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title: 入試問題解説016cl
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description: 入試問題解説016cl by ブリザードマン
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入試問題解説
第 16 回：複素数の方程式と図形
2017 東 北 大 理 系 前 期 大 問 5


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入試問題解説
問題
®; ¯; ° を複素数とし，
zz + ®z + ¯z + ° = 0
ÝÝ(¤)
を満たす複素数 z を考える。以下の問いに答えよ。
(1) z は
(® ¡ ¯)z ¡ (® ¡ ¯)z + ° ¡ ° = 0
を満たすことを示せ。
(2) j®j = j¯j Ë 0 と仮定し，また ° は負の実数であると仮定する。このとき，(¤)
を満たす z がちょうど 2 個あるための必要十分条件を ®; ¯ を用いて表せ。
(2017 東北大学・前期理系 大問 5)
■ 本問の学習テーマ・目的
共役をとった式と比較して条件を整理し，円と直線の共有点として解の個数を調べます。
係数が 0 になる場合を区別し，変形後の条件が元の方程式と同値であることまで確認し
ます。解を具体的に求めずに個数を決めるため，式変形と図形の性質をどう組み合わせ
るかを学びます。
指針 / アプローチ
▼ 共役をとって差を作る
▼ 係数が消える場合を分ける
▼ 円と直線で個数を決める
zz は実数です。共役をとった式
との差から，この項を消して (1)
® = ¯ なら平方完成します。そ
れ以外では (1) と絶対値の条件で
の式を導きます。
一次の項を消します。
原点中心の円と原点を通る直線
に帰着させます。逆も確認し，共
有点の個数を解の個数に結び付け
ます。
(1) の式に共役が現れることから，(¤) の共役をとって差を作り，zz を消します。(2) では °
が実数なので，(1) の定数項も消えます。
そこで ± = ® ¡ ¯ とおきます。± = 0 では (1) は z を制限しないので，元の式に戻ります。
± Ë 0 では，(1) と j®j = j¯j から ®z + ¯z = 0 を示すことを目指します。
一次の項が消えると，(¤) は原点中心の円を表します。一方，
Im
(1) の ±z = ±z は実数条件であり，原点を通る直線を表し
z0
ます。
° < 0 より円の半径は正なので，共有点は 2 個です。ただし，
(1) は必要条件として導いた式であり，この 2 点が (¤) を満
たすことも確かめます。
Re
O
¡z0
± Ë 0 の場合の概形
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入試問題解説
解答
(1)
(¤) の両辺の共役をとると，
zz + ¯z + ® z + ° = 0
である。(¤) からこの式を引くと，
(® ¡ ¯)z ¡ (® ¡ ¯)z + ° ¡ ° = 0
となるので，示された。(*1)
(*1) 積の共役は，各因
数の共役の積です。
(2)
zz = zz = zz を使い
± = ® ¡ ¯ とおく。° は実数なので，(1) より
±z = ± z
ます。
ÝÝ ①
である。まず，± = 0 のときは ¯ = ® であるから，(¤) は
jz + ®j2 = j®j2 ¡ °
と同値である。j®j2 ¡ ° > 0 より，これは中心が ¡®，半径が
D
は無数にある。(*2)
j®j2 ¡ ° の円を表すので，解
(*2) 平方完成では
jz + ®j2 =
(z + ®)(z + ®) と展開
次に，± Ë 0 のときを考える。①と j®j = j¯j より，
±(®z + ¯z) = (®± + ¯±)z = (j®j2 ¡ j¯j2 )z = 0
して係数を確かめます。
であり，®z + ¯z = 0 となる。したがって，(¤) より
jzj2 = ¡°
ÝÝ ②
である。逆に，①，②を満たす z に対しても上の計算が成り立ち，®z + ¯z = 0 となるので，
(¤) を満たす。よって，(¤) は①，②の連立と同値である。(*3)
(*3) 必要条件を満たす
ここで，± = u + vi，z = x + yi（u; v; x; y は実数）とおくと，①は vx + uy = 0 と同値
だけでは，元の方程式
の解とは限りません。
逆向きにも一次の項が
0 になることを確認し
ます。
である。± Ë 0 より u; v は同時に 0 ではないので，これは原点を通る直線を表す。また，②
は原点を中心とする半径
うど 2 個である。
C
¡ ° > 0 の円を表す。直線は円の中心を通るので，共有点はちょ
以上より，求める必要十分条件は ® Ë ¯ である。
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：係数が 0 になる場合を，割り算の前に分ける
® ¡ ¯ で割る前に，その値が 0 の場合を調べます。この場合，(1) の式は 0 = 0 となります
が，元の方程式まで恒等的に成り立つわけではありません。(¤) に戻って平方完成し，正の半
径を持つ円を表すことから解が無数にあると述べます。
▼ ポイント 2：二つの条件が元の方程式と同値であることを書く
(¤) から直線と円の条件を導いただけでは，解が高々 2 個であることまでしか示せません。逆
に，その共有点では一次の項が 0 になり，zz + ° = 0 も成り立つことを確認します。同値性
を述べてから，共有点の個数で結論を出します。
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入試問題解説
▼ ポイント 3：直線と円が，必ず 2 点で交わる根拠を添える
一般の直線と円の共有点は 0 個や 1 個の場合もあります。本問では直線が円の中心を通り，円
の半径が正であることが決め手になります。また，vx + uy = 0 を直線と判断する際には，
u; v が同時に 0 ではないことも明記します。
解説
1. 共役をとった式と比べると，何が分かるか
zz は jzj2 なので実数です。したがって，(¤) の共役をとってもこの項は変わりません。共役
をとった式との差には一次の項と定数項だけが残ります。(1) は，二次の項を消して，解の満
たす条件を一つ取り出す誘導です。
さらに，(2) では ° が実数なので定数項も消えます。± = ® ¡ ¯ とおけば，残る条件は
±z = ±z，すなわち ±z が実数であることです。複素数がその共役と等しいという形は，実数
条件として読み替えると意味が明確になります。(*4)
(*4) w = s + ti とお
t
とも表せます。実数 t が変化すると，点 z
±
は原点を通る一定方向の直線全体を動きます。一方，± = 0 ではすべての z がこの条件を満
けば，w = w は
t = 0 と同値です。基
± Ë 0 のときは，±z = t（t は実数）より z =
たします。式の見た目だけで直線と判断せず，係数によって条件の意味が変わることに注意し
本的な実数条件を利用
しています。
ましょう。
2. 絶対値が等しいという条件を，どこで使うか
(1) で直線の条件が分かっても，元の方程式には ®z + ¯z が残ります。この部分を整理する
ために j®j = j¯j を使います。±z = ± z に合わせて，一次の項全体に ± を掛けると，z の項
を z の項にそろえられます。
その係数は ®± + ¯± であり，± = ® ¡ ¯ を戻すと
®(® ¡ ¯) + ¯(® ¡ ¯) = j®j2 ¡ j¯j2 = 0
となります。この計算によって，± Ë 0 なら一次の項全体が 0 と分かります。絶対値が等しい
という条件によって，元の式が原点中心の円を表す形になります。(*5)
(*5) j®j = j¯j だけか
ここで ®z + ¯z = 0 を最初から仮定してはいけません。(¤) と ° が実数であることから分か
ら®=¯や®=¯と
はいえません。積 ®®
の形で利用します。
るのは，まずこの一次の項が実数であることまでです。(1) と絶対値の条件を組み合わせ，さ
らに ± Ë 0 を使って初めて 0 に定まります。
3. 解の個数を求めるために，解そのものは必要か
本問では，円と直線の共有点を具体的に計算する必要はありません。直線は原点を通り，円は
原点を中心とする正の半径の円なので，共有点は直径の両端に当たる 2 点です。ただし，図形
を使わず，実数の方程式で個数を確かめることもできます。
±z が実数であることから z =
t
（t は実数）とおくと，jzj2 = ¡° は
±
t2
= ¡°;
j±j2
すなわち
t2 = ¡°j±j2
となります。右辺は正なので，t は異なる 2 値をとります。± Ë 0 だから，対応する z =
t
±
も異なる 2 個です。この確認は，図形を用いた解答の代わりにもなります。(*6)
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(*6) 正負の二つの t
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に対する解は互いに符
号が反対になります。
図では，原点に関して
対称な 2 点に対応し


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入試問題解説
° < 0 という条件も，ここで役割がはっきりします。± Ë 0 の場合に ° = 0 なら円が原点 1
点になり，解は z = 0 の 1 個です。° > 0 なら jzj2 = ¡° を満たす複素数はありません。負
という条件は，異なる 2 個の解を保証しています。
4. 係数が消える場合は，元の方程式に戻る
® = ¯ の場合は，(1) から新たな制限が加わりません。このとき，元の式の一次の項は
®z + ® z となり，二つの項が互いに共役なので常に実数です。そこで，zz とまとめて平方完
成します。
jz + ®j2 = j®j2 ¡ ° は，中心が ¡® の円です。中心の符号だ
Im
けでなく，共役の有無も確認しましょう。jz + ®j2 とすると，
z と z の係数が入れ替わってしまいます。
r
2
2
右図では，中心を P，半径を r としています。r = j®j ¡° >
j®j2 なので，r > OP であり，原点は円の内部にあります。
P
Re
O
したがって，円が 1 点に縮むことはなく，円周上のすべての
P(¡®)
D
r = j®j2 ¡ °
点が解となります。
本問の分岐は，直線が円に接するかどうかではありません。® = ¯ では直線の条件そのものが
なくなり，解全体が円になります。この違いを押さえておきましょう。
■ 復習のポイント
本問では，下記のポイントを重点的に復習しましょう。
★★★★★ 共役の利用：共役をとった式との差から，実数である項を消します
★★★★★ 場合分け：係数が 0 になる場合を分けてから，割り算をします
★★★★★ 誘導と条件の併用：(1) と絶対値の条件で，一次の項を 0 にします
★★★★★ 同値性の確認：変形後の条件から元の方程式も成り立つと示します
★★★★☆ 個数の判断：円の半径と直線の位置関係から，共有点の個数を決めます
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