሶ + 𝐼𝑥𝑦 𝑞ሶ + 𝐼𝑥𝑧 𝑟ሶ + 𝐼𝑧𝑥 𝑝𝑞 + 𝐼𝑧𝑧 − 𝐼𝑦𝑦 𝑞𝑟 − 𝐼𝑦𝑥 𝑟𝑝 + ⋯ 𝑑𝑯 = ⋯ 𝑑𝑡 ⋯