--- title: 機械回路の記号解析 その11 tags: #機械系のためのメカトロニクス #伝達マトリクス、メカトロニクス、電気回路、モビリティ、ltspice、アナロジー author: [下条誠](https://docswell.com/user/m_shimojo) site: [Docswell](https://www.docswell.com/) thumbnail: https://bcdn.docswell.com/page/YJ9LYQX8E3.jpg?width=480 description: 今回は機械回路の本筋に戻り、「変位系のモビリティ」および「行列表現（電気回路の縦続/F行列に相当）による入出力解析」についての解説します。そして、電気回路の相反定理やテブナンの定理を機械回路へ応用した例や、多段フィルタについて紹介します。 概論 0.機械回路のモビリティ 速度と力のモビリティ定義（従来） 変位と力のモビリティ定義（New） 1.伝達マトリクス法 　1.1伝達マトリクスとは？ 　1.2変位系と速度系の変換行列 　1.3基本素子のモビリティ 　1.4電気回路と機械回路の比較 2.電気回路の定理を機械回路系へ応用 　2.1相反定理 　2.2Maxwell相反定理 　2.3伝達マトリクスの逆行列 　2.4電気回路での伝達マトリクス 　2.5テブナンの定理 　2.6テブナンの定理（例1） 　2.7テブナンの定理（例2） 　　 3.伝達マトリクスの接続 　3.1直列接続（直列素子） 　3.2直列接続（並列素子） 　3.3並列接続 　3.4並列接続(例題１) 　3.5並列接続(例題2) 4.多段要素の接続 　4.1多段要素の接続 　4.2特性モビリティ 　4.3多段フィルタでの振幅比 ・プログラムpython 　4.4多段フィルタでの入力インピーダンス 　 　・プログラムpython 　　　　　　 5. Ltspiceでの検証 　5.1 Ltspiceでの検証(周波数軸) 　5.2 Ltspiceでの検証(時間軸) 　 　 Appendix ・電気回路でのF行列の意味 ・双曲線関数 　 つづく 補足：中田孝氏について 補足：私の卒論・就職・修論（改定版） 参考文献 published: November 09, 26 canonical: https://docswell.com/s/m_shimojo/KVJ3RQ-2026-11-09-132926 --- # Page. 1 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9LYQX8E3.jpg) 2026.11.9 機械回路の記号解析 その11 --- 伝達マトリクス法 part1 --機械系のためのメカトロニクス ⚫ 入出力関係を行列表現で表して、 解析する手法の紹介です ⚫ 電気回路の定理を機械回路系へ 応用した例など解説します 下 条 電気通信大学名誉教授 伝達マトリクス The University of Electro-Communications 誠 Department of Mechanical Engineering and Intelligent System # Page. 2 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8X6G2Z7D.jpg) 内 概論 0.機械回路のモビリティ a. 速度と力のモビリティ定義（従来） b. 変位と力のモビリティ定義（New） 1.伝達マトリクス法 1.1伝達マトリクスとは？ 1.2変位系と速度系の変換行列 1.3基本素子のモビリティ 1.4電気回路と機械回路の比較 2.電気回路の定理を機械回路系へ応用 2.1相反定理 2.2Maxwell相反定理 2.3伝達マトリクスの逆行列 2.4電気回路での伝達マトリクス 2.5テブナンの定理 2.6テブナンの定理（例1） 2.7テブナンの定理（例2） 3.伝達マトリクスの接続 3.1直列接続（直列素子） 3.2直列接続（並列素子） 3.3並列接続 容 3.4並列接続(例題１) 3.5並列接続(例題2) 4.多段要素の接続 4.1多段要素の接続 4.2特性モビリティ 4.3多段フィルタでの振幅比 ・プログラムpython 4.4多段フィルタでの入力インピーダンス ・プログラムpython 5. Ltspiceでの検証 5.1 Ltspiceでの検証(周波数軸) 5.2 Ltspiceでの検証(時間軸) Appendix ・電気回路でのF行列の意味 ・双曲線関数 つづく • 補足：中田孝氏について • 補足：私の卒論・就職・修論（改定版） • 参考文献 2 # Page. 3 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJL89G21ER.jpg) はじめに 機械の振動系と電気回路が同じように取り扱えると、知ったのは中田孝氏の書籍「工 学解析」でした。同書は、Lagrange運動方程式、Fourie解析、変分法、テンソル解 析など物理学者の数学的道具を機械工学を学ぶ学生に分かり易く解説したものです。 その中に機械回路の記号解析がありました。これがアナロジーというものに関心を 持った始めでした。 機械系と電気系のアナロジーについて学ぶに従い、「物理量の捉え方」の一つとして 流通量と位差量があること、これにより機械と電気系の物理変数の対応関係ができる こと、さらに流体系、熱回路、音響工学など広い分野の物理現象の解析にアナロジー の考え方が使えることに興味を覚えたものです。また双対性の概念は、各種物理現象 への新たな視点を得るきっかけとなりました。 さて、機械系メカトロニクス講義の続きとして、新たに機械回路をはじめます。今回 は伝達マトリクス法です。しばらくモーターや熱の話題が続いていましたが、今回は 機械回路の本筋に戻り、「変位系のモビリティ」および「行列表現（電気回路の縦続 /F行列に相当）による入出力解析」についての解説します。そして、電気回路の相反 定理やテブナンの定理を機械回路へ応用した例や、多段フィルタについて紹介します。 https://github.com/m4881shimojo/transferMatrix 参考文献 中田孝:工学解析(技術者のための数学手法)、オーム社、1972。 3 # Page. 4 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47M6ZQ85JW.jpg) 概論 伝達マトリクス法 4 今回は、入出力関係を行列表現で表して、解析する手法の紹介です 𝑥2 𝑥1 𝑓1 input c a 𝑓2 output 𝑥1 𝑓1 = 𝑐 1+ 𝑠 𝑎 s a c 1 𝑥2 𝑓2 1. 始めに、新たなモビリティー“変位と力のモビリティに𝜆𝑥 ”ついて説明します 2. そして、入出力関係の行列（マトリクス）表現では 2×2行列から始めます。 これは電気回路でお馴染みの2ポート回路（ 2×2行列）です。 3. 次に、電気回路の定理を機械回路系へ応用した例として、相反定理、テブナ ンの定理について説明します。 4. それから、機械要素の直列接続、並列接続について説明します。そして多段 要素の接続として機械フィルタの例を示します。 # Page. 5 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7RP685ZJ9.jpg) 0. 機械回路のモビリティ 5 これまでの機械回路のモビリティは、電気回路 でのインピーダンスに対応するものでした。 今回の伝達マトリクス法では、 新たなモビリティー“変位と力のモビリティに𝜆𝑥 ”を導入します 機械回路の記号解析 その１「電気回路アナロジーによる解析手法」 https://www。docswell。com/s/m_shimojo/57REQ7-2024-11-05140854 # Page. 6 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJX3M8K17X.jpg) a. 速度と力のモビリティ（従来） 機械回路のモビリティ 𝒇 𝒇 𝜆 = 𝑣1 − 𝑣2 Τ𝑓 機械要素を通過する 力と速度差との関係 λ 𝑣1 𝑣2 λ : mobility f : force v : velocity 6 # Page. 7 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3JKYGK5M7D.jpg) a. 速度と力のモビリティ（従来） 7 機械要素を通過する力と速度差との関係 機械系 v(t) 速度 f(t) f3 k f2 d f1 電気系 i3 電圧 e(t) L i2 R i i1 C m 𝑓 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 𝑑𝑣 𝑓=𝑚 + 𝑑𝑣 + 𝑘 න 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑒 1 1 𝑖=𝐶 + 𝑒 + න 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅 𝐿 モビリティ－： 𝑣 𝜆= 𝑓 インピーダンス： 𝑍= 𝐸 𝐼 # Page. 8 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE39NZK2E5.jpg) b. 変位と力のモビリティ New! 電気回路とのアナロジーでは、機械系での速度を扱ってきたけど、 機械では位置や変位の方が馴染みがあるねよね。 従来 速度 𝑣1 𝑣2 𝑓1 𝑓2 そうね。パラメータで速度を 使って機械を設計するよりも、 変位を使う方がわかり易い場合 が多い気がする。 𝜆 New! 𝑥2 𝑥1 𝑓1 位置 c 𝜆𝑥 𝑓2 次では、機械系での変位 を扱う、新たなモビリ ティー、変位と力のモビリ ティについて説明します。 8 # Page. 9 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDGWR36EG.jpg) b. 変位と力のモビリティ New! 1. 速度と力： Δ𝑣 = 𝑣1 − 𝑣2 = 𝜆𝑓 9 速度 従来 2. 変位と力： 𝛥𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 = 𝜆𝑥 𝑓 変位 New! 変位と力の関係式 機械系では 変位の方が 馴染みがあ るね 𝜟𝒙 = 𝝀𝒙 𝒇 となる 𝝀𝒙 を 変位・力系のモビリティーと定義する # Page. 10 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P39WPZJ8.jpg) これまでのモビリティとの違い 10 1. 電気回路のアナロジとして機械回路を解析するモビリィ法 では、要素の入力端、出力端の速度差Δv をその要素を通る 力fで除したものとして定義しました。 従来 Δ𝑣 𝜆= 𝑓 2. モビリティ法で速度を用い定義した理由は、電気回路の電 圧と電流に対応させるためのものでありました。 従来 対応関係: 𝑓 𝐼, 𝑣 𝑉 3. これまでのモビリティ法では f1 = f2という制限がありまし た。これは要素を流れる流通量（電流など）の連続性から 要請されます。 従来 4. しかし、伝達マトリクス法では f1 ≠f2 でよく、モビリティ 法より自由度が高い。また本来、機械回路では、速度より 変位の方が身近に感じられるため、より自然な考え方で機 械回路が解析できるメリットがあります。 New! 制限: 𝑓1 = 𝑓2 制限ない: 𝑓1 ≠ 𝑓2 OK # Page. 11 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JV4M82M7Q.jpg) まとめ：機械回路のモビリティ 11 変位・力系と速度・力系のモビリティの関係です mobility 一般 New! 従来 変位・力系 速度・力系 𝜆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 𝑓 𝜆= 備 考 𝑣1 − 𝑣2 𝑓 x : 位置 m ,v :速度 𝑚/𝑠 f :力 N d: 粘性抵抗係数 𝑁 𝑠/𝑚 𝑎 = 1Τ𝑑 𝑚𝑠 −1 N −1 ダンパ 𝜆 𝑥 = 𝑎 Τ𝑠 𝜆=a ばね 𝜆𝑥 = 𝑐 𝜆 = 𝑐𝑠 質量 𝜆𝑥 = 𝑚𝑠 2 −1 𝜆 = 𝑚𝑠 −1 これらの導出は次の伝達マトリクスの項で行います。 k: ばね剛性 N/𝑚 c = 1Τ𝑘 ∶ コンプライアンス m: 質量 𝑘𝑔 𝜆𝑥 = 𝜆Τ𝑠 # Page. 12 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EG1G5RXJL.jpg) 伝達マトリクス法 12 # Page. 13 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQDXZV57P.jpg) １．伝達マトリクス法 電気回路で4端子回路 は授業で習うわ。そ の行列は2×2行列だ けど。 4端子回路= 2ポート回路 𝑥2 𝑥1 𝑓1 input c 𝑓2 a 𝑥1 𝑥2 = Γ 𝑓1 𝑓2 Γ= *状態変数とか、伝達方向、 独立性など、気を付ける必要 がある。単純にはいかない。 まずは馴染みのある 2ポート回路（ 2×2 行列）から始めます output 𝑐 1+ 𝑠 𝑎 s a 2×2行列だけでな く、 n×n行列*で 入出力関係を表す こともあるよね c 1 伝達マトリクス 13 # Page. 14 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K74Z63MVE1.jpg) １．伝達マトリクス法 これまでは機械と電気のアナロジを使って回路シミュレータ で機械系の解析を行ってきたね。 回路シミュレーションは有用と思うけど、ほかにも役に 立ちそうな方法はありそう。 システム解析などでは入出力関係を行列で表現して特性 を調べる方法があるね。電気回路でもインピーダンス行 列とか、F行列など習った覚えがあるかな。 𝜃1 𝜏1 𝜃2 c a 𝜏2 𝐽 今回は、入出力関係を 行列（マトリクス）で 表して、解析する手法 の紹介ですね 14 # Page. 15 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1RV184JG.jpg) 1.1 伝達マトリクスとは？ 15 図のような、ばねとダンパから構成される機構があります。これの 入出力の相互関係を求めます。 ⚫ 入力： 変位 𝒙𝟏 ，力 𝒇𝟏 ⚫ 出力： 変位 𝒙𝟐 ，力 𝒇𝟐 𝑥2 𝑥1 𝑓1 input 1. ばねに関して次の関係があります。 c 𝑓2 a output 𝑥1 − 𝑥2 = c𝑓1 ⋯ (a) 2. ダンパに掛かる力をｆとすると次の関係があります。 𝑓 = 𝑓1 − 𝑓2 3. そして、ダンパの変異はx2であるので 4. dΤdtを微分演算子sとすれば次のようになります 𝑠 = 𝑑Τ𝑑𝑡 5. (a), (b)より次のように なります 𝑥1 = 𝑥2 + 𝑐𝑓1 = 𝑥2 + 𝑐 6. (b)を書き換えれば次のようになります 𝑑𝑥2 = 𝑎𝑓 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 𝑥2 = 𝑓= 𝑠 𝑠 𝑓1 − 𝑓2 ⋯ (b) 𝑠 𝑐 𝑥2 + 𝑓2 = 1 + 𝑠 𝑥2 + 𝑐𝑓2 ⋯ (c) 𝑎 𝑎 𝑓1 = s 𝑥 + 𝑓2 a 2 ⋯ (d) # Page. 16 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJW1L8ZZE2.jpg) 1.1 伝達マトリクスとは？ 7. (c), (d)を次の次のように表し 16 𝑥1 = A𝑥2 + B𝑓2 𝑓1 = 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑓2 8. マトリクス形式で書くと 𝑥1 A = 𝑓1 C B D 𝑥2 𝑓2 Γ= A B C D 伝達マトリクス 9. ここで𝜞を伝達マトリクスと呼ぶ 10. そこで、(c), (d)から上式のマトリクス形式で記述すると次のようになります 𝑥1 𝑥2 𝑓1 = Γ 𝑓2 Γ= 𝑐 1+ 𝑠 𝑎 s a c 1 伝達マトリクス 𝑠 = 𝑑Τ𝑑𝑡 次は、 ばねとダンパを直列につないだ機構→行列の掛け算で表現可能 # Page. 17 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZPM81LJ3.jpg) 1.1 伝達マトリクスとは？ 17 直列接続するには各要素の伝達マトリクスをかけ合わせればよい 𝑓1 𝑥1 𝑥2 𝑓2 直列接続 𝑓1 𝑓2 𝑥2 𝑥1 c (a) 直列ばねの伝達関数 𝑥1 1 = 𝑓1 0 c 1 𝑥2 𝑓2 Γa = (b) 並列ダンパの伝達関数 1 0 c 1 𝑥1 1 = 𝑓1 sΤa 0 1 𝑥2 𝑓2 Γb = 1 sΤa 0 1 ここで、(a),(b)を直列接続してみましょう。それは(a)の(x2,f2)を(b)の(x1,f1)に接続する ことに相当しますから、次のようになります 𝑥1 𝑥2 = Γ Γ a b 𝑓1 𝑓2 この行列演算を行うと次のようになり、すでに述べた伝達マトリクスになります。 1 𝛤𝑎 𝛤𝑏 = 0 𝑐 1 1 𝑠 Τ𝑎 𝑐 1+ 𝑠 0 𝑎 = 1 𝑠 Τ𝑎 𝑐 1 前頁の伝達マトリクス になった 伝達マトリクスは、系をいくつかの要素に分割し、それぞれの入出力関係を行列で表し、 行列の積によって全体の特性を求める考え方です。 # Page. 18 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76MNPLMEV.jpg) 1.2 変位系と速度系の変換行列 変位系 Γ𝑥 = 𝐷−1 𝛤𝑣 𝐷 Γ𝑥 Γ𝑣 速度系 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 伝達マトリクスは、もちろ ん速度系での記述も可能で す。変位系と速度系の変換 について説明します。 18 # Page. 19 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75Z5K1QJ4.jpg) 1.2 変位系と速度系の変換行列 19 機械の分野では、速度よりも変位の方が身近に感じられます。これまで機械回路でモビリティ を使ったのは、電気回路の電圧と電流に対応させるためでした。 そこで、伝達マトリクスを、速度vと力fで定義するとどうなるか求めてみます。 まず、速度と変位の関係は下記のように微分演算子sを用いて下記のように表せます。 𝑑𝑥 𝑣= = 𝑠𝑥 𝑑𝑡 𝑥 = න 𝑣𝑑𝑡 = 𝑠 −1 𝑣 次にを速度系と変位系のマトリクスは下記のように表せます。 𝑣1 𝑠 = 𝑓1 0 0 1 𝑥1 𝑓1 𝑥2 𝑠 −1 = 𝑓2 0 0 1 𝑣2 𝑓2 ここである要素の伝達マトリクスを𝛤𝑥 とすると次のようになります。 𝑥1 𝑥2 = 𝛤 𝑥 𝑓 𝑓1 2 これらを用いて速度系と変位系のマトリクスの変換行列を求めてみます。 𝑣1 𝑠 = 𝑓1 0 0 1 𝑥1 𝑠 = 𝑓1 0 𝑥2 0 𝑠 𝛤𝑥 𝑓 = 1 0 2 −1 0 𝛤𝑥 𝑠 1 0 0 1 𝑣2 𝑓2 # Page. 20 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2RNW1W7R.jpg) 1.2 変位系と速度系の変換行列 20 そして、変位微分行列Dとその逆行列D-1を用いると、速度系と変位系のマトリクスの変換行列 は次のようになります。 𝑣1 𝑠 = 𝑓1 0 −1 0 𝑠 𝛤 1 𝑥 0 0 1 𝑣2 𝑣2 −1 = 𝐷𝛤 𝐷 𝑥 𝑓2 𝑓2 𝑠 0 D= 0 1 −1 D −1 𝑠 = 0 0 1 以上この要素の速度系の伝達マトリクスΓ𝑣 は、変位系の伝達マトリクス𝛤𝑥 を用いて次の ようになります。 𝑣1 𝑣2 −1 = 𝐷𝛤 𝐷 𝑥 𝑓1 𝑓2 𝛤𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷 −1 x1 x2 −1 𝛤 𝐷 = 𝐷 v 𝑓1 𝑓2 𝛤x = 𝐷 −1 𝛤v 𝐷 変位・力系と速度・力系の伝達マトリクス変換 変位系 Γ𝑥 = 𝐷−1 𝛤𝑣 𝐷 Γ𝑥 Γ𝑣 速度系 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 # Page. 21 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYDPLZ9EM.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(ばね) 21 1. 直列ばね 𝑥2 𝑥1 𝑐 = 1Τ𝑘 𝑚/𝑁 c 𝑓1 𝑣2 𝑣1 𝑓2 c 𝑓1 k: ばね剛性 N/𝑚 𝑘 ∆𝑣 𝑠 𝜆spring = 𝑐𝑠 𝛥𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 = c𝑓2 𝑓 = 𝑘 𝑥1 − 𝑥2 = 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝑐 変位・力系のモビリティ 𝑥1 = 𝑥2 + c𝑓2 𝑥1 1 = 𝑓1 0 𝛤𝑥 = 1 0 𝑐 1 速度・力系のモビリティ 入出力の 関係から 𝑓1 = 𝑓2 𝑓2 𝑥2 𝑓2 1 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑐𝑠 = 1 0 1 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 変 換 𝛤𝑣 = 𝑠 0 0 1 𝛤𝑣 = 1 0 1 𝑐 0 1 𝑠 −1 0 1 𝜆𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑐𝑠 = 1 0 1 0 1 # Page. 22 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJN6543DJ8.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(ばね) 22 2. 並列ばね 𝑥2 𝑥1 𝑣2 𝑣1 𝑐 = 1Τ𝑘 𝑚/𝑁 𝑓1 𝑓2 c 𝑓1 k: ばね剛性 N/𝑚 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝑐 𝜆spring = 𝑐𝑠 変位・力系のモビリティ 並列ばねの片側はグランド に接地しています 𝑥1 = 𝑥2 𝑥2 𝑓1 = + 𝑓2 𝑐 入出力の 関係から x1 1 0 = 𝑓1 1Τc 1 x2 𝑓2 1 0 Γ𝑥 = = 1Τc 1 𝑓2 c 1 1Τ𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 速度・力系のモビリティ Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 変 換 0 1 𝑠 0 Γ𝑣 = 0 1 Γ𝑣 = 1 1Τsc 1 0 1Τc 1 0 = 1 𝑠 −1 0 0 1 1Τ𝜆spring 0 1 1 # Page. 23 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9LYQ9873.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(ダンパ) 23 3. 直列ダンパ 𝑥1 𝑥2 𝑓1 𝑣1 𝑣2 𝑓1 𝑓2 𝑎 = 1Τ𝑑 𝑚𝑠 −1 N −1 𝑎 𝑓2 d: 粘性抵抗係数 𝑁 𝑠/𝑚 𝛥𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 = aΤ𝑠 𝑓2 𝑓 = 𝑑 𝑣1 − 𝑣2 = 𝛬𝑣 Τa 𝜆𝑥,damper = aΤ𝑠 𝜆damper = a 変位・力系のモビリティ 𝑎 𝑥1 = 𝑥2 + 𝑓2 𝑠 𝑓1 = 𝑓2 𝑥1 1 = 𝑓1 0 1 Γ𝑥 = 0 入出力の 関係から 𝑥2 𝑓2 𝑎Τ𝑠 1 𝑎 Τ𝑠 = 1 速度・力系のモビリティ 1 0 𝜆𝑥,𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟 1 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 変 換 Γ𝑣 = 𝑠 0 0 1 Γv = 1 0 𝑎 = 1 1 0 𝑎 Τ𝑠 1 𝑠 −1 0 0 1 1 𝜆𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟 0 1 # Page. 24 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8X6G9ZJD.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(ダンパ) 24 4. 並列ダンパ 𝑥2 𝑥1 𝑣1 𝑣2 𝑓1 𝑓2 𝑎 = 1Τ𝑑 𝑚𝑠 −1 N −1 𝑓2 𝑓1 d: 粘性抵抗係数 𝑁 𝑠/𝑚 𝜆𝑥,damper = aΤ𝑠 𝜆damper = a 変位・力系のモビリティ 𝑥1 = 𝑥2 𝑠𝑥2 𝑓1 = + 𝑓2 𝑎 𝑥1 1 = 𝑓1 𝑠Τ𝑎 Γ𝑥 = 1 𝑠Τ𝑎 0 = 1 並列ダンパの片側はグラン ドに接地しています 入出力の 関係から 0 1 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 変 換 𝑥2 𝑓2 1 1Τ𝜆𝑥,𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒r 速度・力系のモビリティ 0 1 𝑠 0 Γ𝑣 = 0 1 Γ𝑣 = 1 𝑠Τ𝑎 1 0 = 1Τa 1 0 1 𝑠 −1 0 1 1Τ𝜆damper 0 1 0 1 # Page. 25 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LEL89GW17R.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(質量) 25 5. 質量（並列） 𝑥1 𝑥2 m 𝑓1 mobilityは2端子素子について定 義されています。しかし、質量は、 入力端と出力端のもつ２端子素子 と考えることはできません。出力 端2は慣性系である地球であり、 v2 = 0 と考えます。 𝑓2 𝛥𝑥 = 𝑥1 − 0 = 𝑚𝑠 2 −1 𝑓 𝑣1 m 𝑓1 𝑓=𝑚 𝜆𝑥,mass = 𝑚𝑠 2 −1 𝑓2 𝑑 𝑣 − 0 = 𝑚𝑠𝛥𝑣 𝑑𝑡 1 𝜆mass = 𝑚𝑠 −1 変位・力系のモビリティ 速度・力系のモビリティ 𝑥1 = 𝑥2 Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 入出力の 関係から 𝑓1 = 𝑚𝑠 2 𝑥1 + 𝑓2 𝑥1 1 = 𝑓1 𝑚𝑠 2 𝛤𝑥 = 0 1 𝑚𝑠 2 0 = 1 0 1 𝑥2 𝑓2 1 1Τ𝜆𝑥,𝑚𝑎𝑠𝑠 変 換 0 1 Γ𝑣 = 𝑠 0 0 1 1 𝑚𝑠 2 𝛤𝑣 = 1 𝑚𝑠 0 = 1 𝑠 −1 0 0 1 1 1Τ𝜆𝑚𝑎𝑠𝑠 0 1 0 1 # Page. 26 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM6ZQ95EW.jpg) 1.3 基本素子のモビリティ(質量) 5. 質量（直列） 26 質量（直列）に相当する機構は次のように構成できます。 （詳しくは次を参照：機械回路の記号解析 その2） 𝑥2 𝑥1 𝑓 𝑓 1 𝑑2 𝑥1 − 𝑥2 𝑓= 𝑀 2 = 𝑚𝑠 2 𝑥1 − 𝑥2 2 𝑑𝑡 2 V 𝑓1 M=4m l M P F 𝑓2 𝑥1 = 𝑥2 + 𝑚𝑠 2 𝑓1 = 𝑓2 𝑥1 1 𝑓1 = 0 𝛤𝑥 = 1 0 𝑚𝑠 2 −1 1 𝑚𝑠 2 −1 = 1 0 1 入出力の 関係から 𝑥2 𝑓2 𝜆𝑥,𝑚𝑎𝑠𝑠 1 𝑓2 l Γ𝑣 = 𝐷𝛤𝑥 𝐷−1 変 換 Γ𝑣 = 𝛤𝑣 = 1 0 𝑠 0 0 1 1 0 𝑚𝑠 2 −1 1 𝑚𝑠 −1 = 1 1 0 𝑠 −1 0 𝜆𝑚𝑎𝑠𝑠 1 0 1 # Page. 27 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRP68GZE9.jpg) 1.4 電気回路と機械回路の比較 入出力の表現として、いろいろなマトリクス行列 比較項目 電気回路の4端子回路 機械系の伝達マトリクス 典型的な対象 電気的な2ポート 軸、梁、振動系、歯車列など 状態変数 電圧・電流 力・速度、モーメント・角速度など 行列の次数 通常の4端子回路では2×2 対象・状態変数によって2×2、4×4など 各行列要素の インピーダンス、アドミタンスなど 力／変位、モーメント／角度など、状態変 単位 を含む 数の単位に依存 要素の接続 電気的な接続条件 機械的な境界条件、接続条件 代表的な用途 フィルタ、増幅器、伝送線路 軸系、梁、回転機械、振動伝播 27 # Page. 28 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEX3M8X1JX.jpg) 4×４行列の例（梁の横振動） 28 by Gemini 伝達マトリクスは、2×2行列だけではありません 例） 状態ベクトルの構成 （4つの状態量） 梁のたわみ振動では、ある位置xにおいて2 つの変位と2つの内力が互いに組み合わさる ため、状態ベクトルが4次元となります 𝐳 𝑥 = 𝑤 𝑥 𝜃 𝑥 𝑀 𝑥 𝑉 𝑥 たわみ𝑤 𝑥 たわみ角𝜃 𝑥 曲げモーメント𝑀 𝑥 せん断力𝑉 𝑥 機械系の伝達マトリクス法と電気回路のFパラメータ／縦続行列は、基本的な数 学的構造として「入力状態変数を出力状態変数へ積の形で伝達する」という思想 が共通しています 𝑤 𝑥 𝜃 𝑥 𝑀 𝑥 𝑉 𝑥 u11 = right u21 u31 u41 u12 u22 u32 u42 u13 u23 u33 u43 u14 u24 u34 u44 𝑤 𝑥 𝜃 𝑥 𝑀 𝑥 𝑉 𝑥 しかし、 電気回路では電圧と電流 が状態量なので、2ポー ト回路以外でのF行列 は？？ left 素子や構造が直線上に並んでいる場合、全体の伝達行列 Ttotalは各素子の 伝達行列の積として算出できます。 入力 = 𝑇1 ⋅ 𝑇2 ⋅ 𝑇3 … 𝑇𝑛 出力 # Page. 29 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKYGKWMJD.jpg) ２．電気回路の定理を機械回路系へ応用 29 1. 相反定理(Reciprocal theorem) 2. テブナンの定理 (Thévenin's theorem) 1 𝑉1 受動回路 𝐼2 ′ 2 1 2 1 𝐼1′ 1′ 𝑥2 2 受動回路 ′ 𝑥1 𝑓1 𝑓2 Γ R 1 𝑅0 𝑉2′ R 𝐸0 2′ 1′ I # Page. 30 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L739NZ1275.jpg) 2.1 相反定理(reciprocal theorem) “原因と結果”の位置を入れ替えても、対応する関係は変わらない。 1 𝑉1 2 受動回路 𝐼2 1′ 2′ 1 2 𝐼1′ 受動回路 1′ 𝑉2′ 2′ 𝑉1 𝐼1′ = 𝑉2′ 𝐼2 30 # Page. 31 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DGWRX67G.jpg) 2.1 相反定理 31 回路網内部回路にN対の端子対があり、その時そこに加える電圧電流を (V1, · · , VN), (I1, · · , IN)，および加える電圧電流を変化させたときの (V’1 ,· · , V′N ), (I′1, · · , I′N ) とすると以下の関係がある。 n n ෍ 𝑉𝑖 𝐼𝑖′ = ෍ 𝑉𝑖′ 𝐼𝑖 𝑉3 𝑖=1 𝑖=1 𝑉3′ 𝐼3 𝑉1 𝐼1 回路網 𝐼𝑛 𝑉𝑛 𝐼3′ 𝐼2 𝑉2 𝑉1′ 加える電圧電流を 変化させた 𝐼1′ 回路網 𝐼𝑛′ 𝑉𝑛′ 𝐼2′ 𝑉2′ # Page. 32 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP39WKZE8.jpg) 2.1 相反定理 32 2ポート回路での例 2ポート回路で、片方の端末を短絡し、もう片方の端末に電圧を加える例です。 1 𝑉1 受動回路 1′ 2 1 𝐼2 𝐼1′ 2′ 1′ 端子１に電圧を加え、端子２を短絡した すると次式が成り立ちます 2 受動回路 𝑉2′ 2′ 端子１を短絡、端子２に電圧を加えた 𝑉1 𝐼1′ = 𝑉2′ 𝐼2 相反定理が成立するためには、基本的には ⚫ 線形 ⚫ 双方向的 ⚫ 独立した電源を含まない ⚫ 通常のR、L、Cなどの受動素子から構成される回路 であることが重要です。 # Page. 33 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EV4M8VMJQ.jpg) 2.2 Maxwell相反定理 33 マクスウェルの相反定理（Maxwell's reciprocal theorem）とは、 線形弾性体において、ある点Aに加えた荷重によって点Bに生じる変位 は、同じ大きさの荷重を点Bに加えたときに点Aに生じる変位と等しい という構造力学・弾性学の基本原理です。 両端ピン支持梁の例 両端支持梁のある点Aに荷重Paが作用する場合、他の点Bに生じる変位δbは、B点に 荷重Pbが作用する場合にA点に生じる変位δaとの関係は次のようになります。 𝑃a 𝑃𝑎 𝐵𝛿𝑎 = 𝑃𝑏 𝐴𝛿𝑏 A B A A B B 𝛿b 𝑃𝑎 = Pb 𝑃𝑏 𝛿a ならば 𝐵 𝛿𝑎 = A𝛿b で変位は等しい 点Aに力を加えたときの点Bの変位と、点Bに同じ力を加えたときの 点Aの変位は等しい # Page. 34 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57G1G5LXEL.jpg) 2.2 Maxwell相反定理1/6 両端ピン支持の弾性はり 図に示すように両端ピン支持のはりに、2個の集中荷重f1,f2が加わった場合のそれぞれ の点のたわみをx1,x2とします。するとこの関係は伝達マトリクスを用いて次のようにな ります。 𝑓1 𝑓2 𝑥2 𝑥1 1 𝑥1 𝐴 = 𝑓1 𝐶 2 𝐵 𝐷 𝑥2 𝑓2 伝達マトリクス 34 # Page. 35 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQDXZY5JP.jpg) 2.2 Maxwell相反定理 2/6 材料力学公式集から下記の値を求めると 𝑙 𝑎 𝑥1 𝐴 = 𝑓1 𝐶 𝐴= 𝐶11 𝐶12 𝑎2 𝑙 − 𝑎 2 𝐶11 = 3𝐸𝐼𝑙 𝐵 𝐷 𝑥2 𝑓2 B = 𝐶12 − 𝑏 𝑓1 𝑓2 𝐶11 𝐶22 𝐶12 C= 1 2 1 𝐶12 𝐷=− これらを計算すると、A,B,C,Dは、次のように求まります 𝑥1 1 = 𝑓1 𝑙 2 − 𝑎2 − 𝑙 − 𝑏 2 • 𝑥2 𝑥1 𝑎 𝑙 − 𝑏 𝑙 2 − 𝑎2 − 𝑙 − 𝑏 2 𝐶12 = 𝐶21 = 6𝐸𝐼𝑙 2𝑎 𝑙 − 𝑎 2 𝑙−𝑏 6𝐸𝐼𝑙 𝑎 𝑙−𝑏 35 𝑎 𝑙−𝑏 𝐶22 𝐶12 𝑏2 𝑙 − 𝑏 2 𝐶22 = 3𝐸𝐼𝑙 ( B,Dは負となります ) 𝑙 2 − 𝑎2 − 𝑙 − 𝑏 2 2 − 4 𝑙 − 𝑎 2 𝑏 2 12𝐸𝐼𝑙 2𝑏 2 𝑙 − 𝑏 − 𝑎 注）工学解析の原著では B,D の符号が異なります。 あとでコメントします 𝑥2 𝑓2 # Page. 36 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ4Z63WV71.jpg) 2.2 Maxwell相反定理３/6 36 入力端１に f1 の力を加え、出力端2を自由にしてその変位をはかる 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑓1 𝑥1 1 2 (a) 端子２ 𝑥1 𝐴 𝑓1 = 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 0 無拘束 𝑓1 = C ∙ 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 C>0 無拘束 f2=0 # Page. 37 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1RV1Y4EG.jpg) 2.2 Maxwell相反定理４/6 37 入力端１を自由にして、出力端2に f2 の力を加えその変位をはかる 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑓2 (b) 端子1 𝑥2 −𝐷 = 𝑓2 𝐶 𝐵 −𝐴 原著の図の例です。 f2を逆方向にしなくても良い かな？と思うのですが 無拘束 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 0 逆行列 変位 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 と力𝑓2 は同じ方向ですね 𝑓2 = C ∙ 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 C>0 # Page. 38 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEW1L8GZ72.jpg) 2.2 Maxwell相反定理５/6 38 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑓1 𝑥1 1 (a) 端子２ 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 2 無拘束 (b) 端子1 𝑓1 = C ∙ 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 同等の力 f を加えると 𝑓2 無拘束 𝑓2 = C ∙ 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓 𝑥1𝑓𝑟𝑒𝑒 = 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 線形系の入力端に力 f を加えたときに出力端に生じる自 由変位は，逆に出力端に同じ力 f を加えたときに入力端 に生じる自由変位に等しくなる （注：(b)でf2を同じ方向にした方がわかり易いかな。） # Page. 39 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZPM8LLE3.jpg) 2.2 Maxwell相反定理６/6 同様なことは力について も成立 𝑥1 𝐴 𝑓1 = 𝐶 𝑥2 −𝐷 = 𝑓2 𝐶 𝑓1 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑥1 0 𝐵 𝐷 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝐵 −𝐴 同等の変位 x を加えると 0 𝑥1 = 𝐵 ∙ 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑓1𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑥2 = 𝐵 ∙ 𝑓1𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥 𝑓1𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 = 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 変位 𝑥1 と力 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 は逆方向ですね 𝐵<0 39 # Page. 40 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6MNPWM7V.jpg) 2.3 伝達マトリクスの逆行列 受動的機械回路の行列 式は、+1となるはず しかし、今回の行列 式は、-1となってる det 𝐴 𝐶 当然、電気回路のF行列で は＋１だけど エネルギ源が回路内に存 在しない場合その行列式 は、＋1 だけどな～ 𝐵 = AD-BC 𝐷 なぜ！ 𝑥2 𝐴 𝐵 −1 𝑥1 𝑓2 = 𝐶 𝐷 𝑓1 これに関係してくる 40 # Page. 41 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5Z5KMQE4.jpg) 2.3 伝達マトリクスの逆行列 41 伝達マトリクスの逆行列を求めます この受動的機械回路ではエネルギ源が回路内に存在しません。 が、今回その行列式は、 Δ = AD − BC= − 1 となりました 𝐴 det 𝐶 𝐶11 𝐵 = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 𝐷 𝐶12 注）工学解析の原著では+1となっています。 この点私の結果と異なります。 2 𝐶22 𝐶12 − 𝐶11 𝐶22 − − 𝐶12 𝐶12 2 1 −𝐶12 = 2 = −1 𝐶12 𝐶12 すると、逆行列は次のようになります 𝑥2 𝐴 = 𝑓2 𝐶 1 𝐵 −1 𝑥1 𝐷 = 𝑓1 𝐷 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 −𝐶 −𝐵 𝐴 𝑥1 −𝐷 = 𝑓1 𝐶 𝐵 −𝐴 逆行列 電気回路の受動系では行列式は+1となります。今回の行列式が 「 −𝟏」になる理由は？次節で述べます。 𝑥1 𝑓1 # Page. 42 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE39NZWZE5.jpg) 2.3 伝達マトリクスの逆行列 42 1. 材料力学から、両端ピン支持はりの力と変形の関係を求めます。 x1の変形は、線形で重畳可能であり、x2も同様のた め次のようになります • 𝑥1 = 𝐶11 𝑓1 + 𝐶12 𝑓2 𝑥2 = 𝐶21 𝑓1 + 𝐶22 𝑓2 • これをx1とf1の方程式に変形します 𝐶11 𝐶11 𝐶22 𝑥1 = 𝑥2 + 𝐶12 − 𝑓2 𝐶21 𝐶21 1 𝐶22 𝑓1 = 𝑥2 − 𝑓 𝐶21 𝐶21 2 𝑥1 𝐴 = 𝑓1 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥2 𝑓2 2. この変換を行列で表すと、伝達マトリクス𝚪は次のようになります 𝚪= 𝐴 𝐶 𝐵 = 𝐷 𝐶11 𝐶21 1 𝐶21 𝐶11 𝐶22 𝐶21 𝐶22 − 𝐶21 𝐶12 − 3. この行列式を計算すると det 𝚪 = 𝐶11 𝐶21 − 𝐶22 𝐶11 𝐶22 − 𝐶12 − 𝐶21 𝐶21 1 𝐶11 𝐶22 𝐶12 𝐶11 𝐶22 𝐶12 =− − + = − 2 2 𝐶21 𝐶21 𝐶21 𝐶21 𝐶21 ここで、相反定理により 𝐶12 = 𝐶21 であるため、必然的に det 𝚪 = −1となります。 # Page. 43 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDGWRK4EG.jpg) 2.3 伝達マトリクスの逆行列 1. 試しに次の値で各値を計算してみる 𝑙 = 3𝑎, 𝑏 = 2𝑎 2 2 2 𝑙 𝑎 2. C行列の値は次のようになる 2 𝑏 𝑓1 𝑓2 𝑥2 𝑥1 3 𝑎 𝑙−𝑎 𝑎 3𝑎 − 𝑎 4𝑎 = = 3𝐸𝐼𝑙 3𝐸𝐼 ∙ 3𝑎 9𝐸𝐼 2 2 𝑎 𝑙−𝑏 𝑙 −𝑎 − 𝑙−𝑏 2 7𝑎3 𝐶12 = 𝐶21 = = 6𝐸𝐼𝑙 18𝐸𝐼 2 2 2 2 3 𝑏 𝑙−𝑏 4𝑎 3𝑎 − 2𝑎 4𝑎 𝐶22 = = = 3𝐸𝐼𝑙 3𝐸𝐼 ∙ 3𝑎 9𝐸𝐼 𝐶11 = 43 1 2 3. よって、A,B,C,Dの値は次のようになる。この例でもわかるがB,Dは負となる。 𝐶11 4𝑎3 ∙ 18𝐸𝐼 8 A=− = = − 𝐶12 9𝐸𝐼 ∙ 7𝑎3 7 𝐶11 𝐶22 7𝑎3 4𝑎3 4𝑎3 18𝐸𝐼 7𝑎3 4×8𝑎3 5𝑎3 B = 𝐶12 − = − ∙ ∙ = − =− 𝐶12 18𝐸𝐼 9𝐸𝐼 9𝐸𝐼 7𝑎3 18𝐸𝐼 9×7𝐸𝐼 42𝐸𝐼 1 18𝐸𝐼 C= = 𝐶12 7𝑎3 𝐶22 4𝑎3 ∙ 18𝐸𝐼 8 D=− =− = − 𝐶12 9𝐸𝐼 ∙ 7𝑎3 7 4. Δを計算すると“-1”となる 8 8 18𝐸𝐼 5𝑎3 64 15 𝛥 = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = − ∙ − ∙ − = − + = −1 7 7 7𝑎3 42𝐸𝐼 49 49 # Page. 44 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7P39WKVJ8.jpg) 2.4 電気回路での伝達マトリクス 原書*では行列式が+1なのに？ ちょっとした私の 考え違いでした “次段へ伝わる力”は、反力 -f2とする 両端ピン支持の弾性はりの例は、 伝達マトリクスを議論する例として 一寸特殊すぎたのかな？ いや、材料力学例題そのもの、 で結果に何の疑いも考察もしな かった、のが間違いのもと！ *) 中田孝:工学解析(技術者のための数学手法)、オーム社、1972. 44 # Page. 45 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2JV4M8VR7Q.jpg) 2.4 電気回路での伝達マトリクス 機械回路での伝達マトリクスは、電気回路での縦続(F)行列に近い 行列の種類 記号 定義式（線形方程式） インピーダンス行列 (Z行列) 𝐙 𝑉1 𝑍 = 11 𝑉2 𝑍21 𝑍12 𝑍22 𝐼1 𝐼2 電流を入力、電圧を出力とす る表現。回路の直列接続の解 析に適する。 アドミタンス行列 (Y行列) 𝐘 𝐼1 𝑌 = 11 𝐼2 𝑌21 𝑌12 𝑌22 𝑉1 𝑉2 電圧を入力、電流を出力とす る表現（𝐙の逆行列）。回路の 並列接続の解析に適する。 縦続(F)行列 (ABCD行列 / 伝送行列) 𝐅 𝑉1 𝐴 = 𝐼1 𝐶 𝐵 𝐷 𝑉2 𝐼2 𝐇 𝑉1 ℎ = 11 𝐼2 ℎ21 ℎ12 ℎ22 ハイブリッド行列 (H行列) 𝐼1 𝑉2 主な特徴・用途 入力側の状態を出力側で表す。 回路の縦続接続を行列の積で 計算できる。 入力電流と出力電圧を入力変 数とする混合表現。トランジ スタなどの能動素子の解析に 多用される。 45 # Page. 46 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5EG1G5L6JL.jpg) 2.4 電気回路での伝達マトリクス 46 4端子回路の標準的な定義（Z行列やY行列など）では、ポート2の電流は回路へ流れ 込む方向を +𝑰𝟐 とします。一方、F行列では通過を考えるため、流れ出る方向を + 𝑰𝟐 ′（つまり 𝑰𝟐 ′ = −𝑰𝟐 ）と定義します。 インピーダンス行列(Z行列) 𝐼1 𝑉1 縦続(F)行列(ABCD行列 / 伝送行列) 𝐼1 𝐼2 𝑍11 𝑍21 𝑍12 𝑍22 𝑉1 𝑍 = 11 𝑉2 𝑍21 𝑍12 𝑍22 𝑉2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 𝑉1 𝐴 = 𝐼1 𝐶 𝐵 𝐷 𝐼2 𝐼2 𝑉1 𝐼1 𝐼2 F行列では行列表現でわかるように、出 力を次段の入力とすることができます。 ただし、出力側の電流の向きとを流れ 出る電流の方向を、次段の回路の入力 の方向と一致させる必要があります。 矢印の向きに注意 𝐼1 𝑉1 𝐹𝑖𝑗 1 𝑉2 𝐼2 𝑉2 𝑉2 𝐼2 𝐼3 𝐹𝑖𝑗 2 縦続接続(cascade connection) 𝑉3 # Page. 47 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JQDXZY27P.jpg) 2.4 電気回路での伝達マトリクス 47 1. 定義式の違い 1. ポート2へ流れ込む電流 𝐼2 を用いて関係式を書いた場合： 𝑉1 𝑉2 = 𝐴 𝐵′ 𝐼1 𝐶 𝐷′ 𝐼2 ※ この行列を 𝐅𝑖𝑛 とすると、𝐼2 = −𝐼2 ′ なので、𝐵′ = −𝐵、𝐷′ = −𝐷 となり、2列目の符号が反転します。 2. 行列式の計算 a. 流れ出る電流（−𝐼2 ）を用いた標準のF行列 𝐅の行列式： 𝐴 𝐵 det 𝐅 = det = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 1 𝐶 𝐷 今回の ケース b. 流れ込む電流（𝐼2 ）を用いた場合の行列式： 𝐴 −𝐵 det 𝐅𝑖𝑛 = det = 𝐴 −𝐷 − −𝐵 𝐶 = − 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = −1 𝐶 −𝐷 数学的な意味 • • • • • 電流の向きの定義を「流れ出る方向（−𝐼2 ）」に反転させる操作は、行列の特定の列に −1を掛けるこ とに相当します。 行列の1つの列に −1を掛けると、行列式の値の符号が反転（−1 倍）します。 もしも「流れ込む方向（+𝐼2 ）」を基準にF行列を定義してしまうと、相反回路における行列式が −1 になってしまいます。 電流を「流れ出る方向（−𝐼2 ）」と定義しておくことで、相反回路の行列式をきれいな +1に揃えるこ とができるというメリットがあります。 したがって、F行列（ABCD行列）の標準定義に従う限り、相反回路における行列式は常に 𝑑𝑒𝑡 F = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 1となります。 # Page. 48 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/K74Z63WPE1.jpg) 2.4 電気回路での伝達マトリクス 𝐼1 𝑉1 𝐼2 𝐴 𝐶 𝐵 𝐷 48 両端ピン支持はりの場合 𝑉2 𝑓1 𝑓2 𝑥2 𝑥1 1 このf2は自分の系に働く 力で、次段に伝達される のは、その反力”ｰf2”と 言うこと？ この例だと、その反力が 次段へ伝わるね。 要するに、次段に伝わる 力かどうかを気にする必 要があるね 2 次段へ伝わる 力ではない！ 𝑥1 𝐴 = 𝑓1 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥2 𝑓2 𝑥1 𝐴 𝑓1 = 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥2 −𝑓2 次段へ伝わる 力は反力 # Page. 49 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ1RV1YXJG.jpg) 2.5 テブナンの定理 (Thévenin's theorem) テブナンの定理は電気回路に関する有名な定理です。 複数の電源を含む電気回路に負荷を接続したときの「電圧や負荷に流れる電 流」を、単一の内部抵抗のある電圧源に変換して求める方法です。 1 V I 1′ 49 # Page. 50 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJW1L8GKE2.jpg) 2.5 テブナンの定理 50 1 1 𝑅0 V I 1 ′ I 𝐸0 R 1′ (a)２端子回路 内部に電圧源，電流源 を含む，複雑な回路（線 形素子から構成） (b)等価な回路と外部負荷 理想電圧源E0と内部抵 抗R0の電圧源としてみ なすことができる すると、 負荷Rを接続した場合、負荷 に流れる電流Iは次式となる 𝐸0 𝐼= 𝑅0 + 𝑅 # Page. 51 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZPM8LNJ3.jpg) 2.6 テブナンの定理（例１）１/4 51 両端支持梁の一点がばね c で支えられています。この場合の支持点の変位と反力を求めます 𝑥1 𝑓1 𝑥2 Γ 両端支持梁 𝑓1 𝜆𝑥 𝑓2 c compliance ばね (b)両端支持梁とばね 𝑥2 𝑓1 Γ 𝑥2 𝑥1 (a)機械回路モデル 𝑥1 𝑓2 𝑓2 1 機械回路も電圧源E0と 内部抵抗R0の回路とみ なすことができる R 𝜆𝑥 = c 𝑅0 R 𝐸0 等価回路 1′ 機械回路の等価回路を求め計算する方法 Iは反力になります Step1: E0を求める 𝐸0 𝐼= 𝑅0 + 𝑅 Step2: R0を求める Step3: 𝝀𝟎 を求める I # Page. 52 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76MNPW9EV.jpg) 2.6 テブナンの定理（例１） ２/4 52 Step1: E0を求める 1 𝑓1 𝑅0 E0 𝐸0 R 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑥1 𝑓2 c 1′ 端子open 開放電圧E0は、梁端子2のばねcを外し た時の 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 に相当する 端子2 open 𝑥1 𝐴 = 𝑓1 𝐶 𝐵 𝐷 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 0 端子開放電圧 𝑓1 = C ∙ 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 E0 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 = C −1 𝑓1 # Page. 53 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75Z5KMDJ4.jpg) 2.6 テブナンの定理（例１） ３/4 53 Step2: R0を求める 1 𝑅0 𝐼0 𝐸0 R 𝑓1 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑥1 1′ 端子close（短絡） 1. I0は梁端子2を固定した時の𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 に相当する 2. よって、R0はE0とI0から次のように求まる 𝐸0 𝑅0 = 𝐼0 端子2 close(固定) 𝑥1 𝐴 𝑓1 = 𝐶 𝐵 𝐷 0 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 端子短絡電流 𝑓1 = 𝐷 ∙ 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑰𝟎 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 = 𝐷 −1 𝑓1 # Page. 54 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9J2RNWRM7R.jpg) 2.6 テブナンの定理（例１） ４/4 54 Step3: 𝝀𝟎 を求める 𝑓1 𝑅0 R 𝐸0 𝑓2 𝑥1 𝑥2 c compliance 𝜆𝑥 = c 1′ 等価回路での内部抵抗R0に相当する、両端支持梁の機械回路のλ0を求める 𝐸0 𝑅0 = 𝐼0 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝐶 −1 𝑓1 𝐷 𝜆0 = = = 𝑓2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝐷 −1 𝑓1 𝐶 機械回路の端子2にばね(𝝀𝒙 = 𝒄)を挿入した時の反力を求める 𝐼= 𝐸0 𝑅0 + 𝑅 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 C𝑥2𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑓1 𝑓2 = = = = 𝜆0 + 𝜆𝑥 𝐷 Τ𝐶 + 𝑐 𝐷 + 𝑐𝐶 𝐷 + 𝑐𝐶 変位はコンプライアンスcから 𝑥2 = c𝑓2 # Page. 55 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DEYDPLDPEM.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2）1/6 55 ねじりばねとダンパに慣性体が付いたシステムの解析 𝜃1 𝜏1 𝜃2 Γ ねじりダンパ 𝜏2 𝜃1 𝜆𝑥 𝜏1 慣性体 (a)機械回路モデル 𝑓1 Γ 𝑓2 𝜆𝑥 = 𝐽𝑠 2 −1 1 機械回路も電圧源E0と 内部抵抗R0の回路とみ なすことができる R 𝐽 𝜏2 a (b)ねじり振動システム 𝑥2 𝑥1 𝜃2 c 𝑅0 R 𝐸0 等価回路 1′ 機械回路の等価回路を求め、計算する Iは反力になります Step1: E0を求める 𝐸0 𝐼= 𝑅0 + 𝑅 Step2: R0を求める Step3: 𝝀𝟎 を求める I # Page. 56 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJN6546MJ8.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2） 2/6 56 Step0:伝達マトリクスを求める 1. ねじりばね+並列ダンパの伝達マトリクス これについては既に述べていますが、ねじり ばねと並列ダンパの直列接続ですので次の行 列演算で求められます。 𝜃1 1 = 𝜏1 0 c 1 𝜃2 𝜏2 1 0 sΤa 1 𝜃1 𝜃2 c 𝜏1 a 1 + sΤa c Γ= sΤa 1 𝑎 = 1Τ𝑑 𝑚𝑠 −1 N−1 𝜃1 1 + csΤa c = 𝜏1 csΤa 1 𝜏2 𝜆𝑥 = 𝐽𝑠 2 −1 𝑐 = 1Τ𝑘 𝑚/𝑁 d: 粘性抵抗係数 𝑁 𝑠/𝑚 𝐽: 慣性モーメン 𝑘𝑔 𝑚 𝐽 2 k: ばね剛性 N/𝑚 compliance 𝜃2 𝜏2 2. 慣性体の変位・力系のモビリティ𝝀𝒙 は A = 1 + c sΤa B=c C = sΤa D=1 𝜆𝑥 = 𝐽𝑠 2 −1 # Page. 57 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE9LYQLW73.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2） 3/6 57 Step1: E0を求める 1 𝜃1 𝑅0 E0 R 𝐸0 𝜃2 c 𝐽 𝜏1 𝜏2 a 1′ 端子open 開放電圧E0は、端子2の慣性体Jを外し た時の 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 に相当する 端子2 open 𝜃1 𝐴 = 𝜏1 𝐶 𝐵 𝐷 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 0 端子開放電圧 𝜃1 = A ∙ 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 E0 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 = A−1 𝜃1 （今回は角度θで表した） # Page. 58 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE8X6GXRJD.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2） ４/6 58 Step2: R0を求める 1 𝜃1 𝑅0 𝐼0 𝐸0 R 𝜃2 c 𝐽 𝜏1 𝜏2 a 1′ 端子close（短絡） 1. I0は端子2を固定した時の𝜏2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 に相当する 2. よって、R0はE0とI0から次のように求まる 𝐸0 𝑅0 = 𝐼0 端子2 close(固定) 𝜃1 𝐴 = 𝜏1 𝐶 𝐵 𝐷 0 𝜏2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 端子短絡電流 𝜃1 = B ∙ 𝜏2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 𝑰𝟎 𝜏2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 = B−1 𝜃1 # Page. 59 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LEL89G827R.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2） 5/6 59 Step3: 𝝀𝟎 を求める 𝜃1 𝑅0 𝜃2 c R 𝐸0 𝜏1 a 𝐽 𝜏2 𝜆𝑥 = 𝐽𝑠 2 −1 1′ 等価回路での内部抵抗R0に相当する、機械回路でのλ0を求める 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 A−1 𝜃1 B 𝜆0 = = −1 = 𝜏2𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘 B 𝜃1 A 𝐸0 𝑅0 = 𝐼0 機械回路の端子2に慣性体(𝝀𝒙 = 𝐽𝑠 2 −1 )を挿入した時のトルクを求める 𝐸0 𝐼= 𝑅0 + 𝑅 𝜃2𝑓𝑟𝑒𝑒 A−1 𝜃1 𝜃1 𝜏2 = = = 𝜆0 + 𝜆𝑥 BΤA + 𝐽𝑠 2 −1 B + A 𝐽𝑠 2 −1 変位は 𝜃2 = 𝜆𝑥 𝜏2 = 𝐽𝑠 2 −1 𝜏2 # Page. 60 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JM6ZQ69EW.jpg) 2.7 テブナンの定理（例2） 6/6 これらの結果は次の ようになります Step0より 𝜃1 𝜏2 = B + A 𝐽𝑠 2 −1 c A=1+ s a 𝜃2 = 𝐽𝑠 2 −1 𝜏2 B=c よって、入出力角度の関係を求めると次のようになります 1 1 𝜃1 c 𝜃2 = 2 ∙ = 𝜃1 1 1 𝐽𝑠 c + 1 + c s ∙ 1 2+ s+ 𝐽𝑠 2 a a c 𝐽𝑠 これを微分方程式の形に直すと次のようになります 𝑑 2 𝜃2 𝑑𝜃2 𝐽 + 𝑑 + 𝑘𝜃2 = 𝑘𝜃1 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 1 =𝑘 𝑐 k: ばね剛性 N/𝑚 1 =𝑑 𝑎 d: 粘性抵抗係数 𝑁 𝑠/𝑚 60 # Page. 61 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PJRP68P9E9.jpg) ３．伝達マトリクスの接続 伝達マトリクスの接続について 1. 直列接続 • 直列素子 • 並列素子 直列素子 2. 並列接続 並列素子 並列接続 61 # Page. 62 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PEX3M833JX.jpg) 3.1 直列接続（直列素子） 1. 直列モビリティの接続について 𝑥2 𝑥1 𝑥3 𝜆𝑥,1 𝑓1 𝜆𝑥,2 𝑓2 𝛤1 𝑥1 1 𝜆𝑥,1 = 𝑓1 0 1 𝑥2 𝑓2 𝑓3 𝛤2 𝑥2 1 = 𝑓2 0 𝜆𝑥,2 1 𝑥3 𝑓3 それぞれの要素の直列接続による伝達マトリクスは次のようになる 𝑥1 1 𝜆𝑥,1 = 𝑓1 0 1 1 𝜆𝑥,2 0 1 𝑥1 1 𝜆𝑥,1 + 𝜆𝑥,2 = 𝑓1 0 1 𝛤𝑥 = 𝛤1 𝛤2 = 1 0 𝑥3 𝑓3 𝑥3 𝑓3 𝜆𝑥,1 + 𝜆𝑥,2 1 62 # Page. 63 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/3EKYGKYNJD.jpg) 3.1 伝達マトリクスの接続（直列素子） 63 n個の列接続による伝達マトリクスは次のようになる 𝑥2 𝑥1 𝜆𝑥,1 𝑥3 𝜆𝑥,2 𝜆𝑥 𝑓2 𝑓1 𝑥n 𝑥n−1 𝛤1 𝑓3 𝑓n 𝑓n−1 𝛤2 𝛤n 𝑛 𝑥𝑛 𝑥1 = 𝛤 𝛤 ⋯ 𝛤 1 2 𝑛 𝑓 𝑓1 𝑛 𝛤1 𝛤2 ⋯ 𝛤n = 1 ෍ 𝜆𝑥,𝑖 𝑖=1 0 したがって、接続した直列モビリティはそれらの和となる。 𝑛 𝜆𝑥 = ෍ 𝜆𝑥,𝑖 𝑖=1 1 # Page. 64 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L739NZ9Z75.jpg) 3.2 直列接続（並列素子） 2. 並列モビリティの（直列）接続について 𝑓1 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝜆−1 𝑥,1 c 𝑥1 1 𝑓1 = 𝜆−1 𝑥,1 𝛤1 0 1 𝑓2 𝑓3 𝜆−1 𝑥,2 c 𝛤2 𝑥2 𝑓2 𝑥2 1 𝑓2 = 𝜆−1 𝑥,2 0 1 𝑥3 𝑓3 それぞれの要素の直列接続による伝達マトリクスは次のようになる 𝑥1 1 = −1 𝑓1 𝜆𝑥,1 0 1 1 −1 𝜆𝑥,2 𝑥3 𝑓3 0 1 0 1 𝑥3 𝑓3 1 𝛤𝑥 = 𝛤1 𝛤2 = 𝜆−1 + 𝜆−1 𝑥,1 𝑥,2 0 1 𝑥1 1 −1 𝑓1 = 𝜆−1 𝑥,1 + 𝜆𝑥,2 64 # Page. 65 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/87DGWRG47G.jpg) 3.2 直列接続（並列素子） 65 n個の接続による伝達マトリクスは次のようになる 𝑥2 𝑥1 𝑓1 c 𝜆−1 𝑥,1 𝑓2 𝛤1 𝑥𝑛 𝑥1 𝑓1 = 𝛤1 𝛤2 ⋯ 𝛤𝑛 𝑓𝑛 c 𝜆−1 𝑥,2 𝑥3 𝑥𝑛−1 𝑓3 𝑓𝑛−1 c 𝛤2 𝑥𝑛 𝜆−1 𝑥,𝑛 𝛤n 1 0 ෍ 𝜆−1 𝑥,𝑖 1 𝑛 𝛤1 𝛤2 ⋯ 𝛤𝑛 = 𝑖=1 したがって、接続した並列モビリティはそれらの和となる。 𝑛 −1 𝜆−1 𝑥 = ෍ 𝜆𝑥,𝑖 𝑖=1 𝑓𝑛 # Page. 66 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJP39W3VE8.jpg) 伝達マトリクスの接続（素子配置） 66 以上のように、単独素子が伝達系に 1. 直列素子として含まれているときは、モビリティが 伝達マトリクスの右上に 2. 並列素子として含まれているときは、モビリティの逆数が 伝達マトリクスの左下に 現れます（変位・力系 / 速度・力系のモビリティともに）。 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑓2 𝑓1 𝜆𝑥 𝑓1 𝑥2 c 𝜆−1 𝑥 𝑓2 左下 右上 1 𝛤𝑥 = 0 𝜆𝑥 1 直列素子 Γ𝑥 = 1 𝜆−1 𝑥 並列素子 0 1 # Page. 67 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/2EV4M84RJQ.jpg) 3.3 機械伝達回路の並列接続 1. 直列接続 • 直列素子 • 並列素子 2. 並列接続 𝑥1 𝑥1 𝑓1𝑎 𝑓1 𝑥1 𝑓1𝑏 𝑥2 𝜆𝑥,1 𝜆𝑥,2 𝑓2𝑎 𝑥2 𝑥2 𝑓2 𝑓2𝑏 67 # Page. 68 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/57G1G516EL.jpg) 3.3 並列接続 68 さて、直列接続は伝達マトリクスの掛け算で表せたが、図のような平行並列接続は どのようになるか確かめてみます。 力では次が成 り立ちます 各マトリクス について次が 成り立ちます 𝑓1 = 𝑓1𝑎 + 𝑓1𝑏 ⋯ (𝑎) 𝑓2 = 𝑓2𝑎 + 𝑓2𝑏 ⋯ (𝑏) 𝑥1 = 𝐴𝑎 𝑥2 + 𝐵𝑎 𝑓2𝑎 𝑓1a = Ca 𝑥2 + Da 𝑓2a 𝑥1 = 𝐴𝑏 𝑥2 + 𝐵𝑏 𝑓1𝑏 𝑓1𝑏 = 𝐶𝑏 𝑥2 + 𝐷𝑏 𝑓2𝑏 ⋯ (𝑐) 式 (c) より 式 (e) より 𝑥1 𝑥1 𝑓1𝑎 𝑓1 𝑥1 𝐴𝑎 𝐶𝑎 𝑓2𝑎 𝑥2 𝑥2 𝑓2 ⋯ (𝑑) ⋯ (𝑒) ⋯ (𝑓) 𝑥1 𝐴𝑎 𝑓2𝑎 = − − 𝑥 ⋯ (g) 𝐵𝑎 𝐵𝑎 2 𝑥1 𝐴b 𝑓2b = − − 𝑥 ⋯ (h) 𝐵b 𝐵b 2 𝑓1𝑏 𝐴𝑏 𝐶𝑏 𝐵𝑏 𝐷𝑏 𝑓2𝑏 機械的伝達回路の平行並列接続 式 (g) (h) (b)より 𝑥1 = − 𝐵𝑎 𝐷𝑎 𝑥2 𝐴𝑎 𝐵𝑎 + 𝐴𝑏 𝐵𝑏 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝑥2 + 𝑓 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 2 ⋯ (i) # Page. 69 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EQDXZD2JP.jpg) 3.3 並列接続 69 次に、式 (g) と式 (h)を式 (d) に代入して、整理すると。 𝑓1 = 𝑓1𝑎 + 𝑓1𝑏 = − = 𝐴𝑎 𝐷𝑎 − 𝐶𝑎 𝐵𝑎 𝐴𝑏 𝐷𝑏 − 𝐶𝑏 𝐵𝑏 𝐷𝑎 𝐵𝑏 + 𝐵𝑎 𝐷𝑏 + 𝑥2 + 𝑥1 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐷𝑎 𝐵𝑏 + 𝐵𝑎 𝐷𝑏 ∆𝑎 ∆𝑏 𝑥1 − + 𝑥 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐵𝑎 𝐵𝑏 2 ⋯ (j) そして、式 (i) を式 (j) に代入して、整理すると。 𝑥1 1 = 𝑓1 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 𝐴𝑎 𝐵b + 𝐵a 𝐴𝑏 𝐴𝑎 𝐵b + 𝐴𝑏 𝐵a D𝑎 𝐵b + 𝐵a D𝑏 − 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 B𝑎 ∆𝑏 + 𝐵𝑎 ∆a 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐷𝑎 𝐵𝑏 + 𝐵𝑎 𝐷𝑏 また、受動回路では伝達マトリクスの行列式は１となるから、 ∆a = 𝐴𝑎 D𝑎 − C𝑎 B𝑎 = 1 ∆b = 𝐴b Db − Cb Bb = 1 受動回路の平行並列接続式は次のようになります 𝑥1 1 𝐴𝑎 𝐵b + 𝐴𝑏 𝐵a = 𝑓1 𝐵𝑎 + 𝐵𝑏 𝐴𝑎 Db + 𝐴𝑏 Da + B𝑎 Cb + B𝑏 Ca − 2 𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐷𝑎 𝐵𝑏 + 𝐵b 𝐷𝑏 𝑥2 𝑓2 𝑥2 𝑓2 # Page. 70 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KJ4Z63ZP71.jpg) 3.4 並列接続(例題１) 例として、ばねとダンパの並列接続を計算してみましょう 1. それぞれの伝達マトリクスは次のようになります 1 𝑎 Τ𝑠 1 𝑐 Γb = Γa = 0 1 0 1 2. 伝達マトリクスノA,B,C,Dの値は 70 𝑥2 𝑥1 𝑥1 𝑓1𝑎 𝑓1 𝐴𝑎 = 1, 𝐵a = c, C𝑎 = 0, Da = 1 𝑓2𝑎 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑓2 𝑓1𝑏 𝑎 𝑓2𝑏 c 𝐴b = 1, 𝐵b = 𝑎Τ𝑠 , C𝑎 = 0, Da = 1 3. A,B,C,Dの値を入れて計算すると 1 c + 𝑎 Τ𝑠 Γab = c + 𝑎 Τ𝑠 1 + 1 + 0 + 0 − 2 𝑥1 1 = 𝑓1 0 ca cs + a 1 𝑥2 𝑓2 𝑐 ∙ 𝑎 Τ𝑠 c + 𝑎 Τ𝑠 ca 1 = cs + a 0 1 次頁で検算 します # Page. 71 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LE1RV1RXEG.jpg) 変位・力系のモビリティで計算 71 変位・力系のモビリティを使って電気回路と同じように計算してみる ばねのモビリティ： 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝑐 ダンパのモビリティ： 𝑥1 𝜆𝑥,damper = aΤ𝑠 c 𝑥2 aΤ𝑠 𝑓1 𝑓2 1. この回路の入出力端で通過する（流れる）力は等しい 書き直し 𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 2. ばねとダンパの並列回路でのモビリティは次のようになる 1 𝜆𝑥,psd = 1 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 + 1 1 𝜆𝑥,damper 𝜆𝑥,psd = 1 1 a + cs + = c aΤ𝑠 ca 𝑥1 c 𝑓1 𝑥2 aΤ𝑠 𝑓2 𝜆𝑥,damper 3. 位置x1をx2と f を用いて表せば次のようになる 𝑥1 = 𝑥2 + 𝜆𝑥,psd 𝑓 = 𝑥2 + 𝑐a 𝑓 a + 𝑐𝑠 2 4. 以上の関係から次のようになる 𝑥1 1 = 𝑓1 0 ca cs + a 1 ばね//ダンパ回路 𝑥2 𝑓2 xが電圧で、fが電流の アナロジーでよいのね 変位xが位差量で、力f が流通量だものね # Page. 72 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GEW1L81K72.jpg) 3.4 並列接続 (例題２) 72 次は質量が加わったものです。これは以前、3要素の並列回路として表現したものと同じ ように見えます。ただし、x3 , f3 が接地されてない点が違います。 𝑥1 𝑓1 𝑐 m a 𝑥3 𝑥1 𝑓3 mm 𝑓1 1 𝑚𝑠 2 0 1 𝛤𝑎𝑏 = 𝑥2 𝑓1𝑎 𝑓2 Γ12 各伝達マトリクスは次のようになります 𝛤12 = 𝑥2 𝑥1 1 0 𝑐𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 1 c 𝑓2𝑎 𝑥3 𝑥1 𝑥2 𝑓3 𝑓1𝑏 𝑎 𝑓2𝑏 Γab ここでは質量要素が直列要素として接続されています。力は、質量の加減速力を引いた力 がf3として伝達されます。ただし、変位は同じということですね。 この伝達マトリクスは次のようになります。 𝑥3 𝑥1 1 = 𝛤 𝛤 = 12 𝑎𝑏 𝑓1 𝑓3 𝑚𝑠 2 0 1 1 0 𝑐𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 1 𝑥3 𝑓3 = 1 𝑚𝑠 2 𝑐𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑚𝑐𝑎𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑥3 𝑓3 # Page. 73 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47ZPM8PNE3.jpg) 3.4 並列接続 (例題２) 伝達マトリクス： 𝑥1 𝑓1 = 1 𝑚𝑠 2 𝑐𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑚𝑐𝑎𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 73 𝑥3 𝑓3 さて、 ここで x3､f3 が接地されているとします。すなわちx3=0とすることですね。すると、 𝑥1 = 𝑐𝑎 𝑓 𝑐𝑠 + 𝑎 3 2 𝑓1 = 𝑚𝑐𝑎𝑠 + 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑓3 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑥1 = 𝑐𝑎 𝑓 𝑚𝑐𝑎𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑎 1 これはお馴染みの2次振動系です。 1Τ𝑚 𝑥1 = 2 𝑓1 𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 1 2𝜁𝜔𝑛 = 𝑎𝑚 𝜔𝑛 = 1 𝑚𝑐 この例では、伝達マトリクス法を用いるのは少々面倒な気がします。以前用いた電 気回路アナロジー（モビリティ）計算法のほうがシンプルでしょう。 しかし、次から述べますが、この伝達マトリクス法が力を発揮する例もあります。 # Page. 74 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ6MNPM97V.jpg) 変位・力系のモビリティで計算 74 変位・力系のモビリティを使って電気回路と同じように計算してみる ダンパのモビリティ： 𝜆𝑥,damper = aΤ𝑠 質量のモビリティ： 𝜆𝑥,mass = 𝑚𝑠 2 −1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑓1 𝑓2 𝑓3 1. 力の通過（流れ）から次の関係が導かれます ∴ 𝑓1 = 𝑓3 + 𝑓 = 𝑓3 + 𝑚𝑠 𝑥1 𝜆𝑥,damper 𝑓 質量とばね//ダンパ回路 ∵ 𝑓2 = 𝑓3 𝑓 = 𝑓1 − 𝑓2 = 𝑓1 − 𝑓3 𝑥1 𝑥1 𝑓= = = 𝑚𝑠 2 𝑥1 2 −1 𝜆𝑥,mass 𝑚𝑠 2 𝜆𝑥,mass ばねのモビリティ： 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 = 𝑐 1 ⋯ (a) 2. 位置の変化（差異）から次の関係が導かれます 𝑐a ⋯ (b) 𝑥1 = 𝑥3 + 𝜆𝑥,psd 𝑓3 = 𝑥3 + 𝑓 a + 𝑐𝑠 3 𝜆𝑥,psd = 1 𝜆𝑥,𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 + 1 𝜆𝑥,damper = a + cs ca 4. (b),(c)式から 3. (a),(b)式から 𝑐a 𝑓1 = 𝑓3 + 𝑚𝑠 2 𝑥1 = 𝑓3 + 𝑚𝑠 2 𝑥3 + 𝑓 a + 𝑐𝑠 3 𝑐a 𝑓1 = 𝑚𝑠 2 𝑥3 + 1 + 𝑓 ⋯ (c) a + 𝑐𝑠 3 𝑥1 𝑓1 = 1 𝑚𝑠 2 𝑐𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑚𝑐𝑎𝑠 2 + 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑐𝑠 + 𝑎 𝑥3 𝑓3 # Page. 75 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ5Z5KZDE4.jpg) ４. 多段要素の接続 75 要素の繰り替えし接続 𝑛−1 𝛤 𝑥1 𝑥2 𝑥n m 𝑓1 cΤ2 m cΤ2 𝑓2 cΤ2 m cΤ2 cΤ2 cΤ2 𝑓n # Page. 76 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/9E2RNWPMJR.jpg) 4.1 多段要素の接続 多段フィルタ 𝑛−1 𝛤 𝑥1 𝑥2 𝑥n m 𝑓1 cΤ2 76 m 𝑓2 cΤ2 cΤ2 m cΤ2 cΤ2 cΤ2 𝑓n 1. まず、1要素の伝達マトリクスを求めてみます。“ばね、質量、ばね”の直列接続 ですから次のようになります。 𝛤 = 𝛤𝑠 𝛤𝑚 𝛤𝑠 = 1 0 𝑐 Τ2 1 1 𝑚𝑠 2 0 1 1 0 𝑐 Τ2 = 1 𝑐𝑚𝑠 2 1+ 2 ms2 𝑐 2 𝑚𝑠 2 𝑐+ 4 𝑐𝑚𝑠 2 1+ 2 2. いま振動現象を扱うとして、s=jωとすれば次の式が得られます。 𝛤= 1 𝜔 1− 2 𝜔n −m𝜔 2 2 1 𝜔 𝑐 1− 4 𝜔n 1 𝜔 1− 2 𝜔n 2 2 𝜔𝑛 = 1 𝑚𝑐 (ばね、質量、ばねとしたのは、 あとで𝒄𝒐𝒔𝒉 𝜽 を使いたいため) # Page. 77 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/D7YDPL5P7M.jpg) 4.1 多段要素の接続 77 3. 入出力の間に(n-1)段のフィルタが直接接続されているとすると、全体の伝達マトリクス 方程式は次のようになります。これはΓをn-1回かけることになるので計算は大変になり ます。 (n-1)段のフィルタ： 𝑥1 𝑥n n−1 = Γ 𝑓1 𝑓n 4. そこで、次のようにA,B,C,Dを置き換えます。すると上記の計算が簡単になります。 A = cosh 𝜃, B = 𝜆0 sinh 𝜃, C = sinh 𝜃 Τ𝜆0 , D = cosh 𝜃 5. すると行列式は１となります。 1 𝜔 A=D=1− 2 𝜔n 1 𝜔 𝐵 =𝑐 1− 4 𝜔𝑛 Δ = AD − BC = cosh2 𝜃 − 𝜆0 sinh 𝜃∙ sinh 𝜃 Τ𝜆0 = 1 2 = cosh 𝜃 また、𝜆𝜃 は次のように求められます 2 = 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃, 𝜆0 = B =c C 𝜔 𝜔n 2 − 1 4 𝐶 = −𝑚𝜔2 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 Τ𝜆0 1要素の伝達マトリクス： 𝛤𝜃 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝜔𝑛 = 1 𝑚𝑐 # Page. 78 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VEN654NME8.jpg) 4.1 多段要素の接続 78 6. 2段フィルタの伝達マトリクスは、 𝛤𝜃 をマトリクスは2回掛けます 𝛤𝜃 2 = 𝛤𝜃 𝛤𝜃 = 𝛤𝜃 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝛤𝜃 2 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝜆0 2𝜆0 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝜃 7. 双曲線正弦・余弦関数の公式から 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝜃 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝜃 8. この結果を基に書き直すと 𝛤𝜃 2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝜃 Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝜃 = 𝛤2𝜃 𝛤𝜃 2 = 𝛤2𝜃 9. よって、m段フィルタの伝達マトリクスは次のようになります。 m段の伝達マトリクス： 𝛤𝜃 𝑚 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚𝜃 𝑠𝑖𝑛ℎ m𝜃Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑚𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑚𝜃 = 𝛤𝑚𝜃 # Page. 79 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y79LYQRWJ3.jpg) 4.2 特性モビリティ 79 特性モビリティ 図のように要素の出力端にモビリティ𝜆0 を直列に接続して接地した場合のx1、f1の関係は 次のように与えられます。 𝑥1 𝑓1 cosh θ sinh θΤλ0 λ0 sinh θ cosh θ 𝑥1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 = 𝑓1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑥2 𝑓2 𝑥1 𝜆0 同じとなる 𝜆0 𝑓2 𝜆 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑓2 = 0 𝑓2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑓2 𝑓1 𝜆0 𝑥2 = 𝜆0 𝑓2 とする 入力からみたモビリティは、 𝜆0 となります。 𝑥1 𝜆0 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑓2 = = 𝜆0 𝑓1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝜃 𝑓2 このように伝達要素のマトリクスの中の𝝀𝟎 と等しいモビリティ𝝀𝟎 を出力端側に 直列にして接地した場合、入力からみたモビリティは𝝀𝟎 になります。 このよう要素に特徴づけられた𝝀𝟎 を特性モビリティとよぶ # Page. 80 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G78X6GWRED.jpg) 4.3 多段フィルタでの振幅比 80 正弦波的入力変位x1に対する出力変位xnの振幅比を求めます。 𝑛−1 𝛤 𝑥1 𝑥2 𝑥n m 𝑓1 cΤ2 m cΤ2 𝑓2 cΤ2 𝑥1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 = 𝑓1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 Τ𝜆0 m cΤ2 cΤ2 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑥𝑛 𝑓𝑛 出力端を自由と仮定すると次の式になります。 𝑥1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 = 𝑓1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 Τ𝜆0 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑥𝑛 0 Xn 1 = X1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑥1 = X1 ej𝜔t 𝑥n = Xn ej𝜔t 例えば、 n=2では、 X2 1 = X1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 n=6では、 X6 1 = X1 𝑐𝑜𝑠ℎ 5 𝜃 cΤ2 𝑓n # Page. 81 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L7L89GN2JR.jpg) 4.3 多段フィルタでの振幅比 このようにフィルタが6段つながったときの、入出力の振幅比は𝟏Τ𝒄𝒐𝒔𝒉𝟓 𝜽 となります。 この値を求めるには、 1. フィルタ2段の時のθの値を求め、 2. それを5θとしてハーパーコサイン関数(cosh)に代入して計算すればよい。 １．フィルタ2段の時のθの値を求めます。 θは複素数として次のようにおくと 𝜃 = 𝑢 + 𝑖𝑣 𝑋2 1 1 = = 𝑋1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑣 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝑣 またすでに計算したように 1 𝜔 cosh 𝜃 = 1 − 2 𝜔n 2 実数となります。 ２．求めたθと基に、5θとしてハーパーコサイン関数(cosh)に代入して計算します 𝑋6 1 = 𝑋1 𝑐𝑜𝑠ℎ5 𝜃 これを計算した結果を次頁に示します。計算はpythonで行いました。 81 # Page. 82 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EM6ZQX97W.jpg) 4.3 多段フィルタでの振幅比 82 cosh5x_v1.py 1.97538 1.78201 1.41421 0.90798 0.31287 X6 1 = X1 𝑐𝑜𝑠ℎ 5 𝜃 書籍の図とは若干違うようにも思える。間違っているかもしれません。 # Page. 83 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/PERP68N979.jpg) osh5x_v1.py 4.3 多段フィルタでの振幅比 python # 機械回路多直列要素の振動フィルタ #工学解析 page 388-395 図11.19に相当 #20261023 shimojo # import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 日本語フォントの設定（Windows標準フォント） #plt.rcParams['font.family'] = 'MS Gothic' plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo' コピペできます # 理論値をコンソールに出力 print("理論的な特異点 (ピーク) の r の値:") for k, r_val in zip(k_values, r_singular): print(f" k = {k}: r = {r_val:.5f}") # 3. グラフの描画 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(r, y_5x, 'b-', linewidth=1.2, label=r'$|1 / ¥cosh(5x)|$') plt.plot(r, y_1x, 'r--', linewidth=1.2, label=r'$|1 / ¥cosh(x)|$') # 1. グラフ描画用の高解像度 r データ (0.001刻み) # rは角振動数を固有振動数で正規化した値 r = np.arange(0, 5.001, 0.001) #r=omega/omega_n a = 1.0 - 0.5 * r**2 #cosh(x) = a x = np.arccos(a.astype(complex)) * 1j #cosh(x) = a """ # 理論的な特異点に赤い垂線を表示 「実数配列 a を複素数型にキャスト（変換）した上で、逆余弦関数（arccos）を定義 for i, r_val in enumerate(r_singular): 域の制限なく計算する」 plt.axvline(x=r_val, color='red', linestyle=':', alpha=0.7, cosh(x) = a の解が x = i arccos(a)と表せる数学的な理由は、 label='Singularities' if i == 0 else "") 双曲線関数（cosh）と三角関数（cos）を複素数上で結びつける関係式に由来します。 任意の複素数 x に対して次の基本関係式が成立します。cosh(ix) = cos(x) """ #plt.xlabel('r', fontsize=12) y_5x = np.abs(1.0 / np.cosh(5.0 * x)) plt.xlabel('ω/ω_n', fontsize=12) y_1x = np.abs(1.0 / np.cosh(x)) plt.ylabel('Gain', fontsize=12) #plt.title(r'Singularities of $|1 / ¥cosh(5x)|$ and Theoretical # 2. 理論的な特異点 (ピーク) の r の値を計算 $r$ Values', fontsize=13) # 5x = i * (2k + 1) * pi / 2 => theta = (2k + 1) * pi / 10 plt.title(r'入出力変位振幅比 $|1 / ¥cosh(5x)|$ ', fontsize=13) k_values = np.arange(0, 5) # k = 0, 1, 2, 3, 4 plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7) theta_singular = (2 * k_values + 1) * np.pi / 10.0 plt.legend(fontsize=10) a_singular = np.cos(theta_singular) plt.yscale('log') r_singular = np.sqrt(2.0 * (1.0 - a_singular)) plt.show() 83 # Page. 84 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/P7X3M8N3EX.jpg) 4.4 多段フィルタでの入力インピーダンス 84 次に、正弦波的入力変位x1に対する出力の反作用力を求めます。 𝑛−1 𝛤 𝑥1 𝑥2 𝑥n m 𝑓1 cΤ2 m cΤ2 𝑓2 m cΤ2 𝑥1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 = 𝑓1 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 Τ𝜆0 𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑥n 𝑓1 = 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 Τ𝜆0 𝑥𝑛 cΤ2 cΤ2 𝜆0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝑓1 = cΤ2 𝑥𝑛 0 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑛 − 1 𝜃 1 = tanh 𝑛 − 1 𝜃 𝑥1 𝜆0 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 𝜆0 すでに示したように次の関係があります。 1 𝜔 cosh 𝜃 = 1 − 2 𝜔n 2 𝜆0 = c 𝜔 𝜔n 2 1 − 4 tanh z = 1− 1 cosh2 z 𝑓n # Page. 85 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/37KYGKNNED.jpg) 4.4 多段フィルタでの入力インピーダンス 正弦波的入力を代入すれば、力と変位との振幅比と位相角が求められます 𝑓1 = 1 tanh 𝑛 − 1 𝜃 𝑥1 𝜆0 1 F1 ej𝜙 = 𝜆 tanh 𝑛 − 1 𝜃 X1 0 F1 1 ej𝜙 = tanh 𝑛 − 1 𝜃 = X1 n−1 𝜆0 F1 1 = X1 n−1 c 1 c 1− 𝜔 2 1 − 𝜔n 4 Xn 2 1− X1 ∵ 𝜔 2 1 − 𝜔n 4 1 cosh2 𝑛 − 1 𝜃 Xn 1 = X1 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑛 − 1 𝜃 n-1=5要素の場合は次のようになります。 F1 1 = X1 6−1 c 1 − Xn ΤX1 2 1 − Xn ΤX1 2 > 0? ? 𝜔Τ𝜔n 2 − 0.25 複素数計算としました これを計算した結果を次頁に示します。計算はpythonで行いました。 85 # Page. 86 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJ39NZVZJ5.jpg) 4.4 多段フィルタでの入力インピーダンス cF1 Z= = X1 6−1 tanh5x_v1.py 1 − X 6 ΤX1 2 𝜔Τ𝜔n 2 − 0.25 書籍の図とはだいぶ違うようにも思える。間違っているかもしれません。 86 # Page. 87 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8JDGWR84JG.jpg) 4.4 多段フィルタでの入力インピーダンス 縦軸を線形表示にしてみた tanh5x_v1.py cF1 Z= = X1 6−1 1 − X 6 ΤX1 2 𝜔Τ𝜔n 2 − 0.25 書籍の図とはだいぶ違うようにも思える。間違っているかもしれません。 87 # Page. 88 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VEP39W8V78.jpg) tanh5x_v1.py 多段フィルタでの入力インピーダンス python コピペできます # 機械回路多直列要素の振動フィルタ #工学解析 page 388-395 図11.19に相当 #20261023 shimojo import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt 計算できるように修正 yy_5x = np.abs(np.sqrt((1.0 - y_5x**2).astype(complex)) / np.sqrt((r**2 - 0.25).astype(complex))) yy_1x = np.abs(np.sqrt((1.0 - y_1x**2).astype(complex)) / np.sqrt((r**2 - 0.25).astype(complex))) # 日本語フォントの設定 plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo' # 2. グラフの描画 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(r, yy_5x, 'b-', linewidth=1.2, label=r'$Z_{5x}$') plt.plot(r, yy_1x, 'r--', linewidth=1.2, label=r'$Z_{1x}$') # 1. グラフ描画用の高解像度 r データ (0.001刻み) r = np.arange(0, 5.001, 0.001) a = 1.0 - 0.5 * r**2 #cosh(x) = a plt.xlabel(r'$¥omega / ¥omega_n$', fontsize=12) x = np.arccos(a.astype(complex)) * 1j #cosh(x) = a plt.ylabel('Impedance', fontsize=12) """ plt.title('入出力端動インピーダンス', fontsize=13) 「実数配列 a を複素数型にキャスト（変換）した上で、逆余弦関数（arccos）を plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7) 定義域の制限なく計算する」 plt.legend(fontsize=10) cosh(x) = a の解が x = i arccos(a)と表せる数学的な理由は、 双曲線関数（cosh）と三角関数（cos）を複素数上で結びつける関係式に由来し ます。 # 縦軸の極端なピークで見づらくなるのを防ぐために表示範囲を設定 任意の複素数 x に対して次の基本関係式が成立します。cosh(ix) = plt.ylim(0, 10) cos(x) #plt.yscale('log') """ plt.show() y_5x = np.abs(1.0 / np.cosh(5.0 * x)) y_1x = np.abs(1.0 / np.cosh(x)) # Impedanceの計算 Z # .astype(complex) を使用して、sqrtの中身が負になっても複素数として 88 # Page. 89 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/27V4M8NREQ.jpg) ５．Ltspiceでの検証 多直列低域フィルタの回路 89 1段と5段フィルタの特性を 調べる 𝜔𝑛 = 1 [rad/s], 𝑓𝑛 = 0.159 𝐻𝑧 c=1,m=1 とした tadanFilter5X.asc # Page. 90 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/5JG1G5K67L.jpg) 5.1 Ltspiceでの検証(周波数軸) 位相 Gain: 𝑋6 𝑋1 多直列低域フィルタの 周波数特性 𝜔𝑛 = 1 [rad/s], 𝑓𝑛 = 0.159 𝐻𝑧 計算値とほぼ同じ かな、また違いも あるかな？ n=2 位相 90 ピーク値は周波数セン シティブなので刻み幅 で大分変るから n=6 V(int_x6)/V(int_x1) Impedance Z V(int_x22)/V(int_x11) V(int_x1)/I(L1) V(int_x11)/I(L11) n=2 n=6 位相 表示にはこのコマンドを忘れずに！ 103は60dBね dB → 20 log10 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 # Page. 91 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/47QDXZN2EP.jpg) 5.2 Ltspiceでの検証(時間軸) 91 表示は変位入力 1段フィルタ 変位入力 多直列低域フィルタ 時間軸特性 𝜔𝑛 = 1 [rad/s], 𝑓𝑛 = 0.159 𝐻𝑧 変位出力 速度出力 5段フィルタ 変位入力 変位出力 試しに、正弦波 ２Hzを入力して みた。 速度出力 tadanFilter5X.asc # Page. 92 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/KE4Z63GPJ1.jpg) Ltspiceで検証してみた(時間軸) 92 表示は速度入力 速度入力 1段フィルタ 変位出力 速度出力 速度入力 多直列低域フィルタ 時間軸特性 𝜔𝑛 = 1 [rad/s], 𝑓𝑛 = 0.159 𝐻𝑧 試しに、正弦波 ２Hzを入力して みた。 表示は速度入力 5段フィルタ 変位出力 速度出力 tadanFilter5X.asc # Page. 93 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/L71RV1DX7G.jpg) 電気回路でのF行列の意味 93 電気回路でのF行列の意味 1. 2ポート回路とF行列（ABCDパラメータ）の定義 回路の入力側（端子1）の電圧・電流 𝑉1 , 𝐼1 と、出力側（端子2）の電圧・電流 𝑉2 , 𝐼2 の関係を表す 行列式がF行列（伝送行列 / ABCD行列）です。 𝑉1 𝐴 𝐵 = 𝐼1 𝐶 𝐷 𝑉1 𝐴 = ቚ 𝐼2 =0 ：電圧比（無次元） 𝑉2 𝑉1 ቚ ：伝送インピーダンス 𝐼2 𝑉2 =0 𝐼 𝐶 = 1 ቚ 𝐼2 =0 ：伝送アドミタンス S 𝑉 𝐵= 𝑉2 𝐼2 Ω 2 𝐼1 𝐷 = ቚ 𝑉2 =0：電流比（無次元） 𝐼2 2. 伝送定数 𝛾と特性インピーダンス 𝑍0 による表現 受動的で左右対称な回路（T型や𝜋型などの対照フィルタ回路網、または均一な長距離伝送 線路）では、相互律（det 𝐹 = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 1）および対称性（𝐴 = 𝐷）が成立します。 このとき、1セクションあたりの伝送定数を 𝛾、特性インピーダンスを 𝑍0 とおくと、F行列 の各要素は次のように双曲線関数 cosh, sinhで表されます。 𝐴 𝐶 𝐵 = 𝐷 cosh 𝛾 1 sinh 𝛾 𝑍0 𝑍0 sinh 𝛾 cosh 𝛾 # Page. 94 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G7W1L8YKJ2.jpg) 電気回路でのF行列の意味 なぜ cosh 𝛾が現れるのか？ 関係式 det 𝐹 = 𝐴2 − 𝐵𝐶 = 1（※対称回路なので 𝐴 = 𝐷）に着目すると、これは双曲線関数の基本恒 等式である： cosh2 𝛾 − sinh2 𝛾 = 1 と同値です。回路の対称性とエネルギー保存・相互律を満たす表現形式を選んだ結果、必然的に 𝐴 = 𝐷 = cosh 𝛾と導かれます。 3. N段縦続接続における計算の簡潔さ F行列の最大の強みは、回路を 𝑁段直列（縦続）に接続したときの合成行列が各段の行列の積になる 点です。 全系の行列を 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 とすると： 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹×𝐹× ⋯×𝐹 = 𝐹 𝑁 1段の行列が coshと sinhで書かれているため、行列の 𝑁乗の計算結果は単に伝送定数（減衰と位相 変化）が 𝑁倍になるだけという、極めて美しい形になります。 cosh 𝛾 𝐹𝑁 = 1 sinh 𝛾 𝑍0 𝑍0 sinh 𝛾 cosh 𝛾 𝑁 cosh 𝑁𝛾 = 1 sinh 𝑁𝛾 𝑍0 𝑍0 sinh 𝑁𝛾 cosh 𝑁𝛾 94 # Page. 95 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4JZPM8XN73.jpg) 双曲線関数 95 複素数 𝑥 = 𝑢 + 𝑖𝑣における双曲線関数 cosh 𝑥の展開式： cosh 𝑢 + 𝑖𝑣 = cosh 𝑢 cos 𝑣 + 𝑖 sinh 𝑢 sin 𝑣 において、 𝑢 と 𝑣 の役割と性質には、幾何学的・物理的にきわめて決定的な違いがあります。 1. 𝑢と 𝑣の決定的な違い 𝑢と 𝑣の振る舞いには、主に次のような相違点があります。 項目 実部 u 虚部 v 周期性 非周期（単調増加・減少） 周期関数（周期 2π） 値の範囲 実数全域 (−∞,+∞) 角度・位相相当 (−∞,+∞) ※実質は [0,2π) 作用する関数 双曲線関数（coshu,sinhu） 三角関数（cosv,sinv） 物理的意味 振幅の拡大・縮小（スケール） 回転・位相シフト（振動） オイラーの公式 𝑒 𝑖𝑣 = cos 𝑣 + 𝑖 sin 𝑣からわかるように、「虚部 𝑣は回転（周期性）」 をもたらし、「実部 𝑢は伸び縮み（指数的な増大・減衰）」をもたらします。 # Page. 96 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YE6MNP49JV.jpg) 双曲線関数 複素関数としての cosh 𝑥は、「直線格子 𝑢, 𝑣 を、互いに直交する楕円群と双曲線 群（共焦点二次曲線族）へ変換する写像」 そのものです。 ⚫ 𝑢の移動：同心状に広がる「楕円」 のサイズを決定する（大きさ・エネ ルギーの尺度）。 ⚫ 𝑣の移動：楕円上を周回する「位 置・位相」を決定する（角度・周期 の尺度）。 このように、実数世界では別々に見える 「双曲線（𝑐𝑜𝑠ℎ）」と「円・楕円 （𝑐𝑜𝑠）」が、複素数へ拡張された途端に 𝑢と 𝑣の相互作用によって完全に一体化す ることが、cosh 𝑥 の本質的な美しさと言え ます。 96 # Page. 97 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GE5Z5KQD74.jpg) つづく ⚫ やっと機械回路の本筋に復帰です。新たに変位系のモビリティも導入します。これまではモー ターや熱について記述してきましたが、少々細かいところまで入り込みすぎたようです。 ⚫ 今回は、入出力関係を行列表現で表して解析する手法の紹介です。これは電気回路での縦続(F) 行列に相当するものです。電気回路の相反定理やテブナンの定理の、機械回路への応用例も示 します。 ⚫ 伝達マトリクスの行列式が「-1」となったため、その理由を解き明かすのにかなり時間を取ら れてしまいました。機械科の材料力学で慣れ親しんだ演習問題の解答と、電気回路演習での前 提の考え方に勘違いがあったことが分かりました。本当につまらない私のミスでしたが、改め て再学習する良い機会となりました。 ⚫ 話は変わりますが、近年ロボティクス関係でハンドの研究が注目を浴びています。そのためで しょうか、すでに先端から身を引いた私の所にも触・近接覚に対する問い合わせが増えていま す。海外からも費用や報酬など手厚いご提示をいただきましたが、お断りいたしました。研究 のほとんどを科研費で行ってきたため、やはりノウハウや知見は国内に還元したいと思ってい ます。 ⚫ アナロジーは形式的なもので、物理的意味はない、という意見もあります。どうなのでしょう か、私も知りたいところです。 97 # Page. 98 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/972RNWWMER.jpg) 参考文献 98 中田孝:工学解析(技術者のための数学手法)、オーム社、1972、総頁 572。 # Page. 99 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/DJYDPLLPJM.jpg) 参考文献 99 ⚫ 鎌倉友男 上芳夫 渡辺好章：電気回路、 電子工学初歩シリーズ ３-４ 培風館、2011. 今回利用したpythonおよびLTspice schematicファイル(.asc) は下記に置きました https://github.com/m4881shimojo/transferMatrix 。ascファイルが正しくDLできない問題 GithubをZIPファイルとしてdownloadするのをお勧めします。 GitHubリポジトリ全体をダウンロードする場合は、 緑の 「Code」→「Download ZIP」 を選び、 展開すれば正しい形式の。ascファイルが含まれています。 # Page. 100 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/V7N6544M78.jpg) 補足：中田孝氏について 100 中田 孝（1908- 2000）：日本の機械工学者。東京工業大学名誉教授。 元日本機械学会会長。元計測自動制御学会会長。元日本学士院会員。日本 学士院賞受賞。 https://ja。wikipedia。org/wiki/中田孝 中田孝先生は、大学院時代に私が所属した研究室の前教授でした。著書「転位歯車」は 修論では大変お世話になりました。しかし、いろいろな逸話などは聞くことはありまし たが、中田先生にはお会いしたことは残念ながらありませんでした。先日、同期で研究 室を引き継いだ北條さん（東工大名誉教授）に会った時、その話をしたところ、中田先 生の講義ビデオを送って頂き、初めてその肉声に触れることができました。感謝します。 そのビデオを見ながら、中田先生は、歯車の研究で日本学士院賞を45歳で受賞したのを はじめ、自動制御、NC工作機などの分野も手掛けた非常にエンジニアリングセンスの高 い方であり、また数学や電気電子工学に対する造詣も大変深い方だと認識を新たにしま した。またビデオの中で“歯型理論にはあまり手を付けたくなかったが電気回路理論の 応用に興味を持っていたので研究を進めた”とのあたりは、非常に親近感を感じました。 中田孝先生の紹介記事です【日本の工作機械を築いた人々】 大河出版「応用機械工学」1988年4~5月号掲載、 https://www。sme-japan。org/library5。pdf 中田先生のNC工作機械を開発したのときの開発談が語られています。大変面白い内容ですのでお勧めです。 # Page. 101 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/YJ9LYQQWE3.jpg) 補足（私の卒論・就職・修論） 1/2 101 【卒研】卒業研究では、電通大の梶谷研究室で歯車加工用ホブ盤の制御回路を作成しました。開発する制御 回路は、ホブ盤主軸の回転角度を計測して電気油圧パルスモータを制御するものです。このモータは、歯車 切削工具を駆動するもので、電気パルスモータの出力をプランジャー形油圧モータでトルク増幅する仕組み です。初めて実物のホブ盤を見たときの印象は「巨大な鉄の塊」で、制御ミスによってこのパワフルな油圧 モータを暴走させてしまったらどうなるかと、恐れを抱いたのを覚えています。 （なお、このホブ盤は東 工大石川研究室にありました） 試作した制御回路は、単純な論理素子（TTL）を組み合わせたものです。当時は論理素子の黎明期で、詳し い解説書もほとんどない時代でした。初歩の初歩から学び始め、テキサス・インスツルメンツ（ TI ）社の 分厚いデータブックで論理素子の細かい仕様をチェックしながら、連日連夜、回路を組んではオシロスコー プで動作を確認して設計を進めていました。なお、スペースが無いため作業は先生の居室に実験机を置いて、 一人黙々と行っていました。今振り返っても本当に充実した楽しい時間でした。ご指導いただいた梶谷誠先 生には心から感謝しております。 しかし、いざ試作機で歯車切削実験に臨むと、結果は散々でした。起動時の主軸回転速度変化に工具軸が追 従できず、パルスモータが脱調を起こして失敗。「卒研レベルで解決できるのだろうか」と途方に暮れ、か なり落ち込んだ記憶があります。さらに電気ノイズ問題も厄介で「大学実験室の電気アースは安易に信用し てはならない」という教訓を身をもって学びました。 こうしたトラブルに対して必死に改良を重ね、ついにホブ盤が正常に動いた瞬間、そして削り出された美し い歯車を目にしたときの感激は、今なお鮮明に記憶に残っています。 一方で、試作歯車には「歯すじ誤差」という技術的課題が残りました。これは切削負荷の増加によって工具 軸に回転遅れが生じることが原因であり、すなわち電気油圧パルスモータの長所である「開ループ制御」の 本質的な限界を示していました。後年、ファナックが開ループから閉ループ制御へと舵を切った際も、当時 の実体験から「当然の決定だ」と納得したものです。（追記、後に中田孝先生が電気油圧パルスモータの開 発に深く関わっておられたことを知り、奇妙な技術的縁を感じました） # Page. 102 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/GJ8X6GGR7D.jpg) 補足（私の卒論・就職・修論）2/2 102 【就職】卒業後は富士通に就職しました。理由は富士通の子会社であるファナック社でのロボット開発に関 心があったためです。ファナックは1972年に富士通のNC部門が分離独立し、富士通ファナックとして発足 しましたが、当時入社には富士通に就職する必要がありました。（←私の記憶では。ちなみに私は1972年 度学部卒業です） 幸い入社時の実習先は希望通りファナックとなり、昼休みなどにパルスモータの試験現場を見学できたこと などは貴重な経験でした。しかし、その後の本配属先は富士通本社の部署となったため、すぐに退職して東 工大院石川研(中田孝研の後継研究室)へ進学することにしました。この際も梶谷先生にはご迷惑をお掛けし たにも関わらず、親身にお世話をしていただき、心から感謝しております。 退職理由として「本社配属となり、子会社への配属希望が通らなかった」は常識から外れたところもあり、 また当時の「石の上にも三年」という価値観が強い時代でしたので、周囲からはいろいろ言われました。人 生に「 if 」はつきものですが、ファナックに入っていたら、全く違う人生を送ったようにも思います。 【修論】修論では習得した論理回路の設計技術を用いて、自動歯車精度測定機の開発に係り、歯形計算回路 と測定機の制御回路の開発を行いました。また修士2年の頃、当時の先進機器であるミニコン(HP-21MX) が納入されたので、データ処理（Fourier解析など）に利用することにしました。 それからは、ミニコンと歯車測定機とのinterface回路設計から始めて、各種ソフトウェア作りと正月返上 で没頭する日々でした。何より大変だったのは、そのミニコンが紙テープベースの開発環境だったことです。 コンパイラやライブラリ、リンカも、毎回ソフトウェアを紙テープで読み込ませる必要があり、コンパイル 結果も紙テープ経由でテレタイプ（110 baud rate）に出力するという、現在では考えられないほど手間のか かる気の遠くなるような作業環境でした。(※DOS: Disk Operating Systemは凄い！) 実は、修論には無理にミニコンを利用する必要はなかったのですが、好奇心からお願いして無謀にも利用し たのが真実です。これらの成果は機械学会誌に論文として掲載できました。そして修了後は、合格していた 国家公務員試験（上級甲機械）を使って国立研究機関（現在の産総研）へ就職いたしました。 大学時代に、昼夜を忘れて一心不乱に打ち込んだ、論理回路設計や計算機工学、そしてそれらを試作機へ 実装した経験は私のかけがえのない財産になったように思います。 # Page. 103 ![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/LJL89GG2ER.jpg) 103