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title: 通信符号理論 13
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author: [Akinori Ito](https://docswell.com/user/akinori-ito)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: Forward-Backwardアルゴリズム インターリーバ
published: July 02, 26
canonical: https://docswell.com/s/akinori-ito/ZPRR1L-2026-07-02-162124
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# Page. 1

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1
通信符号理論
第13回
伊藤彰則


# Page. 2

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2
シンボルMAP復号に向けて
ෝ = arg max 𝑃 𝒚 𝒙 𝑃(𝒙)
• ブロックMAP復号 𝒙
𝒙
• ブロックMAP復号は「全体として」確率最大のシンボル系列
ෝ = (𝑥ො1 , … , 𝑥ො𝑛 )
𝒙
を計算する
• それぞれの𝑥ො𝑖 が確率的な意味で最適であることを必ずしも意味しない
• ある𝑖番目のシンボルについて、確率的な意味で最も良い復号結
果を得るためにはどうしたらいいのか？


# Page. 3

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3
特定のシンボルを復号する
• 𝑖番目のシンボルについて最適な結果を得るには？
• 𝑥ො𝑖 = arg max𝑥𝑖 σ𝒙∖𝑥𝑖 𝑃𝑌|𝑋 (𝒚| … , 𝑥𝑖 , … ) 𝑃𝑋 ( … , 𝑥𝑖 , … )
• 𝒙 ∖ 𝑥𝑖 は「𝒙から𝑥𝑖 を除いたもの」つまり(𝑥1 , … , 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑛 )
• 省略しているが、実際にはσ𝒙∖𝑥𝑖 𝑃(… )は、「変数𝒙 ∖ 𝑥𝑖 について、すべ
ての可能な値に関する総和をとる」ことを意味する


# Page. 4

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4
シンボルMAP復号
• 𝑥ො𝑖 = arg max𝑥𝑖 σ𝒙∖𝑥𝑖 𝑃𝑌|𝑋 (𝒚| … , 𝑥𝑖 , … ) 𝑃𝑋 ( … , 𝑥𝑖 , … )
• 違う書き方をすると
σ𝒙∈𝐶,𝑥 =0 𝑃𝑌|𝑋 𝒚 𝒙 𝑃𝑋 (𝒙)
• 𝐿𝑖 = log σ
0
• 𝑥ො𝑖 = ቐ ?
1
𝑖
𝒙∈𝐶,𝑥𝑖 =1 𝑃𝑌|𝑋
𝐿𝑖 > 0
𝐿𝑖 = 0
𝐿𝑖 < 0
𝒚 𝒙 𝑃𝑋(𝒙)


# Page. 5

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5
Forward-Backwardアルゴリズム
• トレリスを使って確率の周辺化をするアルゴリズム
• Viterbiアルゴリズムに似た方法で確率を求める方法（Forward
確率）と、それを逆方向に適用する方法（Backward確率）の
組み合わせ
• 鎖状のファクターグラフに対するSum-Productアルゴリズムと考える
ことができる


# Page. 6

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6
トレリス、関数、変数
• 例えば次のトレリスを考える
入力𝑦𝑖 =0
1
0
0
1
• 受信語 𝒚 = (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) : 定数
• 符号語 𝒙 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) : 変数
• 状態系列𝒔 = (𝑠0 , 𝑠1 , … , 𝑠𝑛 ): 変数
• シンボル出力確率
• 𝑃𝑌|𝑋 (𝑦𝑖 |𝑥𝑖 )
• 状態遷移関数
• 𝑇(𝑠𝑖−1 , 𝑥𝑖 , 𝑠𝑖 ): 状態𝑠𝑖−1 でシンボル𝑥𝑖 を出力して状態𝑠𝑖+1 に遷移できる場
合は1、できない場合は0


# Page. 7

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7
状態遷移関数の例
• 右の例では
• 𝑇 𝑠10 , 0, 𝑠20 = 1
• 𝑇 𝑠10 , 0, 𝑠21 = 𝑇 𝑠10 , 0, 𝑠22 = 𝑇 𝑠10 , 0, 𝑠23
• 𝑇 𝑠10 , 1, 𝑠21 = 1
• 𝑇 𝑠10 , 1, 𝑠20 = 𝑇 𝑠10 , 1, 𝑠22 = 𝑇 𝑠10 , 1, 𝑠23
• 𝑇 𝑠13 , 0, 𝑠23 = 1
• 𝑇 𝑠13 , 0, 𝑠20 = 𝑇 𝑠13 , 0, 𝑠21 = 𝑇 𝑠13 , 0, 𝑠23
• 𝑇 𝑠13 , 1, 𝑠22 = 1
• 𝑇 𝑠13 , 1, 𝑠20 = 𝑇 𝑠13 , 1, 𝑠21 = 𝑇 𝑠10 , 1, 𝑠23
• 𝑇 𝑠11 , 𝑥, 𝑠2𝑘 = 0, 𝑇 𝑠12 , 𝑥, 𝑠2𝑘 = 0
=0
𝑠10
0
𝑠20
1
𝑠11
𝑠21
=0
𝑠12
𝑠22
=0
𝑠13
=0
1
0
𝑠23


# Page. 8

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8
ファクターグラフ
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
𝑠0
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 )
𝑠1
𝑇(𝑠2 , 𝑥, 𝑠3 )
𝑠2
𝑥1
𝑥2
𝑃 𝑦1 𝑥1 𝑃(𝑥1 )
𝑃 𝑦2 𝑥2 𝑃(𝑥2 )
𝑇(𝑠3 , 𝑥, 𝑠4 )
𝑠3
𝑇(𝑠4 , 𝑥, 𝑠5 )
𝑠4
𝑠5
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑃 𝑦3 𝑥3 𝑃(𝑥3 )
𝑃 𝑦4 𝑥4 𝑃(𝑥4 )
𝑃 𝑦5 𝑥5 𝑃(𝑥5 )
5
𝑃 𝒙 𝒚, 𝒔 = ෑ 𝑇 𝑠𝑖−1 , 𝑥𝑖 , 𝑠𝑖 𝑃𝑌|𝑋 𝑦𝑖 𝑥𝑖 𝑃𝑋 (𝑥𝑖 ) 𝑃 𝒙 𝒚 = ෍ 𝑃(𝒙|𝒚, 𝒔)
𝑖=1
𝒔


# Page. 9

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9
例
• 長いので3状態で考える
• 𝑃 𝒙 𝒚, 𝒔 = 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 𝑥1 ×
𝑇 𝑠1 , 𝑥2 , 𝑠2 𝑓2 (𝑥2 )
0
𝑠00
𝑠0
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 )
𝑠1
𝑥1
𝑠2
𝑥2
0
𝑠20
𝑠10
1
𝑠01
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
1
𝑠11
𝑠21
𝑃𝑌|𝑋 𝑦1 𝑥1 𝑃𝑋 𝑥1 𝑃𝑌|𝑋 𝑦2 𝑥2 𝑃𝑋 𝑥2
= 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
= 𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )


# Page. 10

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10
例
0
• 長いので3状態で考える
• 𝑃 𝒙 𝒚, 𝒔 = 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 𝑥1 ×
𝑇 𝑠1 , 𝑥2 , 𝑠2 𝑓2 (𝑥2 )
• より具体的に
• 𝑃 00 00, 𝑠00 , 𝑠10 , 𝑠20 = 1 ⋅ 𝑓1 0,0 ⋅ 1 ⋅ 𝑓2 0,0
= 𝑃𝑌|𝑋 0 0 𝑃𝑋 0 𝑃𝑌|𝑋 0 0 𝑃𝑋 (0)
• 𝑃 00 00, 𝑠00 , 𝑠11 , 𝑠20
= 0 ⋅ 𝑓1 0,0 ⋅ 0 ⋅ 𝑓2 0,0 = 0
• 𝑃 11 01, 𝑠00 , 𝑠11 , 𝑠20 = 1 ⋅ 𝑓1 1,0 ⋅ 1 ⋅ 𝑓2 1,1
= 𝑃𝑌|𝑋 0 1 𝑃𝑋 1 𝑃𝑌|𝑋 1 1 𝑃𝑋 (1)
𝑠00
0
1
𝑠01
𝑠20
𝑠10
1
𝑠11
𝑠21


# Page. 11

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11
例
𝑥2
• 𝑃 𝑥2 𝒚, 𝒔 を求める
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
𝑠0
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 )
𝑠1
𝑥1
𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑠2
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 )
𝑠2
𝑥2
𝑠0
𝑃 𝑦1 𝑥1 𝑃 𝑥1
= 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠1
𝑃 𝑦2 𝑥2 𝑃 𝑥2
= 𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑥1
𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )


# Page. 12

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/8EDKVW4K7G.jpg)

12
例
𝑥2
• 𝑃 𝑥2 = 1 𝒚, 𝒔 を求める
෍ 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠0 ,𝑥1
𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
𝑠1
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 )
𝑠2
1
𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠0
𝑥1
𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )


# Page. 13

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13
例
෍ 𝑇(𝑠1 , 𝑥2 , 𝑠2 ) ෍ 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠1 ,𝑠2
𝑠0 ,𝑥1
𝑥2
• 𝑃 𝑥2 = 1 𝒚, 𝒔 を求める
• 𝑃 𝑥2 𝒚, 𝒔 =
𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )
෍ 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠0 ,𝑥1
𝑓(𝑥2 , 𝑦2 ) ෍ 𝑇(𝑠1 , 𝑥2 , 𝑠2 ) ×
𝑇(𝑠0 , 𝑥, 𝑠1 )
𝑠1 ,𝑠2
𝑠1
𝑇(𝑠1 , 𝑥, 𝑠2 ) 1
𝑓2 (𝑥2 , 𝑦2 )
𝑠2
෍ 𝑇 𝑠0 , 𝑥1 , 𝑠1 𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )
𝑠0 ,𝑥1
𝑠0
𝑥1
𝑓1 (𝑥1 , 𝑦1 )


# Page. 14

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14
Forward確率とBackward確率
• トレリスの先頭から始まり、時刻𝑡において状態𝑠𝑡 にいる確率
𝛼 𝑡, 𝑠𝑡 （Forward確率）
• 時刻𝑡において状態𝑠𝑡 にいて、そこから最後まで遷移する確率
𝛽 𝑡, 𝑠𝑡 （Backward確率）
• 受信語が受信される確率はσ𝑠𝑡 𝛼 𝑡, 𝑠𝑡 𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑠𝑡0
𝛼(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 )
𝑠𝑡1
𝑠𝑡
𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡 , 𝑥𝑡+1 , 𝑠𝑡+1 )
𝑠𝑡+1
𝑠𝑡−1
𝑥𝑡
𝑥𝑡+1


# Page. 15

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15
Forward確率
𝛼 𝑡, 𝑠𝑡 = ෍ 𝑇 𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 𝑓𝑡 𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 𝛼(𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 )
𝑠𝑡−1 ,𝑥𝑡
𝑠𝑡
𝛼(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡 , 𝑥𝑡+1 , 𝑠𝑡+1 )
0
0
𝑠𝑡−1
𝑠𝑡0
1
1
𝛼(𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 )
𝑠𝑡+1
𝑠𝑡−1
𝑥𝑡
𝑥𝑡+1
𝑓𝑡 (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 )
1
𝑠𝑡−1
0
𝑠𝑡1
0
𝛼 𝑡, 𝑠𝑡0 = 𝑓𝑡 0, 𝑦𝑡 𝛼 𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1
+
1
𝑓𝑡 1, 𝑦𝑡 𝛼(𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1
)


# Page. 16

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16
Backward確率
𝛽 𝑡, 𝑠𝑡 =
෍
𝑇 𝑠𝑡 , 𝑥𝑡+1 , 𝑠𝑡+1 𝑓𝑡+1 𝑥𝑡+1 , 𝑦𝑡+1 𝛽(𝑡 + 1, 𝑠𝑡+1 )
𝑠𝑡+1,𝑥𝑡+1
𝑠𝑡
𝑇(𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 )
𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡 , 𝑥𝑡+1 , 𝑠𝑡+1 )
𝑠𝑡0
0
1
0
𝑠𝑡+1
1
𝑠𝑡+1
𝑠𝑡−1
𝑥𝑡
𝑥𝑡+1
𝛽(𝑡 + 1, 𝑠𝑡+1 )
𝑓𝑡+1 (𝑥𝑡+1 , 𝑦𝑡+1 )
𝑠𝑡1
0
1
𝑠𝑡+1
0
𝛽 𝑡, 𝑠𝑡0 = 𝑓𝑡+1 0, 𝑦𝑡+1 𝛽 𝑡 + 1, 𝑠𝑡+1
+
1
𝑓𝑡+1 1, 𝑦𝑡+1 𝛽(𝑡 + 1, 𝑠𝑡+1
)


# Page. 17

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17
シンボル生成確率
𝑓𝑡 (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 ) ෍ 𝑇 𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 𝛼 𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑠𝑡−1 ,𝑠𝑡
෍ 𝑇 𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 𝛼 𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
𝑥𝑡
𝑓𝑡 (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 )
𝑠𝑡−1 ,𝑠𝑡
𝑓𝑡 (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 )
𝑇(𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 )
0
0
𝑠𝑡−1
𝑠𝑡−1
𝛼(𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 )
𝑠𝑡0
1
𝑠𝑡
1
𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )
1
𝑠𝑡−1
0
𝑠𝑡1


# Page. 18

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18
Forward-Backwardアルゴリズム
1. Forward確率𝛼(𝑡, 𝑠𝑡 )を求める。
• 初期条件 𝛼 0, 𝑠00 = 1
• 漸化式を使って𝛼(𝑡, 𝑠𝑡 )を小さいtから順番に計算する
2. Backward確率𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )を求める。
• 初期条件𝛽 𝑛, 𝑠𝑛0 = 1
• 漸化式を使って𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )を大きいtから順番に計算する
3. ある特定の𝑥𝑡 について
• 𝑔𝑡 𝑥𝑡 = 𝑓𝑡 (𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 ) σ𝑠𝑡−1 ,𝑠𝑡 𝑇 𝑠𝑡−1 , 𝑥𝑡 , 𝑠𝑡 𝛼 𝑡 − 1, 𝑠𝑡−1 𝛽(𝑡, 𝑠𝑡 )


# Page. 19

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19
ターボ符号に向けて
• 現代でよく使われている符号
• Reed-Solomon符号
• ターボ符号
• Low Density Parity Check (LDPC)符号
• ターボ符号は畳み込み符号を組み合わせて作られている
• 「インターリーバ」による符号ビットの並べ替え
• 複数の畳み込み符号化器による符号化
• 繰り返し復号（ターボ復号）アルゴリズム
• シャノン限界に近い符号化性能を達成


# Page. 20

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/4EZLYM9473.jpg)

20
インターリーバ (Interleaver)
• 符号を並べ替える(interleaving)操作をするしくみ
• 12345678 → 13572468 など
• さまざまなインターリーバ
• ブロックインターリーバ
• ランダムインターリーバ
• 巡回シフトインターリーバ


# Page. 21

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/Y76WDNKG7V.jpg)

21
インターリーバの意義
• 誤り訂正では、ビット誤りが局所的に固まる（バースト誤り）
と性能が低下することが多い
• 誤りが多くても分散していればなんとかなる


# Page. 22

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/G75M35PX74.jpg)

22
インターリーバの意義
• ビットをあらかじめ入れ替え、後で元に戻す
• 誤りが集中しても、元に戻すことで誤りが分散する
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
0 4 8
1
1
1 1
1 1
1 5 9
2 6
3 7
2
3
0 4
1 5
0 4 8
1
1
1 1
1 1
1 5 9
2 6
3 7
2
3
0 4
1 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5


# Page. 23

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23
ブロックインターリーバ
• 固定長のブロックに対して簡単な方法で順序を入れ替える
• 原理が単純、ハードウェア化も容易
• 同じインターリーバを2回通すと元に戻る
0 1 2 3 4 5 6 7 8
縦方向に上→下、左→右の
順に行列にビットを詰める
0
3
6
1
4
7
2
5
8
0 3 6 1 4 7 2 5 8
横方向に左→右、上→下の順に
行列からビットを取り出す
前のページで使ったのは4×4のブロックインターリーバ


# Page. 24

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24
その他のインターリーバ
• ランダムインターリーバ
• ブロックの長さを決め、ビットの入れ替えをランダムに決める
（決めるときには疑似乱数で決め、一度入れ替え方を決めたら固定す
る）
• 巡回シフトインターリーバ
• ブロック長𝐿に対し、𝐿と互いに素な数 𝑎 < 𝐿を使い、
𝑝 𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑠 mod 𝐿 (𝑖 = 0, . . . , 𝐿 − 1)
によってインターリーブする
• ブロックインターリーバは典型的に𝐿 = 𝑛2 であったが、巡回シフトイ
ンターリーバではそうでなくてもよい


# Page. 25

![Page Image](https://bcdn.docswell.com/page/VJNYD5LR78.jpg)

25
巡回シフトインターリーバ
• 𝑝 𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑠 mod 𝐿, 𝐿 = 8, 𝑎 = 3, 𝑠 = 1 の例
𝒊
𝒑(𝒊) 𝒑−𝟏 (𝒊)
0
1
5
1
4
0
2
7
3
3
2
6
4
5
1
5
0
4
6
3
7
7
6
2
0
1
2
3
4
5
6
7
5
0
3
6
1
4
7
2


# Page. 26

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26
巡回シフトは全単射
0 < 𝑎 < 𝐿かつ𝑎と𝐿は互いに素であると
する。
𝑖 < 𝑗より、𝑛2 > 𝑛1 となる。両辺を𝑎で
割り、
整数𝑖, 𝑗 (0 ≤ 𝑖 < 𝑗 < 𝐿)について、𝑝 𝑖 =
𝑝(𝑗)であると仮定する。
𝑛2 − 𝑛1 𝐿
𝑗−𝑖 =
𝑎
𝑎と𝐿は互いに素であるから、𝑛2 − 𝑛1 は
正かつ𝑎の倍数でなければならない。こ
れは最小でも𝑎であり、 𝑛2 − 𝑛1 = 𝑎と
仮定すれば𝑗 − 𝑖 = 𝐿より
𝑗 =𝑖+𝐿 >𝐿
仮定より、整数0 ≤ 𝑟 < 𝐿, 0 ≤ 𝑛1 ≤ 𝑛2 に
ついて
𝑎𝑖 + 𝑠 = 𝑛1 𝐿 + 𝑟
𝑎𝑗 + 𝑠 = 𝑛2 𝐿 + 𝑟
と表せる。辺々引けば
𝑎 𝑗 − 𝑖 = 𝑛2 − 𝑛1 𝐿
これは𝑗 < 𝐿の仮定に反する。したがっ
て𝑝 𝑖 ≠ 𝑝(𝑗)である。


# Page. 27

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27
演習
• 図のようなトレリスに対して、次の条件のとき、ForwardBackwardアルゴリズムを使って
σ𝒙,𝑥2 =0 𝑃𝑌|𝑋 𝒚 𝒙 𝑃𝑋 (𝒙)
𝑃(𝑥2 = 0|𝒚)
𝐿2 = log
= log
σ𝒙,𝑥2 =1 𝑃𝑌|𝑋 𝒚 𝒙 𝑃𝑋 (𝒙)
𝑃(𝑥2 = 1|𝒚)
を求めよ。ただし受信語と各種の確率は以下の通りとする。
• 𝒚 = (0,1)
• 𝑃𝑋 0 = 𝑝0 , 𝑃𝑋 1 = 𝑝1 , 𝑝0 + 𝑝1 = 1
• 𝑃𝑌|𝑋 0 1 = 𝑃𝑌|𝑋 1 0 = 𝑝
y=(0,
1)
0
0
• 𝑃𝑌|𝑋 0 0 = 𝑃𝑌|𝑋 1 1 = 1 − 𝑝
1
1


# Page. 28

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28
演習
• 求め方
• Forward確率 𝛼 0, 𝑠00 , 𝛼 1, 𝑠10 , 𝛼 1, 𝑠11 を求める
• Backward確率 𝛽(2, 𝑠20 )を求める
• 𝑔2 0 = 𝑃𝑌|𝑋 1 0 𝑃𝑋 0 𝛼 1, 𝑠10 𝛽(2, 𝑠20 )
• 𝑔2 1 = 𝑃𝑌|𝑋 1 1 𝑃𝑋 1 𝛼 1, 𝑠11 𝛽 2, 𝑠20
• 𝐿2 = log
𝑔2 (0)
𝑔2 (1)