経営統計_07_代表的な確率分布

経営統計 07 代表的な確率分布 分寺 杏介 神戸大学 経営学部  [email protected] ※本スライドは，クリエイティブ・コモンズ 表示-非営利 4.0 国際 ライセンス（CC BY-NC 4.0）に従って利用が可能です。

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前回のおさらい ▌統計的推測に必要な情報は母集団分布と標本分布の関係性 資料05 p. 23 母集団分布が○○の場合 標本分布は△△になる ？ 母集団分布 資料05 pp. 26-27 標本分布 標本的には標本分布が△△だと最もしっくり来るので 母集団分布は○○と考えるのが妥当だろう 07 代表的な確率分布 2

前回のおさらい ▌母集団分布の可能性は無限大 資料05 p. 23 母集団分布 母集団分布が○○の場合 標本分布は△△になる この○○をどうやって説明する？ x=150では0.004で，x=151では0.006で，… 離散確率変数ですらほぼ無理 関数による表現を考えます 07 代表的な確率分布 3

確率分布を関数で表そう …といってもなんでもいいわけじゃない 二次関数 ▌確率のルール（公理）を満たしている必要がある 負の値をとらない関数でないといけない 「和が1」は高さを適当に調整した ら良いので気にしなくてOKです ▌それなりにシンプルである必要がある 複雑な関数 パラメータの数はせいぜい2, 3個にしておきたい 数学的に扱いやすい関数でないといけない ▌そもそも確率分布は何かしらの現象を表したもの 実質的な意味を持った関数でないといけない そんな関数はそこまで多くない（と言われている） 07 代表的な確率分布 「そんな関数」の例を見ていきます 4

離散確率分布 07 代表的な確率分布 5

二項分布 高校数学の内容からスタート 問 （あたり確率が0.1の）くじを3回引いたとき， ちょうど1回だけ当たる確率は？ ▌公式がありましたな 1回目 2回目 3回目 その事象が起こる パターンの数 1 2 C × 0.1 × 0.9 3 1 発生確率のうち 「当たり」の部分 発生確率のうち 「はずれ」の部分 計 発生確率 ○ ○ ○ 3 0.1 × 0.1 × 0.1 ○ ○ × 2 0.1 × 0.1 × 0.9 ○ × ○ 2 0.1 × 0.9 × 0.1 ○ × × 1 0.1 × 0.9 × 0.9 × ○ ○ 2 0.9 × 0.1 × 0.1 × ○ × 1 0.9 × 0.1 × 0.9 × × ○ 1 0.9 × 0.9 × 0.1 × × × 0 0.9 × 0.9 × 0.9 07 代表的な確率分布 6

二項分布 一般化しましょう 問 （あたり確率が 𝑝 の）くじを 𝑛 回引いたとき， ちょうど 𝑥 回だけ当たる確率は？ ▌公式を書き直せば 例 当たり確率 𝑝 = 0.1，回数 𝑛 = 3の場合 その事象が起こる パターンの数 𝑥 𝑛−𝑥 C × 𝑝 × (1 − 𝑝) 𝑛 𝑥 発生確率のうち 「当たり」の部分 発生確率のうち 「はずれ」の部分 ちょうど0回 0 3 3C0 × 0.1 × 0.9 ちょうど1回 1 2 3C1 × 0.1 × 0.9 ちょうど2回 2 1 3C2 × 0.1 × 0.9 ちょうど3回 3 0 3C3 × 0.1 × 0.9 この図には𝑝 = 0.1, 𝑛 = 3の場合に取りうる値の 全パターンとその確率が表示されていることになります 各点の高さをすべて足すと１になっている 07 代表的な確率分布 7

二項分布｜Binomial distribution さっきの 二項分布 関数 パラメータ も 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛C𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 𝑝 当たり確率 𝑛 試行回数 の 略記 𝐵(𝑛, 𝑝) 平均値 𝑛𝑝 分散 𝑛𝑝(1 − 𝑝) を 的な の = は を ( , , ) の 率なので では り ▌パラメータを変えると様々な形の関数が書ける 𝐵(𝑛 = 5, 𝑝 = 0.7) 𝐵(𝑛 = 10, 𝑝 = 0.5) 𝐵(𝑛 = 50, 𝑝説明 = 0.3) 意味 分布の 分 的な 数の を の は 分布の ら り は り てく さい ないですが 確率 数 確率分布 07 代表的な確率分布 8

代表的な関数のポイント ▌確率分布の背後には「メカニズムの仮定」がある 【二項分布の場 】 社会科学で用いられるほとんどの確率分布は 特定のメカニズムを仮定しています 得られる結果が2種類 コインの表裏，くじの当たり外 ，PKの成功失敗など 各事象が出現する確率が途中で変わらない 例｜本来PKは繰り返しや対戦相手などで成功確率が わ が，そういった 動は無い みなす ある試行の結果がそれ以後の試行に影響しない 例｜一番くじの場 各試行は独立 当たり確率は毎回（わ かで ） 動す ▌記号や略記は人によって少し異なるので要注意 二項分布の場 𝑝 の代わりに 𝜋 を使う人や𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(𝑛, 𝑝) 書く人などがい 回帰分析が 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑏で 𝑦 = 𝛽0 𝛽1 𝑥 で 良いように，分かれば良いのです 07 代表的な確率分布 9

特殊な二項分布 ベルヌーイ分布 ▌結果が二通りしかない確率的な試行の確率分布 ベルヌーイ試行 𝑛 回繰り返したら二項分布 結果は二通りなので𝑋は0か1しか らない 関数 パラメータ 𝑥 𝑃 𝑋 =𝑥 =𝑝 1−𝑝 𝑝 1−𝑥 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(0.3) 当たり確率 略記 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝) たは𝐵(1, 𝑝) 平均値 𝑝 分散 𝑝(1 − 𝑝) 07 代表的な確率分布 10

ポアソン分布 カウントデータの場合 シ オン・ドニ・ポアソン(1781-1840) Wikipediaより ▌ポアソン過程に基づく事象の回数 確率的に発生す 事象が一定時間のうちに何回起こったか た しその事象は基本的に起こりにくい 各事象はほかの事象 は無 係 「一定時間」のフレ ムを小さくした場 事象が起こりやすくな 確 ほぼ０ いうこ 的な のは無し ▌ ポアソン分布に合う事象の例 １日にコンビニに来 客の数 １ヶ月に起こ 地震の数 １年に倒産す 企業の数 歴史的には「馬に蹴ら て死亡す 兵士の数」 いった のに ポアソン分布がよく当ては り した 07 代表的な確率分布 11

ポアソン分布 ポアソン分布｜Poisson distribution 𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑥! 関数 パラメータ 𝜆 𝑒 = .718 … （ネイピア数） さっきの 𝜋 みたいな特殊な定数 も 一定時間に起こ 回数の期待 略記 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜆) 平均値 𝜆 分散 𝜆 の 分 が同じ いう特徴を つ を の 的な = は を ( , , ) の 率なので では り ▌パラメータを変えると様々な形の関数が書ける 𝑃𝑜𝑖𝑠(0.5) 𝑃𝑜𝑖𝑠( ) 𝑃𝑜𝑖𝑠(10) 意味 説明 分布の 分 的な 数の を の は 分布の ら り は り てく さい ないですが 確率 数 確率分布 07 代表的な確率分布 12

ポアソン分布 計算例１ 問 Aさんはスマホを半年に2回くらい落としてしまいます。 では，Aさんがスマホを１年に１回も落とさない確率はいくつでしょうか。 𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑥! ▌ ポアソン分布の性質 時間のフレームを変えると 𝜆 が変わる 「Aさ が半年のうちにスマホを落 す回数」の確率分布は𝑃𝑜𝑖𝑠( ) 「Aさ が１年のうちにスマホを落 す回数」の確率分布は𝑃𝑜𝑖𝑠(4) な 𝑃𝑜𝑖𝑠(4) に𝑥 = 0 を入 40 𝑒 −4 𝑃 𝑋 = 0|𝜆 = 4 = = 𝑒 −4 ≃ 0.0183 0! 07 代表的な確率分布 13

ポアソン分布 計算例２ 問 Bさんは500日の通学でイノシシに10回出くわしました。 では，Bさんが100日でイノシシに１回でも出くわす確率はいくつでしょうか。 𝜆𝑥 𝑒 −𝜆 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑥! ▌ ポアソン分布の性質 試行回数が多ければ「一定時間」は離散時間でも構わない 「Bさ が500回のうちにイノシシに出くわす回数」の確率分布は𝑃𝑜𝑖𝑠(10) 「Bさ が100回のうちにイノシシに出くわす回数」の確率分布は𝑃𝑜𝑖𝑠( ) な 𝑃𝑜𝑖𝑠( ) に𝑥 = 0 を入 𝑃 𝑋 = 0|𝜆 = = 0 𝑒 −2 0! = 𝑒 −2 ≃ 0.135 1 − 0.135 = 0.865 ▌ 二項分布的に見ても良い 500日のうち10回出くわす 遭遇確率は0.02 見 「Bさ が100回のうちにイノシシに出くわす回数」の確率分布は二項分布𝐵(100,0.0 ) な ？ 07 代表的な確率分布 14

二項分布とポアソン分布の関係 ▌ 二項分布とポアソン分布は たような形になることがある 𝐵(𝑛, 𝑝)において 𝑛 が大きく 𝑝 が小さい場 ，平均値が同じ 𝜆 = 𝑛𝑝 で 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜆) 似 【前ページの例】(𝑋 ≥ 11はほぼ0なので省略) 𝐵(𝑛 = 100, 𝑝 = 0.0 ) 𝑃𝑜𝑖𝑠( ) 細かく見ると当然値は異なる 例 𝑃(𝑋 = ) は 二項分布では0.273 ポアソン分布では0.271 ▌ 結局どっちがいいの？ 統計的には，デ 選択す 方法 がたくさ 「デ の当ては りが良い確率分布」を り すが，この授業の範囲外です どちらも事象の発生メカニズムとして「正解」ではないので，お好きな方を選べ ※どちらの カニズム 今回の例に対して「正解ではないが， 07 代表的な確率分布 悪くない」 いう り OK です 15

幾何分布 ベルヌーイ試行を別の見方で 𝑛 回中何回成功したか 二項分布 初めて成功するまでに何回かかったか 幾何分布 ちなみに「𝑛 回成功す でに何回かかったか」の確率分布は 負の二項分布 てい す ▌幾何分布に合う事象の例 当た でくじを何回引いたか 格す で何回受験したか 07 代表的な確率分布 何日後に交通事故に ったか 16

幾何分布｜geometric distribution 幾何分布 関数 パラメータ 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 − 𝑝 𝑥−1 𝑝 𝑝 成功確率 略記 𝐺𝑒(𝑝) 1 𝑝 1−𝑝 𝑝2 平均値 分散 ▌ 無記憶性を持つ 「そ 以前に何回失敗した」 いう情報が って なくて 次に当たりが来 での回数の確率は わらない 10回連続で表が出たら今度こそ裏が出る …なんてことはない 10回連続で表が出た 裏が出 での回数は 𝐺𝑒(0.5) ギャンブラーの誤謬 ▌パラメータを変えると様々な形の関数が書ける 𝐺𝑒(0.5) 𝐺𝑒(0. ) 07 代表的な確率分布 𝐺𝑒(0.01) 17

連続確率分布 07 代表的な確率分布 18

正規分布 左右対称の山 アブ ▌たぶん最も重要な確率分布 ム・ド・モアブル(1667-1754) 正規分布を見つけた さ 人 Wikipediaより ▌なぜかいろいろな場面で登場する 人間の身長や 重などの身 的・心理的特徴 果物の重さ 工場で作った部品の重さ・長さ ▌左右対称の山 確率 数の発生 カニズムは かく だいたい左右対称と思われる場合に当てはめることが多い 辺が多くて から離 ほど確率密度が小さくな 07 代表的な確率分布 19

, , = (1, , 3) 正規分布｜Normal distribution 正規分布 関数 パラメータ 𝑓 𝑋=𝑥 = 略記 , , 𝜋𝜎 2 𝑥−𝜇 2 = (−0.5, 1, 1)2 𝜎 (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝜇 𝜎2 1 = 0 の きの ( ) の 分 の 数 は同じで が な 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) 平均値 𝜇 分散 𝜎2 本の を = の 的な を ( , , ) の 確率 数 確率分布 ▌ パラメータを変えると様々な形の関数が書ける 𝑁 150,82 𝑁 170,82 𝜇 が変わると 平行移動 𝑁 170,1 2 𝜎 2 が変わると 広がりが変わる 07 代表的な確率分布 20

正規分布 とはいえ計算は結構めんどくさい ▌連続確率変数では「ある値を取る確率」は計算しない（できない） × ある農園で収穫されたみかんの重さは正規分布 𝑁(100, 102) になることがわかっています。 収穫したみかんのうちちょうど100gであるものは何％でしょうか。 ▌代わりに区間で確率を考える ○ ある農園で収穫されたみかんの重さは正規分布 𝑁(100, 102) になることがわかっています。 収穫したみかんのうち90gから110gの間のものは何％でしょうか。 𝑓 𝑋=𝑥 = 1 𝜋𝜎 2 𝑥−𝜇 2 − 𝜎2 𝑓 𝑋=𝑥 = 110 絶対積分するじゃん 今はコンピュ が発達してい のでさほど難しくは無いですが 昔は結構致命的な問題 ったのです න 90 07 代表的な確率分布 1 𝜋 × 102 1 𝜋 × 102 𝑥 − 100 2 − × 102 𝑥 − 100 2 − 𝑑𝑥 × 102 21

正規分布 正規分布の性質 ▌平均値 𝜇 と標準偏差 𝜎 に関しての性質 𝜇 から 𝜇 𝑁(170, 82 )におけ 170から178の区間の確率 𝜎 の区間の確率は𝜇 と 𝜎 の値に関わらず同じである 𝑁(0, 12 )におけ 0から1の区間の確率 グレーの部分の面積がすべて同じなのです 07 代表的な確率分布 𝑁(50, 102 )におけ 50から60の区間の確率 見た目に騙されないように 縦軸・横軸の目盛りに注意！ 22

正規分布 もっというと 𝑑, 𝑒 の値が何であっても 𝜇 𝑑𝜎 から 𝜇 𝑒𝜎 の区間の確率は 𝜇 と 𝜎 の値に関わらず同じである 𝑁(170, 82 ) 𝑁(0, 12 ) 𝑁(50, 102 ) 濃いグレーの面積 𝜇 − 𝜎 から 𝜇 𝜎 162から178の区間 -1から1の区間 40から60の区間 薄いグレーの面積 𝜇 − 𝜎 から 𝜇 𝜎 154から186の区間 -2から2の区間 30から70の区間 07 代表的な確率分布 およそ 0.683 およそ 0.954 23

つまり正規分布における確率は 正規分布 𝜇 や 𝜎 が何で って ▌「平均値から標準偏差いくつ分の区間の確率は？」だけ考えたら良い 例 正規分布 𝑁(38, 6.42 )における31.6から41.4の区間の面積は？ この正規分布において31.6は 𝜇 − 𝜎 で41.4は 𝜇 任意の正規分布における𝜇 − 𝜎 から𝜇 0.5𝜎 なので 0.5𝜎 の区間の面積 同じ 𝑁(170, 82 )におけ 162から174の区間の面積で 同じ 𝑁(50, 102 )におけ 40から55の区間の面積で 同じ 何で いいからなにか計算しやすい正規分布で計算したって良い 𝑁(38, 6.42 ) 「計算したって良い」 書いてい すが，実際にはど な正規分布を 代わりに持ってきて 計算は割と面倒です（結局積分が ） そこで 特定の正規分布に関して あらゆる幅の区間の面積を全部計算しておきました （昔の らい人が） 07 代表的な確率分布 24

正規分布 特定の正規分布とは Standard normal distribution ▌標準正規分布 𝑁(0, 12 ) のことです。 𝑥 の確率分布 ，使う 数によってスケ ルが な ので面倒ですが， 標準化得点 𝑧 の確率分布であれば変数のスケールによらないので 常に同じ分布を使 す ある変数 𝑥 が正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )に従うとき， 𝑥−𝜇 平均 𝜇，標準偏差 𝜎 で標準化した値𝑧 = は標準正規分布 𝑁(0,12 ) に従う 𝜎 ▌確率分布を標準化すると 標 準 化 𝑁(170, 82 ) 標 準 化 𝑁(0, 12 ) 07 代表的な確率分布 𝑁(50, 102 ) 25

正規分布 標準正規分布の値 ▌標準化得点なので，そのまま 平均値から標準偏差いくつ分高い／低いか を表すことになる ▌標準正規分布における区間の面積は あらゆる正規分布の「平均値±標準偏差いくつ分」の区間の面積と同じ 例 標準正規分布における0から1.3の区間の面積は 任意の正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) における𝜇 から𝜇 1.3𝜎の区間の面積と同じ いうこ で 標準正規分布に関して あらゆる幅の区間の面積を全部計算しておきました （昔の らい人が） 07 代表的な確率分布 現代ではコンピュ で簡単に 計算出来 のですが， 標準正規分布を用いた確率の計算は 仮説検定のところとも多少関係するので 計算方法を理解してもらいたいのです。 26

正規分布 標準正規分布表 ▌標準正規分布 𝑁(0, 12 )におけるあらゆる区間の面積（確率）を計算した表 大抵の統計学のテキストの 後ろについてい す いは検索したら すぐ見つかり す 確率や相 係数のように 絶対に1を超 ない（小数のみの） に しては 頭の0を省略して表記するこ がよく り す 例 標準正規分布における1.01以上の全区間の面積 （＝任意の正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) における𝜇 1.01𝜎以上の全区間の面積）が知りたい場合 赤い丸に対応する.1562=およそ15.62%となる 07 代表的な確率分布 27

正規分布 標準正規分布表による計算 例 確率変数 𝑋 が正規分布 𝑁 170,82 に従うとき 身長の平均値が170，分散が82 と仮定した場合の 身長が180cm以上の人の割合を計算するイメージで 𝑥 が180以上になる確率は？ 1. まずは知りたい確率を明確にする 今回は正規分布 𝑁 170,82 におけ 𝑃(𝑋 ≥ 180) を求 この段階で図にしておくとたぶんわかりやすい 【ポイント】 • この段階ではさほど厳 でなくても良い こんな感じでOK • ただし「範囲の端が平均値より上か下か」だけは明確に 07 代表的な確率分布 28

標準正規分布表による計算 正規分布 例 確率変数 𝑋 が正規分布 𝑁 170,82 に従うとき 身長の平均値が170，分散が82 と仮定した場合の 身長が180cm以上の人の割合を計算するイメージで 𝑥 が180以上になる確率は？ 2. 標準化する 𝑋 の分布が 𝑁 170,82 前ページの図と 対応しているので 見比べてください いうこ は 𝑋−170 = 𝑍 の分布が 𝑁 0, 1 8 にな これに合わせて先程の図も標準化する 求 たい面積が 𝑃 𝑋 ≥ 180 180を標準化したらよい 上の に𝑋 = 180を代入す 180 − 170 = 1. 5 8 求めたい確率は𝑁 0, 1 の 𝑃 𝑍 ≥ 1. 5 と同じ 07 代表的な確率分布 29

正規分布 標準正規分布表による計算 例 確率変数 𝑋 が正規分布 𝑁 170,82 に従うとき 𝑥 が180以上になる確率は？ 身長の平均値が170，分散が82 と仮定した場合の 身長が180cm以上の人の割合を計算するイメージで 3. 標準正規分布表から対応する値を探す 𝑃 𝑍 ≥ 1. 5 なので 表によって見方が多少 わり すが 書いてある値は同じはずなので どの表を使って 問題 り 【答】 ※定期試験ではこの表 渡し す .1056 (10.56%) 07 代表的な確率分布 30

正規分布 標準正規分布表のポイント ▌正規分布は左右対称です 「範囲の端が平均値より上か下か」だけ明確にしておくと 計算の仕方が見えやすくなるのです マイナスのときにはひっくり返しましょう 例 標準正規分布における-1から0の区間の面積 （＝あらゆる正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) における𝜇 − 𝜎 から𝜇の区間の面積）は 標準正規分布における0から1の区間の面積に等しい プラスとマイナスにまたがるときには分割しましょう 例 標準正規分布における-0.5から1.5の区間の面積 （＝あらゆる正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) における𝜇 − 0.5𝜎 から𝜇 1.5𝜎の区間の面積）は 標準正規分布における-0.5から0の区間の面積＋0から1.5の区間の面積に等しい 「0以上」や「0以下」の確率は0.5です 例 標準正規分布における-1以上の面積 （＝あらゆる正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) における𝜇 − 𝜎 以上の面積）は 標準正規分布における-1から0の区間の面積＋0以上の面積（=0.5）に等しい は実際に標準正規分布表で を探しながら慣 07 代表的な確率分布 ていってく さい 31

正規分布の性質 正規分布 ▌ 形変換 標準正規分布への 換ではこの性質を利用してい した 2 ) に従う き， 確率 数 𝑋 が正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 資料02 p. 16 換した 数 𝑎𝑋 𝑏 は𝑁 𝑎𝜇 𝑏, 𝑎2 𝜎 2 に従う ▌再生性 独立な2つの確率 数 𝑋, 𝑌 がそ ぞ その和 𝑋 𝜇𝑌 , 𝜎𝑋2 𝜎𝑌2 ) に従う 正規分布 𝑁(𝜇𝑋 − 𝜇𝑌 , 𝜎𝑋2 𝜎𝑌2 ) に従う 𝑌 は正規分布 𝑁(𝜇𝑋 その差 𝑋 − 𝑌 例 な 正規分布 𝑁 𝜇𝑋 , 𝜎𝑋2 , 𝑁(𝜇𝑌 , 𝜎𝑌2 ) に従う き， 分 はどちらで 和で に 注 （ らつきの 因が2つに増 てい け） 国語のテストの得 が 𝑁(60,102 )，数学のテストの得 が 𝑁(40,52 ) った場 ， 2教科の 計 の分布は 𝑁 60 40,102 52 = 𝑁 100, 11.182 な 07 代表的な確率分布 32

指数分布 幾何分布の連続変数バージョン ちなみに「𝑛 回発生す でにかかった時間」の確率分布は ガンマ分布 てい す （幾何分布 → 負の二項分布の 係 同じ） ▌ある事象が発生するまでにかかった時間 ▌事象自体はポアソン過程にそって発生すると仮定する ある事象が発生する確率が時間によって変わらない ▌指数分布に合う事象の例 電化製品が壊 での時間 病気になってから死亡す での時間 企業が上場す での時間 実際の ころ，こ らの時間は1日単 で測定さ こ が多いので 離 数 して扱って よい＝幾何分布を当ては て 良い は思い すが 一般的には指数分布で扱うこ が多いです。 07 代表的な確率分布 33

指数分布｜exponential distribution 指数分布 関数 パラメータ 𝑓 𝑋 = 𝑥 = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝜆 略記 一定時間に起こ 回数 の期待 𝐸𝑥𝑝(𝜆) 1 𝜆 1 𝜆2 平均値 分散 ▌ 無記憶性を持つ 「そ 以前にど 事象が発生す ただし け経過した」 いう情報が って なくて での時間の確率は わらない く で 発生確率が「時間によって パソコンもスマホもいつか壊れます レポートはこまめに保存しましょう わらない」仮定での話 つ り厳密には「劣化しないスマホ」や 「くじ引きで上場が 」的な 想定をしてい い す ▌パラメータを変えると様々な形の関数が書ける 𝐸𝑥𝑝(3) 𝐸𝑥𝑝(1) 07 代表的な確率分布 𝐸𝑥𝑝(0. ) 34

確率分布間の関係性 07 代表的な確率分布 35

二項分布 二項分布と正規分布の関係 二項分布｜ 二項分布 関数 パラメータ = さっきの = C も 確率 1 の 関数 なので 当たり確率 試行回数 略記 の ( , ) 平均値 は 分散 (1 を 的な の = を ( , , ) す の の は , = 170, 10 率なので では り ) パラメータを変えると様々な形の関数が書ける ( = 5, = 0.7) ( = 10, = 0.5) ( = 50, 意味 = 0.3) 説明 分布の 分 分布の ら り 的な 数の を は り の は てく さい ないですが 正規分布っぽく みえませんか？ = 1 × 10 170 × 10 確率 数 確率分布 代表的な確率分布 【二項分布の正規 】 𝑛 が十分に大きい き 二項分布は試行回数 𝑛 が十分に大きいとき 同じ平均値・分散をもつ正規分布によって することが出来ます。 𝐵(𝑝, 𝑛) 𝜇 = 𝑛𝑝, 𝜎 2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)の正規分布 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1 − 𝑝 ほぼおなじ形になる！ 07 代表的な確率分布 …で？ 36

二項分布 で，なにがうれしいの？ ▌計算が簡単になります。 例 ある居酒屋では，来店した客のうち50%が名物メニューを注文します。 このとき，ランダムに選んだ10名の客のうち4名以上が名物メニューを注文する確率は？ 二項分布 𝐵(𝑝, 𝑛) でちょうど𝑥回当た 確率は（二項定理を思い出して） 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 考え方①｜「４人注文」＋「５人注文」＋ … ＋「10人注文」 考え方②｜１－（「０人注文」＋「１人注文」＋「２人注文」＋「３人注文」） どっちにしろ何回か計算が必要になる この計算は高校で やったは ……もっと 𝑛 が増えたらどうしますか？ サンプルサイズは多いほうが良いですからね 07 代表的な確率分布 努力は報われるので ひたすら計算しますよ 37

二項分布 で，なにがうれしいの？ ▌計算が簡単になります。 例 ある居酒屋では，来店した客のうち50%が名物メニューを注文します。 このとき，ランダムに選んだ1000名の客のうち490名以上が名物メニューを注文する確率は？ 考え方①｜「490人注文」＋「491人注文」＋ … ＋「1000人注文」 統計的仮説検定や推定のところで この考え方が重要になってきます 511回も計算する？ 考え方②｜１－（「０人注文」＋「１人注文」＋ … ＋「489人注文」） 生意気言ってすみません 490回も計算する？ 正規 を使ってもっと楽に計算しましょう 07 代表的な確率分布 38

二項分布 二項分布の正規 50%の客が注文するメニューを 1000人中490人以上が注文する確率は？ 左の二項分布の赤いところを全部足す or １からグレーのところを全部引く 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(0.5, 1000) ≈ 𝑁(500, 50) 左の分布は正規分布に 𝑛 が十分に大きい き 𝐵(𝑝, 𝑛) あるいは 𝑁 𝑛𝑝, 𝑛𝑝 1 − 𝑝 ほぼおなじ形になる！ 07 代表的な確率分布 てるので 正規分布とみなして赤い部分の面積を求める 39

二項分布 二項分布の正規 50%の客が注文するメニューを 1000人中490人以上が注文する確率は？ 正規分布 𝑁(500, 50) において 𝑃(490 ≤ 𝑋) を 求 て げ 標準正規分布𝑁(0,1)において 𝑃(490 ≤ 𝑋) のカッコ内の両辺を標準化す 𝑋 ∼ 𝑁(500, 50) 𝑍= 𝑋−500 250 𝑃 490 − 500 50 ≤ 𝑋 − 500 50 =𝑃 −10 50 ほぼ同じ が出 は ≤𝑍 おく 𝑍 ∼ 𝑁(0,1) 07 代表的な確率分布 𝑃 −10 ≤ 𝑍 を求めてあげればよい 250 40

二項分布 二項分布の正規 −10 ≒ −0.63なので 250 • 青い面積 𝑃(0 ≤ 𝑍) …正規分布の対称性より0.5 • 赤い面積 𝑃 −0.63 ≤ 𝑍 ≤ 0 …標準正規分布表を使う 0.5 - 0.2643 0.2357 Ａ． およそ73.57% 【ちなみに】 全部足すと74.67% 𝑋 ∼ 𝑁(500, 50) 𝑍= 𝑋−500 250 近似なので全く同じ値にはなりません ※ここでは扱い が 「連続性の補正」をす う少し近い になり す おく 𝑍 ∼ 𝑁(0,1) 07 代表的な確率分布 41

（ちなみに）ポアソン分布も正規 できます ポアソン分布｜ ポアソン分布 関数 = = ! = .718 （ネイピア数） さっきの みたいな特殊な定数 パラメータ 一定時間に起こ 回数の期待 略記 ( ) 平均値 確率 の 分 が同じ いう特徴を つ 分散 も を の = は 的な を ( , , ) の 関数 なので す の の は 率なので では り パラメータを変えると様々な形の関数が書ける (0.5) ( ) (10) 意味 説明 分布の 分 的な 数の を の は 分布の ら り は り ないですが 正規分布っぽく , = 170, 10 みえませんか？ = てく さい 確率 1 × 10 170 × 10 数 確率分布 代表的な確率分布 【ポアソン分布の正規 】 𝜆 が十分に大きい き ポアソン分布は 𝜆 が十分に大きいとき 同じ平均値・分散をもつ正規分布によって することが出来ます。 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜆) 𝜇 = 𝜆, 𝜎 2 = 𝜆2 の正規分布 𝑁 𝜆, 𝜆2 ほぼおなじ形になる！ 07 代表的な確率分布 後の流 は同じなので省略 42

確率分布間の関係まとめ 参考： http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html ポアソン分布 𝜆大 𝑃𝑜𝑖𝑠(𝜆) 近似 𝑛大𝑝小 近似 成功回数 ベルヌーイ分布 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝) 複数回 試行 失敗回数 𝐵(𝑛, 𝑝) 二項分布 （対数正規分布） 対数 換 標準正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) 𝑛大 近似 正規分布 （t分布） 指数分布 𝐺𝑒(𝑝) 𝐸𝑥𝑝(𝜆) 複数 （負の二項分布） 07 代表的な確率分布 𝑁(0,1) 複数個の和 幾何分布 連続化 標準化 （カイ二乗分布） 複数 （ガンマ分布） 43

• http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html

当初の目的に立ち返ると ▌確率分布を関数で表せたらだいぶ楽になってきた 次回はこの部分 例 母集団分布が 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) の場合 標本分布は 𝑁(? , ? ) になる ？ 母集団分布 例 標本分布𝑁(? , ? )を生み出す母集団分布は 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )と考えるのが最も妥当 母平均は 𝜇 と考えるのが妥当だろう！ 07 代表的な確率分布 例 母集団分布に確率分布を仮定した場 標本分布 確率分布になり す 各標本の値と同じように標本統計量も 確率変数だということです 標本分布 私達が実際に 分かる範囲 標本平均 𝑥ҧ 標本平均 𝑥ҧ を生み落とした 標本分布は𝑁(? , ? )が最もしっくり来る 44

中心極限定理の証明 補足資料 07 代表的な確率分布 45

（前提知識）母関数 以後， 数𝑓(𝑥)を𝑛回微分した のを 𝑓 𝑛 𝑥 表し す。 generating function ▌母関数（生成関数） 数列の情報をすべて含む 数列のすべての項を生み出 こ から 「母」 数 てい ようです 数 数列 𝒂 = 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑘 , ⋯ の（通常型）母 数は 【使い方の一例】 母関数が分かれば一般項 𝑎𝑛 を簡単に求められる ∞ 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 やりかた 𝑘=0 母 数を𝑛回微分して𝑥 = 0を いた のを𝑛! で割 𝑓𝑛 0 𝑎𝑛 = 𝑛! 例 数列 𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑘 , ⋯ = {1, ∞, ⋯ , 𝑘, ⋯ } の（通常型）母 数は 𝑓 𝑥 = ෍ 𝑘𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑥2 3𝑥 3 ⋯ 𝑘𝑥 𝑘 𝑘=0 例 3回微分す 𝑓 (3) 𝑥 = 3 ⋅ 3! 項) な た (𝑥の含 ⋯ 𝑓3 0 ，確かに 𝑎3 = 3! =3 とりあえず「なにかの列をすべて生み出せるもの」が母関数だと思ってください ポイント 母関数と数列は一対一対応 ∞ ∞ ෍ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 = ෍ 𝑏𝑘 𝑥 𝑘 ⟺ 𝒂 = 𝒃 𝑘=0 07 代表的な確率分布 𝑘=0 46 け

（前提知識）モーメント母関数 資料02 pp. 37-39 moment-generating function モ ント＝「 からの偏差」に す 量 ▌モーメント（積率）母関数 モーメントの情報をすべて含む 確率分布𝑓(𝑋 = 𝑥)のモ 数 ント母 数は 【使い方の一例】 𝑛 次のモーメントを簡単に求められる ∞ 𝑀𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 = つ り𝑒 の期待 න 𝑒 𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 やりかた 𝑥=−∞ 𝑡𝑋 𝑡について𝑛回微分して𝑡 = 0を代入す 離散型の場合は和に変わるだけ 例 正規分布のモ (𝑛) 𝐸(𝑋 𝑡 ) = 𝑀𝑋 ント母 数は𝑀𝑋 𝑡 = 𝜇𝑡 1 2 2 𝜎 𝑡 2 𝑡 = 𝜇 𝜎 2𝑡 𝜇𝑡 1 2 2 𝜎 𝑡 2 (2) 𝑡 = 𝜎2 𝜇 𝜎 2𝑡 2 𝜇𝑡 𝑀𝑋 𝑡について2回微分す 𝑀𝑋 0 計算は次ペ ジ (1) 𝑡について1回微分す ちなみに分 (1) な た 𝑀𝑋 1 2 2 𝜎 𝑡 2 け 0 =𝜇 (2) なり， 𝑀𝑋 (2) 𝑀𝑋 𝑡 − 𝑀𝑋1 𝑡 0 = 𝜎2 𝜇2 とりあえず「すべてのモーメントを生み出せるもの」だと思ってください ポイント モーメント母関数と確率分布は一対一対応 07 代表的な確率分布 ・分 を始 全てのモ は ントが一致す ので 47 𝟐

（補足）正規分布のモーメント母関数の導出 モーメント母関数 正規分布の確率 関数 1 𝑥−𝜇 2 − 𝜎2 ∞ 𝑀𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 = に න 𝑒 𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥=−∞ ∞ 𝑀𝑋 𝑡 = න 𝑡𝑥 𝑥=−∞ ∞ = 1 න 𝜋𝜎 2 𝑥=−∞ 1 𝜋𝜎 2 𝑥−𝜇 2 − 𝑑𝑥 𝜎2 𝜋𝜎 2 (𝑡𝑥) は同じです 𝑒 𝑡𝑥 𝑥−𝜇 2 𝑡𝑥 − 𝑑𝑥 𝜎2 を代入 (𝑎) 𝑏 = 𝑒𝑎 𝑒𝑏 = (𝑎 𝑏) 𝑥について 方完成さ − 1 − 𝜎 2 𝑡𝑥 2 𝜎 𝑥 2 − 𝜇𝑥 1 𝑥 2 − 𝜇 𝜎 2𝑡 𝑥 2 𝜎 1 = − 2 𝑥 2 − 𝜇 𝜎 2𝑡 𝜎 1 = − 2 𝑥 − 𝜇 𝜎 2𝑡 2 𝜎 𝜇2 = − 07 代表的な確率分布 𝜇2 𝜎 2 𝑡 2 − 𝜇𝜎 2 𝑡 − 𝜎 2 𝑡 2 𝜇 𝜇𝑡 1 𝜎 2𝑡 2 48

（補足）正規分布のモーメント母関数の導出（続き） ∞ 𝑀𝑋 𝑡 = 1 න 𝜋𝜎 2 𝑥=−∞ ∞ = 1 න 𝜋𝜎 2 𝑥=−∞ = 𝜇𝑡 1 𝑥−𝜇 2 𝑡𝑥 − 𝑑𝑥 𝜎2 − 1 𝑥− 𝜇 𝜎2 ∞ 𝜎 2𝑡 2 න 𝑥=−∞ 1 𝜋𝜎 2 𝜎 2𝑡 − 2 𝑥− 𝜇 𝜇𝑡 1 𝜎 2𝑡 2 𝜎 2𝑡 𝜎2 𝑑𝑥 前ペ ジの 方完成を反映さ 積分 無 係な項を前に出す 2 𝑑𝑥 正規分布𝑁(𝜇, 𝜎 2 )の確率 正規分布𝑁(𝜇 𝜎 2 𝑡, 𝜎 2 )の 確率 関数 𝑓 𝑥 = 1 𝜋𝜎 2 関数 𝑥−𝜇 2 − 𝜎2 正規分布の全領域の面積なので1になる 正規分布 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )のモーメント母関数は 𝑀𝑋 𝑡 = 07 代表的な確率分布 𝜇𝑡 1 𝜎 2𝑡 2 49

（補足）正規分布のモーメント母関数の微分 正規分布のモーメント母関数は𝑀𝑋 𝑡 = 𝜇𝑡 1 2 2 𝜎 𝑡 2 ▌ 1回微分する 𝑀𝑋 𝑡 = 𝜇𝑡 1 𝑒の微分のルール • 𝑒 𝑥 を微分す 𝑒𝑥 合成関数の微分 𝜎 2𝑡 2 1 𝜇𝑡 𝜎 2 𝑡 2 = 𝑢 おく ， 𝑀𝑋 𝑡 = 𝑢 2 こ を微分す 𝑑𝑢 1 2 2 (1) 𝑀𝑋 𝑡 = 𝑢 = (𝜇 𝜎 2 𝑡) 𝜇𝑡 𝜎 𝑡 𝑑𝑡 ▌ 2回微分する (1) 𝑀𝑋 𝑡 = (𝜇 𝜎 2 𝑡) 𝑢 2 𝑓 𝑥 = 𝜇 𝜎 𝑡, 𝑔 𝑥 = 𝑢 してこ を微分す (2) 𝑀𝑋 𝑡 = 𝑓 (1) 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(1) (𝑥) = 𝜇 𝜎 2 𝑡 (1) 𝑢 𝜇 𝜎 2𝑡 𝑢 (1) = 𝜎2 𝑢 𝜇 𝜎 2𝑡 2 𝑢 1 2 2 2 2 2 = 𝜎 𝜇 𝜎 𝑡 𝜇𝑡 𝜎 𝑡 07 代表的な確率分布 数 𝑓(𝑥) を 𝑥 について微分したい き 𝑓(𝑥)の一部を 𝑢 おくこ で 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑢 𝑓1 𝑥 = = 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 分解して微分を クにでき （か ） 積の微分 ２つの 数の積𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)の微分は 𝑓 (1) 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(1) (𝑥) で求 ら 50

（前提知識）特性関数 ∞ 実数の範囲内で‫=𝑥׬‬−∞ 𝑒 𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥の積分が収束しないこ が り その場 モ characteristic function ント母 数は存在しないこ になってし い す ▌特性関数 モーメント母関数の一般化 確率分布𝑓(𝑋 = 𝑥)の特性 数は 【使い方の一例】 𝑛 次のモーメントを簡単に求められる ∞ 𝜑𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑖𝑡𝑋 = つ り𝑒 𝑖𝑡𝑋 の期待 න 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 やりかた 𝑥=−∞ 𝑡について𝑛回微分して𝑡 = 0を代入して𝑖 𝑛 で割 離散型の場合は和に変わるだけ 例 正規分布の特性 数は𝜑𝑋 𝑡 = 1 𝜇𝑖𝑡 − 2 𝜎 2 𝑡 2 𝑛 𝜑 0 𝐸(𝑋 𝑡 ) = 𝑋 𝑛 𝑖 モ (1) 𝑡 = 𝜇𝑖 − 𝜎 2 𝑡 (2) 𝑡 = 𝜎 2 − 𝜇𝑖 − 𝜎 2 𝑡 2 𝑡について1回微分す 𝜑𝑋 𝑡について2回微分す 𝜑𝑋 け ント母 数が 場 1 は 𝑡 を 𝑖𝑡 に き換 (1) な た 𝜑𝑋 𝜇𝑖𝑡 − 2 𝜎 2 𝑡 2 1 𝜇𝑖𝑡 − 2 𝜎 2 𝑡 2 け 0 =𝜇 (2) なり， 𝜑𝑋 ちなみに分 (2) 𝜑𝑋 0 = 𝜎2 𝑡 − 𝜑𝑋1 𝑡 𝜇2 シンプルにモーメント母関数の一般化だと思ってください ポイント 特性関数と確率分布は一対一対応 07 代表的な確率分布 ・分 を始 全てのモ は ントが一致す ので 51 𝟐

（前提知識）テイラー展開 数を において多項 数 𝑓(𝑋 = 𝑥)の𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑎 𝑓 (1) 𝑎 1! で近似す 方法 りでのテイ 𝑥−𝑎 展開は 𝑓 (2) 𝑎 ! ∞ 𝑥−𝑎 2 𝑓 (𝑘) 𝑎 ⋯=෍ 𝑘! 𝑥−𝑎 𝑘 特に𝑎 = 0 りでの展開は マクローリン展開 す 𝑘=0 【実際の使用時】 適当な項までしか使わない 𝑛 𝑓 (𝑘) 𝑎 𝑓 𝑥 =෍ 𝑘! 例 𝑓𝑥 = 誤差として無視 ∞ 𝑓 (𝑘) 𝑎 ෍ 𝑘! 𝑥−𝑎 𝑘 𝑘=0 𝑥−𝑎 𝑘 (𝑥) を𝑥 = 0 で近似（マクロ リン展開）した場 • １次の近似： 𝑓 0 • ２次の近似：1 𝑥 𝑓(2) 0 2! =1 𝑥 1 2 𝑥 2 𝑓(3) 0 3! • ３次の近似：1 𝑓 (𝑘) 𝑎 𝑓 𝑥 ≃෍ 𝑘! 𝑥−𝑎 𝑘 𝑘=0 𝑘>𝑛 𝑓(1) 0 𝑥=1 1! 𝑛 (𝑥) 𝑥 が０に いところでは うまく できている 𝑥 1 2 𝑥 2 𝑥 =1 𝑥 1 2 𝑥 2 1 3 𝑥 6 07 代表的な確率分布 次数が多いほど の性能が良くなる 52

ようやく中心極限定理の証明 方針1 （連続性定理） もし期待値 𝜇 ，分散 𝜎 2 の確率分布に従う確率変数 𝑋 の標本平均 𝑋ത の特性関数が 正規分布 𝑁 𝜎2 𝜇, 𝑛 2 𝜎 の特性関数と一致していたら，標本平均 𝑋ത は正規分布𝑁 𝜇, 𝑛 に分布収束するといえる 𝑛 標本 1 𝑋ത = ෍ 𝑥𝑖 は，期待 𝑛 𝑖=1 標準化した値 𝑍ҧ = 方針2 𝑋ത − 𝜇 は，期待 2 𝜎 / 𝑛 𝜇，分 𝜎2 にな 𝑛 ので まだ正規分布になるかはわからないが とりあえず期待値と分散は分かる段階 0，分 確率分布が何で って 期待 𝑎𝜇𝐴 , 𝑎𝜇𝐵 の2 数の和の期待 は 𝑎𝜇𝐴 𝑎𝜇𝐵 分 𝑏𝜎𝐴2 , 𝑏𝜎𝐵2 の2 数の和の分 は𝑏2 𝜎𝐴2 𝑏2 𝜎𝐵2 1 にな もし標準化した標本平均 𝑍ҧ の特性関数が標準正規分布 𝑁 0, 1 の特性関数と一致していたら 𝑍ҧ は𝑁 0,1 に分布収束する 2 𝜎 𝑋ത は𝑁 𝜇, 𝑛 に分布収束するといえる 標本平均 𝑍ҧ の特性関数 𝜑𝑍ത 𝑡 の中身を見ていきます 07 代表的な確率分布 53

中心極限定理の証明続き 方針2 もし標準化した標本平均 𝑍ҧ の特性関数が標準正規分布 𝑁 0, 1 の特性関数と一致していたら 𝑍ҧ は𝑁 0,1 に分布収束する 𝜑𝑍ത 𝑡 = 𝐸 𝜎 𝑋ത は𝑁 𝜇, 2 𝑛 に分布収束するといえる 𝑖𝑡𝑍ҧ ここで 𝜑𝑧 𝑋ത − 𝜇 𝑖𝑡 2 𝑍ҧ を に戻す 𝜎 𝑛 1 𝑛 σ𝑖=1 𝑥𝑛 − 𝜇 𝑛 𝑋ത を に戻す 𝑖𝑡 𝜎2 𝑛 𝑛 1 𝑥𝑖 − 𝜇 () の中身を全て ෍ 𝑖𝑡 2 シグマ 数の中に押し込む 𝑛 𝜎 =𝐸 =𝐸 =𝐸 𝜑𝑧 𝜑𝑧 =𝐸 =𝐸 𝜑𝑍ത 𝑡 = 𝜑𝑧 𝑖𝑡 𝑛 𝑛 𝑥 −𝜇 𝑧𝑖 = 𝜎𝑖 2 𝑖𝑡 𝑧2 ⋯ 𝑛 をマクロ リン展開す 1 𝑖𝑡 = 𝜑𝑧 0 𝑛 𝜑𝑧 𝑖𝑡 =𝐸 𝑛 𝑧 𝑖𝑡 𝑛 0 1 2 𝑖𝑡 𝑛 1! 𝑧𝑖 は期待 𝜑𝑧 𝑖=1 𝑛 𝑧𝑖 ෍ 𝑖𝑡 𝑛 𝑖=1 𝑧1 𝑖𝑡 𝑛 𝑛 乗の中身を 𝑖𝑡 𝑛 𝜑𝑧 න 𝑒 𝑖𝑡 𝑛 ! ∞ = 0 𝑖𝑡 𝑧 𝑛 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 2 （誤差） ∞ より 𝜑𝑧 0 = 𝑧=−∞ 𝑧=−∞ 0 = 0，分 න 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 = 1 2 𝜑𝑧 1 0 − 𝜑𝑧 0 2 = 1 なので おく（標準化） 𝑖𝑡 𝑧𝑛 𝑛 (𝑎 𝑏) = 𝑎 (𝑏) 𝜑𝑧 𝑖𝑡 1 =1− 𝑛 𝑡 𝑛 2 𝑡2 したがって 𝜑𝑍ത 𝑡 = 1 − 𝑛 ҧ （𝑍ではなく）𝑧 𝑖 の特性 数を使って書き換 07 代表的な確率分布 (誤差) 𝑛 誤差 54

中心極限定理の証明続き 方針2 もし標準化した標本平均 𝑍ҧ の特性関数が標準正規分布 𝑁 0, 1 の特性関数と一致していたら 𝑍ҧ は𝑁 0,1 に分布収束する 𝜎 𝑋ത は𝑁 𝜇, 2 𝑛 に分布収束するといえる 𝑡2 標準化した標本平均 𝑍ҧ の特性関数 𝜑𝑍ത 𝑡 = 1 − 𝑛 ここで，指数 数の定義 𝑥 = lim 1 𝑛→∞ 𝑛 誤差 誤差は小さいので無視し す 𝑡2 𝜑𝑍ത 𝑡 = 1 − 𝑛 𝑥 𝑛 を用い 𝑛 ここで極限をとっているため，中心極限定理は サンプルサイズが大きいときに 的に成り立つ 正規分布 𝑁 𝜇, 𝜎 2 の特性 数は𝜑𝑋 𝑡 = 1 𝜇𝑖𝑡 − 2 𝜎 2 𝑡 2 標準正規分布 𝑁 0,1 の特性 数は𝜑𝑋 𝑡 = 𝑛 = 1 − 𝑡 𝑛 2 𝑛 = − ポイントは， p.53の段階では分布 を指定 に 2 確率分布の「期待値 𝜇 ，分散 𝜎 」 け たこ 母集団分布が正規分布でなくても 何であっても分布収束が成り立つことが示せた 𝑡2 −2 というわけで， 𝑍ҧ の特性関数𝜑𝑍ത 𝑡 が𝑁 0,1 の特性関数に一致することが示されました。 特性関数と確率分布は一対一対応なので， 𝑍ҧ の確率分布は したがって，標本平均 𝑋ത の確率分布も 07 代表的な確率分布 𝑡2 的に 𝑁 0,1 となる 的に 𝑁 𝜎2 𝜇, 𝑛 となる 55