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title: 入試問題解説011cl
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description: 入試問題解説011cl by ブリザードマン
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# Page. 1

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入試問題解説
第 11 回：積 の 極 限 を 積 分 へ
2001 年 筑 波 大 理 系 前 期


# Page. 2

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入試問題解説
問題
(1) x > 0 に対して，次の不等式を示せ。
x¡
x2
< log(1 + x) < x
2
(2) f(x) を 0 ≦ x ≦ 1 で連続で，f(x) ≧ 0 を満たす関数とする。
1
1
2
n
1
1
an = #1 + f # ;; #1 + f # ;; Ý #1 + f # ;; ;
n
n
n
n
n
n
Z1
I=
f(x) dx
0
とおくとき， lim an = eI であることを示せ。
n!1
（2001 筑波大理系前期）
■ 本問の学習テーマ・目的
関数 f の式は与えられていません。それでも，f が連続で非負であることから，区分求
積法と最大値による評価を組み合わせれば極限を決められます。結論の eI から log an
を考え，(1) を用いて区分求積の和との差を押さえる流れを身につけましょう。
指針 / アプローチ
▼ (1) を差の評価として読む
0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦
x2
▼ an の対数を取る
と読
2
み替え，log(1 + x) を x と比べ
たときの差を押さえます。
▼ 誤差を和全体で評価する
I
右辺が e なので，まず log an !
I を示します。積は対数を取るこ
とで和に変わります。
f の最大値を M とし，2 次の項
を n 個加えても 0 に近づくこと
を示します。
解答
(1)
x ≧ 0 に対して p(x) = x ¡ log(1 + x)，q(x) = log(1 + x) ¡ x +
(*1)
x2
とおく。
2
(*1) 示したい二つの不
p(0) = q(0) = 0 であり，x > 0 のとき
p0 (x) =
x
> 0;
1+x
q0 (x) =
等式を，それぞれ「差
が正である」という形
に直しています。
x2
>0
1+x
である。よって，p; q は x ≧ 0 で増加し，x > 0 のとき p(x) > p(0) = 0，q(x) > q(0) = 0
である。したがって，x > 0 に対して
x¡
x2
< log(1 + x) < x
2
が成り立つ。また，x = 0 では両側で等号が成り立つので，x ≧ 0 に対して
x¡
x2
≦ log(1 + x) ≦ x
2
と書ける。
ÝÝ ①
(証明終わり)
--- 1 ---
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# Page. 3

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入試問題解説
(2)
n
1
k
1 P
k
f # ; とおき，Sn =
f # ; とする。uk ≧ 0 で
n
n
n k=1
n
n
u2k
P
(*2)
あるから各因子は正であり，log an =
log(1 + uk )
と書ける。①より uk ¡
≦
2
k=1
log(1 + uk ) ≦ uk であるから，これを k = 1; 2; : : : ; n について加えると
1 ≦ k ≦ n に対して uk =
Sn ¡
2
n
1 P
k
#
;
f
≦ log an ≦ Sn
n
2n 2 k=1
なので，指数を外して
I と比較できる形にし
ます。
ÝÝ ②
となる。f は 0 ≦ x ≦ 1 で連続であるから最大値 M をもち，0 ≦ f(x) ≦ M である。(*3)
n
P
(*2) 結論の右辺が eI
2
k
よって
f # ; ≦ nM2 であり，②から
n
k=1
(*3) k や n によらな
い共通の上限を置くた
めに，閉区間上の連続
性を使っています。
M2
≦ log an ≦ Sn ÝÝ ③
2n
Z1
M2
(*4)
を満たす。
③において，区分求積法により Sn !
f(x) dx = I であり，
!0で
2n
0
あるから，両端はいずれも I に近づく。したがって，はさみうちの原理により log an ! I と
Sn ¡
なる。ゆえに
lim an = lim e
n!1
log an
n!1
=e
答案記載上の注意点
本問では，
「log(1 + u) は u に近い」と述べるだけでは論証になりません。(1) から得られる
不等式を用い，log an を区分求積の和ではさむところまで書きます。
▼ ポイント 1：積を対数によって和に直す
k
1
f # ; ≧ 1 であるから，an > 0 であり，log an を考えられます。そのうえ
n
n
で積を和に直し，log an ! I を示す方針を明確にします。
各因子は 1 +
▼ ポイント 2：はさみうちの両端を I に近づける
n
P
k=1
f#
2
M2
k
; ≦ nM2 と評価します。そのうえで Sn ¡
≦
n
2n
log an ≦ Sn とまとめれば，両端が I に近づくことが明確になります。
解説
1. (1) の左側は何のためにあるのか
(1) を移項すると，x ≧ 0 に対して
0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦
--- 2 ---
x2
2
M2
以下であり，n
2n 2
項分の差の合計も
M2
以下です。
2n
I
(証明終わり)
連続性から最大値 M を置き，
(*4) 1 項ごとの差は
ÝÝ ④
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# Page. 4

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入試問題解説
となります。右側の不等式 log(1 + x) ≦ x だけを使うと，(2) では log an ≦ Sn までしか
分かりません。これでは log an が Sn からどれだけ離れているかを判断できません。左側の
x2
x2
≦ log(1 + x) があることで，その差を
以下に押さえられます。つまり，(1) の
2
2
2 次の項は飾りではなく，(2) で誤差を処理するための項です。
x¡
2. eI から方針を逆算する
目標は an ! eI ですが，積 an と積分 I を直接比べるのは困難です。そこで，指数
関数を外して log an ! I を目標にします。対数を取ると積が和に変わり，log an =
n
k
k
1
1 P
f # ;; となります。一方，I に近づく和は Sn =
f # ; です。した
n
n
n
n
k=1
k=1
がって，この二つの和の差が 0 に近づくことを示せばよいと分かります。結論の形，対数，区
n
P
log #1 +
分求積法，(1) の不等式がこの順に結びついています。
3. 非負性と連続性の役割を分けて考える
f(x) ≧ 0 は，uk ≧ 0 として ① を適用するために使います。f は 0 をとりうるので，uk = 0
の場合も含めるため，① は x ≧ 0 の形で用いています。また，各因子が正となるので an の
対数を取れます。連続性は別の二つの場面で使います。一つは Sn ! I を区分求積法で示す場
面，もう一つは f の値を M 以下に一括して押さえる場面です。関数 f の式が分からなくて
も，問題文の条件から得られるこれらの性質だけで証明が進みます。
4. 1 項ではなく，n 項分を見積もる
M2
M
なので，④から 1 項ごとの差は
以下です。しかし，(2) で扱うのは n 項の和
n
2n 2
です。1=n は 0 に近づいても，それを n 個加えると 1 になるため，
「各項の差が 0 に近づく」
M2
だけでは不十分です。本問では，n 項分を加えた差も
以下となるため，初めて全体の差
2n
が 0 に近づくといえます。1 次の項は区分求積として残り，2 次の項は和を取っても消えると
uk ≦
いう違いを，不等式で確かめているわけです。
5. 本問の結論を別の積に使う
以下では，積の記号
Y(*5)
(*5)
n
Y
bk = b1 b2 Ýbn を
を用います。本問の結論は
Z1
n
Y
f(x) dx
k
1
#1 + f # ;; = e 0
lim
n!1 k=1
n
n
k=1
表します。
ÝÝ ⑤
と書けます。ここで必要なのは，f が 0 ≦ x ≦ 1 で連続かつ非負であることです。f が多項
式である必要はなく，対数を含む関数でも条件を満たせば同じ結果を使えます。ただし，実際
の問題では積全体が最初から ⑤ の形になっているとは限りません。直接処理できる部分を先
に分け，残った部分から
1
k
と
を見つける必要があります。
n
n
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# Page. 5

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入試問題解説
補充問題
次の極限を求めよ。
n
Y
n+k+1
1
2n
S1 + log
k
n!1 k=1
n
n+k
n+k
lim
指針 / アプローチ
▼ 積を二つに分ける
▼ 残りを本問の形に直す
n+k+1
の積は隣り合う分母
n+k
2n
= log
log
n+k
と分子が消えます。まず，正確に
計算できる部分を処理します。
2
▼ 本問の仮定を確かめる
と変
k
1+
n
形し，対応する関数 f を定めま
f が 0 ≦ x ≦ 1 で連続かつ非負
であることを示して ⑤ を使い，二
つの積の極限を掛け合わせます。
す。
解答
(*6) 一つ目は正確に約
求める積を An とする。積を二つに分けると (*6)
分でき，二つ目には本
問の結論を適用でき
ます。
n
n
Y
Y
1
2n
n+k+1
<$
k<
S1 + log
An = $
n
n
+
k
n
+k
k=1
k=1
である。第 1 の積は
n
Y
n+k+1
n+2 n+3
2n + 1
2n + 1
=
¢
Ý
=
¡! 2
n
+
1
n
+
2
2n
n+1
n
+
k
k=1
ÝÝ ⑥
2
2
とおく。1 ≦
≦ 2 より f(x) ≧ 0 で
1+x
1+x
k
2n
= f # ; であるから，⑤より第 2 の積は
あり，f は連続である。(*7) また，log
n
n+k
となる。次に，0 ≦ x ≦ 1 で f(x) = log
Z1
e 0
log
2
dx
1+x
(*7) ここでは関数 f
を自分で定めているた
め，連続性と非負性も
解答中で示します。
に近づく。ここで
Z1
0
log
1
2
dx = log 2 ¡ [(1 + x) log(1 + x) ¡ (1 + x)]0 = 1 ¡ log 2
1+x
であるから，第 2 の積の極限は e1¡log 2 =
e
である。(*8) 二つの積がともに収束するので，⑥
2
と合わせて
lim An = 2 ¢
n!1
e
=e
2
答案記載上の注意点
補充問題では，本問の結論を使う部分と，それ以外の計算を分けて書きます。対応する関数を
定めたら，その連続性と非負性も答案に明記します。
▼ ポイント 1：二つの積への分解を明記する
--- 4 ---
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(*8) elog 2 = 2 を用い
て指数を整理し，第 1
の積の極限と合わせ
ます。


# Page. 6

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入試問題解説
各 k に対する二つの因子を別々に処理するため，最初に積全体を二つの積へ分けます。第 1
2n + 1
と正確に計算します。
n+1
の積は途中の因子が消える様子まで書き，
▼ ポイント 2：本問の仮定まで示す
2
と置いたら，0 ≦ x ≦ 1 における連続性と非負性まで示します。特に，
1+x
2
1 ≦ 1 + x ≦ 2 から
≧ 1 となるため，f(x) ≧ 0 です。
1+x
f(x) = log
▼ ポイント 3：指数を最後まで整理する
e1¡log 2 のまま止めず，e1¡log 2 =
e
e
=
と整理します。第 1 の積の極限 2 と掛け合わ
2
elog 2
せ，答を e までまとめます。
補充問題の解説
1. 一つの積に二つの処理が含まれている
n+k+1
は，k を一つ進めると分母と次の分子が一致するため，積を展開すれ
n+k
1
k
ば正確に約分できます。第 2 の因子は 1 + f # ; の形に直せるため，本問の結論を使いま
n
n
第 1 の因子
す。積全体を無理に一つの型へ押し込むのではなく，正確に処理できる部分と本問の結論を使
う部分を切り分けることが，この補充問題の一手です。
2. 対数の中の 2 には役割がある
2
≧ 0 となります。したがって，対数の中の
1+x
2 は，本問の非負性の条件を満たすために働いています。また，この関数の積分は 1 ¡ log 2
0 ≦ x ≦ 1 では 1 ≦ 1 + x ≦ 2 なので，log
なので，第 2 の積の極限は e1¡log 2 = e=2 です。これに第 1 の積の極限 2 を掛けると，答は
e になります。
3. 正確な計算を優先し，本問を検算にも使う
第 1 の因子は
n+k+1
1
= 1+
n
n+k
Z1
1
適用しても，極限は e 0 1 + x
dx
1
k
1+
n
とも書けるため，f(x) =
1
として本問を
1+x
= elog 2 = 2 と求められます。ただし，この部分は積を展
開すれば有限の n の段階で正確に計算できるため，本解では約分を優先しました。本問の結論
に帰着できるかを見ることと，より直接的な処理を選ぶことは別です。両方の見方が一致する
ことで，計算の確認にもなります。
--- 5 ---
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入試問題解説
■ 復習のポイント
本問と補充問題では，次の点をまとめて確認しましょう。
★★★★★ 対数で積を和に変える：eI から log an ! I を目標に定める
★★★★★ 不等式を差の評価として読む：0 ≦ x ¡ log(1 + x) ≦
x2
を使う
2
★★★★★ 誤差を和全体で押さえる：1 項の評価で止めず，n 項分を加えた差を評価
する
★★★★☆ 条件の役割を分ける：非負性は対数と不等式，連続性は区分求積と最大値
に使う
★★★★☆ 本問の形を見つける：
1
k
と
を取り出し，対応する関数の連続性と非
n
n
負性まで示す
★★★☆☆ 異なる処理を切り分ける：正確に計算できる積と，本問の結論を使う積に
分ける
★★★☆☆ 最後まで式を整理する：指数を簡単にし，二つの極限を掛け合わせて答を
まとめる
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