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title: 入試問題解説015cl
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description: 入試問題解説015cl by ブリザードマン
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# Page. 1

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入試問題解説
第 15 回：正 八 面 体 の 切 断
2018 阪 大 理 系 大 問 4


# Page. 2

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入試問題解説
問題
A
座 標 空 間 に 6 点 A(0; 0; 1)，B(1; 0; 0)，C(0; 1; 0)，
D(¡1; 0; 0)，E(0; ¡1; 0)，F(0; 0; ¡1) を頂点とする正
八面体 ABCDEF がある。s; t を 0 < s < 1，0 < t < 1 を
C
D
B
満たす実数とする。線分 AB，AC をそれぞれ 1 ¡ s : s に内
E
分する点を P，Q とし，線分 FD，FE をそれぞれ 1 ¡ t : t
に内分する点を R，S とする。
F
(1)
4 点 P，Q，R，S が同一平面上にあることを示せ。
(2)
線分 PQ の中点を L とし，線分 RS の中点を M とする。s; t が 0 < s < 1，
0 < t < 1 の範囲を動くとき，線分 LM の長さの最小値 m を求めよ。
(3)
正八面体 ABCDEF の 4 点 P，Q，R，S を通る平面による切り口の面積を X と
する。線分 LM の長さが (2) の値 m となるとき，X を最大とするような s; t の値
と，そのときの X の値を求めよ。
(2018 大阪大学・前期理系 大問 4)
■ 本問の学習テーマ・目的
本問では，空間図形の条件を，平行関係，中点の動く範囲，切り口の形の順に整理しま
す。座標計算で求めた条件が図形のどの性質を表しているかを確かめ，次の設問に利用
します。
指針 / アプローチ
▼ 平行な 2 直線を作る
内分比が等しいことから PQ Í
RS を示し，4 点を含む平面を定
めます。
▼ 最小となる条件を残す
2
LM を s + t の式に整理します。
最小値とともに，等号の成立条件
を求めます。
▼ 切り口を台形に分ける
残る二つの頂点を確定します。平
面 z = 0 との交線で上下に分け，
平行な辺と高さを使います。
(1) では，異なる平行な 2 直線が一つの平面に含まれることを利用します。内分比が等しいの
で，三角形 ABC，FDE の相似から PQ Í BC，RS Í DE です。これと BC Í DE を組み合
わせれば，4 点を通る平面の方程式を作らずに示せます。
A
原点を O，BC，DE の中点をそれぞれ G，H とします。相
似より，L は線分 AG 上，M は線分 FH 上を動きます。こ
の 2 線分は平行で，同じ平面 x = y に含まれます。つまり，
(2) は平面上の距離の問題としても考えられます。
座標計算では，距離の平方を s + t の式に整理します。(3)
O
H
L
G
M
に備え，最小値だけでなく，等号が成り立つ s; t の条件も残
F
しておきましょう。
LM が最小となる場合の一例
--- 1 ---
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# Page. 3

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入試問題解説
(3) では，四角形 PQRS を切り口全体と思い込まないことが大切です。(2) の条件を使って切
断面を表すと，辺 CD，BE とも交わることが分かります。その交点を U，V とすれば，切り
口は六角形 PQURSV です。PQ Í UV Í RS に着目し，UV で上下二つの台形に分けます。
底辺と高さが分かれば，6 頂点の座標から一度に面積を求める必要はありません。
解答
(1)
AP : PB = AQ : QC = 1 ¡ s : s より，三角形 ABC において PQ Í BC である。同様
¡!
¡!
に，RS Í DE である。また，BC = (¡1; 1; 0)，DE = (1; ¡1; 0) より BC Í DE なので，
PQ Í RS である。(*1)
(*1) 内分比は同じ頂点
直線 PQ 上では z = s > 0，直線 RS 上では z = ¡t < 0 であるから，これらは異なる平行
からの順序をそろえて
使います。2 本の直線
が異なることも確認し
ます。
な直線である。よって，4 点 P，Q，R，S は同一平面上にある。
(2)
内分点の座標は P(1 ¡ s; 0; s)，Q(0; 1 ¡ s; s)，R(t ¡ 1; 0; ¡t)，S(0; t ¡ 1; ¡t) である。
したがって，中点の座標は L #
1¡s 1¡s
t¡1 t¡1
;
; s;，M #
;
; ¡t; となるので，(*2)
2
2
2
2
(2 ¡ s ¡ t)2
LM =
+ (s + t)2
2
2 2
4
3
#s + t ¡ ; +
=
2
3
3
4
2
2
よって，LM ≧
であり，等号は s + t =
のときに成り立つ。この条件は，例えば
3
3
1
のときに満たされる。したがって，
s=t=
3
B
2 3
2
m=
;
LM = m となる条件は s + t =
ÝÝ ①
3
3
2
である。(*3)
(*2) x 座標の差と y
座標の差が等しいこと
を利用します。展開す
る前に s + t でまとめ
ます。
(*3) 最小値の実現を確
かめるための一例であ
り，s = t =
(3)
以下，①が成り立つとする。このとき t =
座標はすべて
2
2
¡ s，0 < s <
である。4 点 P，Q，R，S の
3
3
x + y ¡ 2z = 1 ¡ 3s
るという意味ではあり
ません。
ÝÝ ②
を満たすので，これが切断面の方程式である。(*4)
(*4) R を代入した左
¡1 < 1 ¡ 3s < 1 であり，各頂点における x + y ¡ 2z の値は次のとおりである。
頂点
A
D; E
B; C
F
x + y ¡ 2z
¡2
¡1
1
2
交点をそれぞれ U，V とすると，切り口は六角形 PQURSV である。
辺 CD 上では z = 0，y ¡ x = 1，辺 BE 上では z = 0，x ¡ y = 1 である。これらと②
より，
3s
3s
;1 ¡
; 0; ;
2
2
3s
3s
V #1 ¡
;¡
; 0;
2
2
B
¡!
となる。よって，UV = (1; ¡1; 0) であり，UV = 2，PQ Í UV Í RS である。
--- 2 ---
辺は 3t ¡ 1 です。
s+t =
2
より右辺と
3
一致します。
したがって，切断面は辺 AB，AC，CD，DF，FE，EB のみと交わる。辺 CD，BE との
U #¡
1
に限
3
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# Page. 4

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入試問題解説
線分 UV の中点を N とすると，N #
1 ¡ 3s 1 ¡ 3s
;
; 0; であるから，①も使って
2
2
¡!
NL = (s; s; s);
¡¡!
NM = (¡t; ¡t; ¡t)
ÝÝ ③
B
B
となる。したがって，L，N，M はこの順に一直線上にあり，LN = 3s，NM = 3t であ
¡!
る。また，③と UV = (1; ¡1; 0) の内積は 0 なので，直線 LM は PQ，UV，RS と垂直で
ある。(*5)
(*5) LN，NM を台形
B
B
PQ = 2(1 ¡ s)，RS = 2(1 ¡ t) なので，二つの台
Q
L
の高さとして使うため，
平行な辺との垂直を確
認します。
P
形の面積の和より
B
X=
2(2 ¡ s) B
B
3s +
2(2 ¡ t) B
2
2
6
=
f2(s + t) ¡ s2 ¡ t2 g
2
B
4
= 6 # + st; Ý ④
9
3t
U
B
である。
3s
B
3t
V
N
R
B
M
S
切り口を正面から表した図
(s + t)2 ¡ (s ¡ t)2
(s ¡ t)2
1
1
=
¡
≦
であり，等号は s = t のときに
4
9
4
9
限る。①より，求める値は
B
5 6
1
s=t= ;
X=
3
9
ここで，st =
である。これらの s; t は 0 < s < 1，0 < t < 1 を満たす。
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：最小値と，最小値をとる条件を分けて書く
2
1
を明記します。s = t =
は最小値を実現する一例であ
3
3
り，(2) の段階でこれに限定すると，(3) で比較するべき切り口を除いてしまいます。
(2) では m とともに s + t =
▼ ポイント 2：切り口の頂点と，台形の高さの根拠を示す
4 点を結んだ図だけで面積を計算せず，残る交点 U，V を定めます。また，中点を結ぶ線分
が常に台形の高さになるわけではありません。ここでは座標と内積から垂直を示したうえで，
LN，NM を高さとして使います。
--- 3 ---
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# Page. 5

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入試問題解説
解説
1. 距離の平方に s + t だけが現れるのはなぜか
¡!
2¡s¡t 2¡s¡t
L，M の位置は s; t で定まりますが，差は ML = #
;
; s + t; と表せま
2
2
す。s を増やした分だけ t を減らしても，この差は変わりません。平行な線分 AG，FH 上で
2 点を同じ方向に同じ距離だけ動かしているためです。したがって，s + t を定めても，2 点の
位置は一つには決まりません。
¡!
¡!
2 2 2
2
1 1
のとき ML = # ; ; ; であり，AG = # ; ; ¡1; との内積は 0
3
3 3 3
2 2
です。平方完成で求めた最小条件は，平行な 2 線分を垂直に結ぶという図形の条件に対応して
また，s + t =
います。(*6)
(*6) 2 直線間の距離を
使う場合は，垂線の両
端を指定された線分の
内部に取れることも確
かめます。
2. 最小条件で定まる切断面の傾き
②では，左辺 x + y ¡ 2z は変わらず，右辺 1 ¡ 3s だけが動きます。したがって，最小条件
を満たす切断面は互いに平行で，s によって位置が変わります。(3) は，その中から切り口の
面積が最大になる位置を選ぶ問題です。最小条件によって決まる量と，まだ変わる量を区別し
ましょう。
A
最小条件で定まる量
残る変化
B
2 3
LM =
3
s; t の配分
切断面の傾き
切断面の位置
UV =
B
2
Q
C
U
P
D
V
上下の台形の高さ
切断面が通るのは，A; D; E 側と B; C; F 側の頂点を結
ぶ辺です。頂点における x + y ¡ 2z の値を整理すると，
図の見え方に頼らず六つの辺を確定できます。
B
R
E
S
F
切断面と各辺の交点
3. 六角形を分ける線は，平行関係から選ぶ
一つの頂点から三角形に分割する方法もありますが，本問では PQ，UV，RS が平行で，LM
がそれらに垂直です。上下二つの台形に分ければ，既に求めた長さを底辺と高さに使えます。
分割する目的は，底辺と高さを求めやすくすることです。本問では平面 z = 0 で分けること
で，切り口の確定と面積計算の両方に同じ交線を利用できます。
4. 四角形の面積が一定でも，切り口の面積は変わる
(2) の最小条件の下では，四角形 PQRS は高さ LM の台形です。その面積は
B
B
B
2(2 ¡ s ¡ t) 2 3
4 6
PQ + RS
LM =
¢
=
2
2
3
9
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# Page. 6

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入試問題解説
となり，s; t の配分によらず一定です。しかし，切り口にはその両側に三角形 QUR と SVP
が付いています。④から，この 2 つの三角形の面積の和は
B
6st です。四角形だけを計算する
と，まさに (3) で最大化すべき部分を落としてしまうのです。(*7)
部分
台形 PQRS
三角形 QUR と SVP
切り口全体
面積
B
4 6
9
B
6st
B
4
6 # + st;
9
(*7) これは解答後の比
s+t=
2
の下で
3
一定
s = t で最大
s=t=
1
で最大
3
5. 対称性で予想し，平方の項で最大を確かめる
s; t を入れ替えると上下の役割が入れ替わるだけなので，面積は変わりません。この対称性か
2
ら s = t を候補にできますが，最大になることの証明は別に必要です。s + t =
を使って
3
④を書き直すと，
B
B
6
5 6
X=
¡
(s ¡ t)2
9
4
です。s; t の差が 0 から離れるほど面積は小さくなるので，s = t =
1
のときに限って最大
3
になります。このとき切断面は x + y ¡ 2z = 0 で，原点を通ります。中心を通ることだけで
最大と断定せず，面積の式で予想を確かめましょう。
■ 復習のポイント
本問では，下記のポイントを重点的に復習しましょう。
★★★★★ 同一平面：異なる平行な 2 直線を利用する
★★★★★ 最小条件：等号成立条件を次の設問に使う
★★★★★ 切り口：指定された 4 点以外の頂点も確かめる
★★★★★ 面積の分割：平行な辺と高さを利用する
★★★★☆ 最大の根拠：対称性による予想を式で確かめる
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較です。主解答では，
二つの三角形の高さを
個別に求めず，上下の
台形として計算しま
した。