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title: 入試問題解説023cl
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description: 入試問題解説023cl by ブリザードマン
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入試問題解説
第 23 回：何を固定して考えるか
1995 東 京 大 学 後 期 第 2 問


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入試問題解説
問題
平面上に 2 点 P; Q があり，P と Q の距離は 1 であるとする。このとき，次の（条
件）を満たす三角形 ABC の面積 S の最大値を求めたい。
（条件）三角形 ABC は与えられた平面上にあり，各頂点 A; B; C から P までの距離
または Q までの距離のうち，少なくとも一方は 1 以下である。
(1) P を中心とする半径 1 の円周を E，Q を中心とする半径 1 の円周を F とする。上
の（条件）の下で最大面積をもつ三角形の頂点 A; B; C はそれぞれ E または F の
上にあることを示せ。
(2) この二つの頂点 A; B は円周 E 上にあるとして，この円の中心 P から弦 AB にお
ろした垂線の長さを p とする。p を固定したとき，（条件）を満たす三角形 ABC
の面積 S が最大となるならば，直線 AB と直線 PQ は直交することを示せ。
(3) （条件）を満たす三角形 ABC の面積 S の最大値を求めよ。
(1995 東京大学・後期 第 2 問)
■ 本問の学習テーマ・目的
3 つの頂点が自由に動くため，そのままでは面積の最大値を考えにくい問題です。そこ
で，まずは中心から底辺までの距離 p を固定して底辺の長さを決め，高さの最大値を考
えます。そのうえで p を動かし，全体の面積が最大となる場合を調べます。
指針 / アプローチ
▼ 最大面積と頂点の位置
▼ 距離 p と底辺の長さ
▼ p と面積の最大値
円の内部にある頂点を対辺から遠
ざけると面積が大きくなります。
最大となる三角形の頂点は円周上
にあります。
距離 p を固定すると弦の長さが
決まります。底辺の向きと頂点 C
の位置を変え，高さを比べます。
各 p に対する最大面積を p の式
で表します。その関数の増減を調
べ，面積の最大値を求めます。
各頂点が動けるのは右図の色を付けた範囲です。条件が課さ
れているのは 3 つの頂点の位置だけなので，三角形の辺や内
E
C
A
1 Q
部までこの範囲に収まっている必要はありません。
(1) より最大となる三角形の少なくとも 2 頂点は同じ円周上
F
P
にあります。(2) ではこの 2 点を結ぶ弦を底辺に選びます。
距離 p を固定すると底辺の長さが決まるので，高さの大小
で面積を比べられます。
B
各頂点が動ける範囲
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入試問題解説
解答
(1)(*1)
(*1) 移動先の A0 は円
最大面積をもつ三角形の頂点 A が E; F のいずれの上にもな
周 E 上にあるので条件
を満たします。
E
いと仮定する。対称性から A は E の内部にあるとしてよい。
B
右図のように，点 A を直線 BC と垂直な方向に，直線 BC か
A0
A
ら遠ざかる向きへ動かし，円周 E と交わる点を A0 とする。
三角形 A0 BC は条件を満たし，底辺が同じで高さが大きくな
るから面積は大きくなる。これは面積が最大であることに反す
C
る。よって A は E または F の上にある。B; C も同様であ
る。
（証明終わり）
(2)
P から AB におろした垂線の足を H，C から直線 AB までの距離を h とする。PH = p，
0 ≦ p < 1 であり，
C
AB = 2 1 ¡ p2 ;
C
S=
1 ¡ p2 h
ÝÝ ①
CP ≦ 1 のときは h ≦ CH ≦ CP + PH ≦ 1 + p，CQ ≦ 1 のときは
h ≦ CH ≦ CQ + QP + PH ≦ 2 + p ÝÝ ②
となるので，常に h ≦ 2 + p である。(*2)
(*2) どの p に対して
また，右図の配置をとれば実際に h = 2 + p となるか
も本文の図のような配
置が可能です。p = 0
では H と P が一致し
ます。
ら，h の最大値は 2 + p である。したがって①より，面
A
積 S が最大となるのは②のすべての不等号で等号が成り
立つときである。
F
E
p
H
1
P
1
Q
C
よって CH ? AB であり，H; P; Q; C が一直線上にあ
るから AB ? PQ である。
（証明終わり）
B
(3)
(1) より，面積が最大となるとき，3 頂点のうち少なくとも 2 つは同じ円周上にある。対
称性から
C A; B が E 上にある場合を考えればよい。(2) より各 p に対する最大面積は
(2 + p) 1 ¡ p2 である。(*3)
(*3) 面積は正なので，
B
f(p) = (2+p)2 (1¡p2 ) とおくと，f0 (p) = 2(2+p)(1¡2p¡2p2 ) である。® =
3¡1
2
とおけば，0 ≦ p < ® で f0 (p) > 0，® < p < 1 で f0 (p) < 0 であるから，p = ® のとき
f(p) は最大となる。
B
B
2 B
9+6 3
3
3+ 3
=
=
f(®) = %
2
2
4
C
したがって，求める最大値は
B
9+6 3
である。
2
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その 2 乗の最大値を求
めてから正の平方根を
取ります。


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入試問題解説
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：移動後の条件の確認
(1) では移動先の A0 が円周 E 上にあると明記します。移動後も条件を満たし，面積が大きく
なることを示せば，元の面積が最大であるという仮定に矛盾します。
▼ ポイント 2：最大値と等号成立条件
不等式 h ≦ 2 + p を示しただけでは，2 + p が最大値であるとは言い切れません。実際に
h = 2 + p となる配置が存在することを示して初めて最大値が 2 + p と確定し，面積が最大
のときに途中の不等号で等号が成り立つと言えます。
▼ ポイント 3：p の範囲
p = 0 は直径を底辺とする場合です。p = 1 では弦の両端が一致して三角形にならないため，
(3) では 0 ≦ p < 1 の範囲で調べます。
解説
1. 頂点を動かす向き
B; C を固定すると，面積は A から直線 BC までの距離で決
まります。そこで A を通り BC に垂直な直線を引きます。
右図では A を円周上の A0 へ動かすと高さが大きくなり，
E
A00
B
A
P
A00 へ動かすと高さが減ります。円周上ならどこでもよいわ
A0
けではなく，BC から遠ざかる向きに動かします。
この向きに円周まで動かせば，条件を満たしたまま面積を大
C
きくできます。
2. 距離 p と弦の長さ
円の中心から弦におろした垂線は弦を二等分します。右図で
C
1C¡ p2 です。
p を固定すると底辺の長さ AB = 2 1 ¡ p2 は決まります
三平方の定理を用いると，AH =
E
A
1
が，弦の向きは変えられます。右図の灰色とピンクの弦は中
P
心からの距離が等しく，同じ長さです。
底辺の長さを保ったまま向きを変え，頂点 C の位置も動か
H
p
して高さが最大となる配置を探します。
B
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# Page. 5

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入試問題解説
3. 高さの上限と等号成立条件
右図は CQ ≦ 1 の場合です。C から直線 AB におろした垂線
E
の足を T とすると，高さは h = CT です。
F
A
点から直線へ引いた線分のうち，垂線が最も短いので CT ≦ CH
です。また，線分 CH の長さは折れ線 CQPH の長さ以下です。
C
Q
P
H
h
CQ ≦ 1，QP = 1，PH = p なので，解答の②が成り立ちます。
T
B
各不等号で等号が成り立つ条件を図で確かめます。(*4)
(*4) 折れ線が途中で折
h = CH
T と H が一致し，CH ? AB
CH = CQ + QP + PH
H; P; Q; C がこの順に一直線上に並ぶ
CQ = 1
C が円周 F 上にある
り返すと，線分より長
くなります。4 点が一
直線上にあるだけでな
く，表の順に並ぶこと
も必要です。
この三つの条件をすべて満たすのが解答 (2) の配置です。最初の二つの条件から AB ? PQ
となります。
4. 底辺の長さと面積の大小
p = 0 のとき底辺は直径となり，長さは 2 で最大です。p
を増やすと底辺は短くなりますが，高さの最大値 2 + p は
P
大きくなります。
Q
B
5 3
1
右図で p を 0 から
に増やすと，面積は 2 から
に
2
4
C
増えます。底辺が最長のときに面積も最大になるとは限りま
せん。
p=
1
2
p=0
C
(3) では底辺の長さと高さの両方を用いて面積を表し，(2 + p) 1 ¡ p2 の増減を調べます。
5. 面積の式と固定する量
何を固定するか迷ったときは，まず求める量を式で表してみるのが有効です。三角形の面積は
『底辺と高さ』で決まるため，本問では底辺の長さを決める量として p を固定しました。この
ように一部の変数を固定して最大となる配置を調べ，最後に固定していた変数を動かして全体
の最大値を求めます。
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入試問題解説
■ 復習のポイント
★★★★★ 頂点の位置：条件を満たしたまま面積を大きくできるなら，元の面積は最
大ではありません
★★★★★ 固定する量：p を固定すると底辺の長さが決まります
★★★★★ 高さの比較：p を固定しても，底辺の向きと頂点 C の位置を動かして高
さを最大化できます
★★★★★ 等号成立条件：上限を求めたら，等号が成り立つ配置も示します
★★★★☆ 全体の最大値：各 p に対する最大面積を p の式で表し，その関数の最大
値を求めます
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