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title: 【無料版】講義Note第3回
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author: [ブリザードマン](https://docswell.com/user/4106954092)
site: [Docswell](https://www.docswell.com/)
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description: 【無料版】講義Note第3回 by ブリザードマン
published: September 24, 26
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# Page. 1

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cos 2µ = 2 cos2 µ ¡ 1 = 1 ¡ 2 sin2 µ
k=1
an ≦ cn ≦ bn á lim cn = ®
n Ck = 2
¡1
n!1
d
dx
Zx
a
PA (B) =
P(A \ B)
P(A [ B) = P(A) + P(B) ¡ P(
P(A)
f(t)dt = f(x)
V=¼
Zb
a
~
a ¢~
b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Zb
ff(x)g2 dx
nLite 版
P
lim
f (講x義k )Note¢x
第 3=
回
1
1
pn +
3
6
f(x)d
~
a ¢~
b = j~
ajj~
bj cos µ
f(x + h) ¡ f(x)
f (x) = lim
h
h!0
0
n!1 k=1
pn+1 =
a
三次式を制する
n
1
e = lim #1 + ;
n!1
n
loga MN = loga M + loga N
1
S = bc sin A
2
【 東 大 理 系 26 年 第 4 問 等 】
n
P
k2 =
k=1
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
Z
¯
SEC. 002 // MATHEMATICAL LOGIC
®
(x ¡ ®)(x ¡ ¯)dx = ¡
f(b) ¡ f(a)
= f0 (c)
b¡a
Z
~
p = s~
a + t~
b (s + t =
1
(¯ ¡ ®)3
6
SYS.LOG : ALGEBRAIC STRUCTURE // ACTIVE
(cos µ + i sin µ)n = cos nµ + i
Sn =
n
f2a + (n ¡ 1)dg
2
Za
x
x
0
e (f(x) + f (x))dx = e f(x) + C
1
P
n=1
ar
n¡1
a
=
Z1 ¡ r
b
a
0
f(x)dx =
n¡1
In¡2
n
In =
Za
0
f(a ¡
x = r cos µ; y = r sin
b
Zb
a
a
f(x)g (x)dx = f(x)g(x)— ¡
0
f0 (x)g(x)dx
a2 = b2 + c2 ¡ 2bc cos A


# Page. 2

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数学講義 Note 第 3 回
講義の目的
本講義の学習テーマ・目的
■ 3 つの量を個別に求めず，1 つの式にまとめて扱う視点の習得
■ 3 次式の展開した形と因数分解した形を，目的に応じて使い分ける力の養成
■ 三角関数・図形・整数・数列など，異なる分野に現れる 3 次式の役割の理解
本講義では，2026 年東大理系第 4 問を出発点とします。この問題には，互いになす角が
¼
となる 3 本の接線が現れます。3 本の直線を 2 本ずつ比較して条件を書き並べ
3
ることもできますが，扱うべき対象が 3 つあるなら，3 つを一度に扱う方法も考えたいと
すべて
ころです。
ここから題材を変えながら，3 次式が問題の中でどのような役割を果たすのかを確かめて
いきます。3 次関数そのものが主題になる問題だけではありません。空間図形，面積，整
数，数列といった，一見すると 3 次式とは離れて見える問題にも進みます。そこで同じ考
え方がどこまで使えるのか，また，問題に応じて何を変える必要があるのかを確かめてい
きます。
3 次式というと，まず y = x3 + ax2 + bx + c のグラフや極値，3 次方程式の解の個数などを
思い浮かべるかもしれません。しかし，入試問題で 3 次式が現れる理由はそれだけではありま
せん。3 つの量が同時に現れたり，3 つの交点が生じたり，3 乗を含む式を変形したりするとき
にも，3 次式が利用できます。
例えば，3 つの数 a; b; c があるとき，a; b; c をそれぞれ求めることと，a + b + c; ab +
bc + ca; abc を求めることは別の問題です。後者だけが必要なら，3 つを個別に求める計算
が最善とは限りません。また，同じ 3 次式でも，展開すれば係数を比較しやすくなり，因数分
解すれば方程式の解や式の符号を調べやすくなります。
本講義では，こうした違いを最初に一般論として並べるのではなく，実際の入試問題の中で順
に確かめます。おおまかには，次の流れで進みます。
■ 3 本の接線を扱う問題から，3 つの量をまとめて扱う方法を考える。
■ 3 つの量に関する基本対称式と 3 次方程式の関係を，図形の問題でも利用する。
■ 3 つの交点をもつ 3 次式について，係数を比較する場面と，因数分解した形を使う場面を
使い分ける。
■ 3 乗和の因数分解を出発点として，整数問題や数列の問題まで範囲を広げる。
扱う分野は大きく変わりますが，各問題で新しい公式を一つずつ覚えることが目的ではありま
せん。問題文に 3 つの対象や 3 乗の式が現れたとき，それらをどの形で扱えば必要な情報を取
り出しやすいのかを考えることが，本講義の中心になります。
--- 1 ---
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# Page. 3

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数学講義 Note 第 3 回
3 本の接線をどう扱うか
今回の出発点は，2026 年の東京大学理系数学で出題された次の問題です。曲線上の 3 点
における接線を考え，そのうちどの 2 本を選んでも，なす角が
¼
になるという条件を満
3
たします。
3 本の接線を 1 本ずつ求め，それらを 2 本ずつ比較することも考えられます。しかし，ど
¼
の 2 本のなす角も
なので，3 本をまとめて扱う方法がないかを考えたいところです。
3
まずは実際の問題を確認しましょう。
テーマ 1：3 本の接線をまとめて扱う
問
題
k を実数とし，座標平面上の曲線 C を
y = x3 ¡ kx
で定める。C 上の 2 点 P; Q に対する以下の条件（＊）を考える。
条件（＊） 原点 O，点 P，点 Q は相異なり，C の O; P; Q における接線のう
ち，どの 2 本も交わり，そのなす角はすべて
¼
となる。
3
¼
以下の範囲で考えるものとする。
2
(1) 条件（＊）を満たす P; Q が存在するような k の範囲を求めよ。
ただし，2 直線のなす角は 0 以上
(2) k が (1) で定まる範囲にあるとする。P; Q が条件（＊）を満たすように動くと
き，C の O; P; Q における接線によって囲まれる三角形の面積 S の最大値を M，
最小値を m とおく。ただし，3 本の接線が 1 点で交わるときは S = 0 とする。
M = 4m となる k の値を求めよ。
(2026 東京大 理系)
指針 / アプローチ
▼ 傾きを正接で表す角を 3 倍す
る
3 本の接線の傾きを正接で表す角
¼
は
ずつずれている。傾きを正
3
接で表す角を 3 倍して，3 本に共
▼ 3 本を 3 次方程式へ
▼ 正三角形の一辺を求める
接線の傾きを u とし，3 倍角の公
式から u が満たす 3 次方程式を
作る。3 本の傾きをその 3 つの解
としてまとめる。
(2) では 3 本の接線が作る正三角
形の一辺を，原点での接線上にあ
る 2 交点から求める。
通する条件を作る。
条件（＊）をそのまま扱うと，3 本の接線を 2 本ずつ取り出して接線のなす角の条件を調べる
ことになります。そこで，3 本すべてが同時に満たす条件を作ります。
3 本の接線を平行移動して一点に集めると，傾きを正接で表す角は
--- 2 ---
¼
ずつずれています。
3
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数学講義 Note 第 3 回
3 倍した角の違いは ¼ の整数倍になるので，正接の値は共通します。したがって，傾きを
u = tan ' と表せば，tan 3' は 3 本で等しくなります。3 倍角の公式を用いて整理すると，三
つの傾きを一つの 3 次方程式の解として扱えます。これが本問の中心です。
(1) では，原点での接線の傾き ¡k がその 3 次方程式の 1 つの解であることを利用して，残る
2 つの傾きを調べます。(2) では接線の交点を求めると，正三角形の一辺が jp ¡ qj に比例す
る形で現れます。あとは (1) で求めた p2 ; q2 を使えば，面積の最大・最小を比較できます。
解答
(1)
P(p; p3 ¡ kp)，Q(q; q3 ¡ kq) とする。y0 = 3x2 ¡ k より，3 本の接線の傾きは ¡k; ® =
3p2 ¡ k; ¯ = 3q2 ¡ k である。
条件（＊）より，3 本の傾きを tan µ; tan(µ+
¼
); tan(µ¡
3
¼
) と表せる。(*2-1)
3
cos 3µ = 0 なら 1 本が y 軸に平行となるので，cos 3µ Ë 0。
¼
3
¼
3
(*2-1) 右図では，3 本
の接線を平行移動して，
なす角を示している。
T = tan 3µ とおける。
3 倍角の公式より 3 本の傾きは
u3 ¡ 3Tu2 ¡ 3u + T = 0
ÝÝ ①
¼
¼
<µ<
，tan 3µ = T となる
6
6
µ をとれば，上の三つの正接はすべて定義され，①の相異なる 3 解となる。したがって，①の
¼
3 解を傾きとする直線は，どの 2 本のなす角も
である。
3
解と係数の関係より，® + ¯ ¡ k = 3T，®¯ ¡ k(® + ¯) = ¡3，k®¯ = T。T を消去すると
8k
(3k2 ¡ 1)(® + ¯) = 8k であり，3k2 = 1 では成り立たない。よって，® + ¯ =
，
3k2 ¡ 1
2
3¡k
から
®¯ =
3k2 ¡ 1
の相異なる 3 解である。逆に，任意の実数 T に対し，¡
H = p2 + q2 =
2k(k2 + 1)
;
3k2 ¡ 1
J = p2 q2 =
(k2 + 1)2
3(3k2 ¡ 1)
ÝÝ ②
B
となる。p; q Ë 0 より H; J > 0 なので，k >
B
3
が必要である。
3
k(k2 ¡ 3)
3
とし，T =
とおく。①は ¡k を解にもち，残る 2 解 ®; ¯ も相異
3
1 ¡ 3k2
¯+k
®+k
なる実数である。
;
の和と積は②の H; J に等しく，ともに正なので，この 2
3
3
2
2
数を p ; q とする実数
B p; q をとれる。これらから定めた P; Q は条件（＊）を満たす。よっ
3
。
て求める範囲は k >
3
逆に k >
(2)
点 (r; r3 ¡ kr) における接線は y = (3r2 ¡ k)x ¡ 2r3 。原
点での接線と，P; Q での接線との交点をそれぞれ A; B と
2kp
2p
2kq
2q
<，B $
< である。
;¡
;¡
3
3
3
3
2
2
p Ë q より A Ë B なので，3 本の接線は正三角形を作る。
すると，A $
--- 3 ---
¼
3
A
B
`O
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数学講義 Note 第 3 回
C
2 k2 + 1
AB =
jp ¡ qj より，面積は
3
B
B
3
3 2
2
S=
AB =
(k + 1)(p ¡ q)2
4
9
ÝÝ ③
となる。接線の傾きは p2 ; q2 で決まるため，p; q の符号はそれぞれ選べる。(p ¡ q)2 =
C
H ¡ 2pq，pq = § J より，(*2-2)
(*2-2) p; q が異符号な
B
B
C
C
3 2
3 2
M=
(k + 1)(H + 2 J);
m=
(k + 1)(H ¡ 2 J)
9
9
C
C
B
したがって M = 4m は 3H = 10 J，すなわち 6 3 k = 10 3k2 ¡ 1 と同値である。両辺
B
5 3
25
2
は正なので，2 乗して k =
。(1) の範囲と合わせて，k =
。
48
12
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：必要条件を求めただけで終わらない
B
(1) では，条件（＊）を満たす P; Q が存在すると仮定して計算を進めることで k >
3
が
3
必要だと分かります。この段階では，その範囲の各 k に対して条件（＊）を満たす点が存在す
るかはまだ確かめていません。
B
・ 逆に k >
3
のとき，② の和 H と積 J に対応する二つの数が，相異なる正の実数であ
3
り，p2 ; q2 として選べることまで確認します。
・ さらに，対応する 3 本の接線の傾きが相異なり，どの 2 本のなす角も
¼
となることを示
3
します。ここまで確かめれば十分性の証明になります。
▼ ポイント 2：傾きを正接で表す角は ¼ の整数倍の違いを許す
直線の傾きを tan ' と表すとき，' と ' + ¼ は同じ直線に対応します。3 本の角を 3 倍して
も値そのものは一致しませんが，違いが ¼ の整数倍になるため，正接の値は等しくなります。
・「3 倍すると同じ角になる」だけでは説明が不足するので，tan 3µ が 3 本に共通することを
明示して 3 倍角の公式へつなげます。
・ また，3 本の接線はいずれも y = x3 ¡ kx の接線であり，y 軸に平行ではないことも，傾
きを用いて処理する前提となります。
▼ ポイント 3：面積の最大・最小では p; q の符号まで確認する
(2) では②の和と積から p2 ; q2 が定まり，jpj; jqj も決まります。ただし，p; q の符号は選
べます。その違いによって (p ¡ q)2 が変わり，三角形の面積の最大値・最小値が決まります。
・ 接線の傾き 3p2 ¡ k; 3q2 ¡ k は p2 ; q2 だけで決まるので，p; q の符号を変えても条件
（＊）を満たすことは変わりません。
--- 4 ---
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ら面積は最大，同符号
なら最小になる。符号
を変えても 3 本の接線
の傾きは変わらない。


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数学講義 Note 第 3 回
・ 必要なら p; q を入れ替え，jpj = a; jqj = b (0 < a < b) とすれば，異符号のとき
jp ¡ qj = a + b，同符号のとき jp ¡ qj = b ¡ a となることを確認してから M; m を定
めます。
解説
本問では，3 本の接線を 2 本ずつ比較するのではなく，3 本を一度に扱うことで接線のなす角
の条件を整理しました。ここでは，なぜ 3 倍角の公式が現れるのか，3 本を 3 次方程式の解と
してまとめると何が変わるのかを順に確認します。
1. 3 倍すると 3 本に共通する条件が生まれる
条件（＊）から，3 本の接線の傾きを正接で表す角は，
¼
2¼
; µ+
と並
3
3
べられます。これを 3 倍すると 3µ; 3µ + ¼; 3µ + 2¼
¼ の整数倍の違いを許せば µ; µ +
となり，正接の値は三つとも等しくなります。(*2-3)
ここで意識したいのは，3 倍角の公式を思い出すこと
¼
ずつ異なる 3 つの角を 3 倍
3
することで，それまで別々だった 3 本に共通する条件
µ+
2¼
3
µ+
µ
¼
3 £3
3µ
(*2-3) 3 倍した角は ¼
3µ + ¼
3µ + 2¼ずつ異なる。正接の周
正接の値は等しい
自体ではありません。
期は ¼ なので，その値
は等しい。
を作っている点です。
2. 3 本の傾きを 1 つの 3 次方程式にまとめる
3 本に共通する tan 3µ の値を T とし，1 本の接線の傾きを u = tan ' とすると，T =
3u ¡ u3
から u3 ¡ 3Tu2 ¡ 3u + T = 0 となります。したがって，3 本の接線の傾きはすべ
1 ¡ 3u2
て同じ 3 次方程式を満たします。
ここで 3 本の傾きを個別に求める必要はありません。3 つを 1 つの方程式の解としてまとめれ
ば，解と係数の関係から，和，2 つずつの積の和，積を直接扱えます。(*2-4)
(*2-4) 必要なのが 3 つ
本問では，一つの解が原点での傾き ¡k と分かっています。解答では，これを使って残る二つ
の量の対称式なら，3
つを個別に求めず係数
を利用する方が早い。
の傾きの和と積を求めました。別の計算として，u = ¡k を代入して T を k で表し，因数
u + k を取り除く方法もあります。残る二つの傾きは (3k2 ¡ 1)u2 ¡ 8ku + 3 ¡ k2 = 0 の解
k2 +B1
k2 +B1
です。これを解けば，p2 ; q2 は順序を除いて
;
と求まります。
3k + 3
3k ¡ 3
3. 「存在する範囲」では逆向きも確認する
(1) で最後まで確認すべきなのは，k の必要条件だけではありません。条件（＊）を満たす
B
3
P; Q が存在するとして計算すれば k >
が必要だと分かりますが，これだけでは求めた範
3
囲での存在を示したことにはなりません。
B
3
k2 +B1
k2 +B1
逆に k >
としたとき，
;
が相異なる正の数になることを確かめ
3
3k + 3
3k ¡ 3
れば，これらを p2 ; q2 とする実数 p; q を実際に選べます。さらに，3 本の接線の傾きが①の
¼
相異なる 3 解になることを確認します。解答で示した対応により，どの 2 本のなす角も
と
3
なります。(*2-5)
(*2-5) 「存在する」と
--- 5 ---
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ある問題では，必要条
件を求めた後に実際に
条件を満たす対象を作
れるか確認する。


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数学講義 Note 第 3 回
必要条件を求めるだけでなく，その範囲の各 k に対して条件（＊）を満たす点を選べることを
示します。実数であること，相異なること，正負，接線のなす角を確かめるのが (1) の十分性
の論証です。
4. 傾きと接線の位置を区別する
(1) で決まったのは p2 ; q2 です。したがって，p; q の絶対値は決まりますが，符号はまだ決
まりません。
ここで，接点の x 座標を r としたときの接線 y = (3r2 ¡ k)x ¡ 2r3 では，傾きには r2 ，切
片には r3 が現れています。r を ¡r に変えても傾きは変わりませんが，切片の符号は反転し
ます。(*2-6)
(*2-6) r ! ¡r で接線
つまり，p; q の符号を変えても 3 本の接線のなす角はそのままですが，3 本が囲む正三角形の
大きさは変わります。必要なら p; q を入れ替え，jpj = a; jqj = b (0 < a < b) とすれば，
のなす角の条件は変わ
らないが，接線そのも
のの位置は変わる。
異符号なら jp ¡ qj = a + b，同符号なら jp ¡ qj = b ¡ a です。この 2 通りだけを比較すれ
ば面積の最大値と最小値を決められます。
5. 3 つの対象をまとめたいとき，3 次式を候補に入れる
本問で覚えておきたいのは，3 倍角の公式そのものより，3 本の接線を 3 次方程式の 3 つの解
として扱ったことです。3 つの量 a; b; c を (X ¡ a)(X ¡ b)(X ¡ c) = 0 の 3 つの解とし
てまとめれば，a + b + c; ab + bc + ca; abc を係数から読めます。
もちろん，
「3 つあれば必ず 3 次式」と考えるわけではありません。ただし，3 つを個別に求め
る必要がなく，和や積のような対称な量だけが必要なら，3 つを解にもつ 3 次方程式を作れな
いか検討できます。(*2-7)
(*2-7) 3 次式は公式と
同 じ 方 程 式 か ら ，三 角 関 数 の 恒 等 式 も 導 け ま す 。cos 3µ Ë 0 の と き ，① の 3 解 は
して覚えるのではなく，
3 つの量をまとめて扱
うための選択肢として
持っておく。
tan µ; tan(µ +
¼
¼
); tan(µ ¡ ) です。解と係数の関係より和は 3T，積は ¡T なので，
3
3
¼
¼
; + tan #µ ¡ ; = 3 tan 3µ
3
3
¼
¼
tan µ tan # ¡ µ; tan # + µ; = tan 3µ
3
3
¼
¼
となります。第 2 式では，tan(
¡ µ) = ¡ tan(µ ¡ ) を使っています。
3
3
次の 2011 年京都大学の問題では，x + y + z，xy + yz + zx が条件からすぐに決まり，求め
tan µ + tan #µ +
たい量が xyz です。今回よりも直接的な形で，3 つの数を 3 次方程式の 3 つの解としてまと
めることになります。
2026 年東大の問題では，3 本の接線を 2 本ずつ比較するのではなく，傾きを正接で表す角を 3
倍することで 3 本に共通する条件を作りました。すると，3 本の傾きは 1 つの 3 次方程式の 3
つの解としてまとまり，解と係数の関係を通して必要な情報を調べられるようになります。
ここで重要なのは，3 倍角の公式そのものではありません。3 つの量を個別に求める代わりに，
3 つを同じ 3 次方程式の解としてまとめることで，和や積などの対称な量を係数から扱えるよ
うになったことです。前問では，接線の角度という図形的な条件を整理した結果として 3 次方
程式が現れました。
--- 6 ---
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数学講義 Note 第 3 回
次は，基本対称式から 3 次方程式を作る問題を扱います。3 つの数について，和，2 つずつの
積の和，積が現れたとき，3 つを別々に調べる必要があるのでしょうか。
--- 7 ---
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数学講義 Note 第 3 回
3 つの数を 3 次方程式の解として扱う
次の問題は空間図形を題材としていますが，点 (x; y; z) が満たす条件を書き出すと，
x + y + z と x2 + y2 + z2 が一定になります。ここから xy + yz + zx も決まるので，
残るのは xyz です。
x; y; z をそれぞれ求めながら xyz を調べるのではなく，3 つの数 x; y; z をまとめて扱
う方法を考えます。前章で現れた 3 次方程式と，ここで求める 3 つの対称式との関係を確
かめます。
テーマ 2：3 つの数を 1 つの 3 次方程式にまとめる
問
題
xyz 空間で，原点 O を中心とする半径
(4; 0; 0);
B
6 の球面 S と，3 点
(0; 4; 0);
(0; 0; 4)
を通る平面 ® が共有点を持つことを示し，点 (x; y; z) がその共有点全体の集合を動
くとき，積 xyz の取り得る値の範囲を求めよ。
(2011 京都大 理系)
指針 / アプローチ
▼ 基本対称式を求める
▼ 3 つを解としてまとめる
▼ 3 実解の条件を調べる
平面と球面の方程式から x + y +
z，xy + yz + zx を求める。残
る基本対称式は xyz だけになる。
p = xyz とおき，x; y; z を 3 つ
の解にもつ 3 次方程式を作る。
g(t) = p が重解を含めて 3 つ
の実数解をもつ条件を，3 次関数
g(t) の増減から調べる。
この問題で x; y; z を個別に求めようとすると，球面と平面の共有部分を直接扱うことにな
り，求めたい xyz までの道筋が見えにくくなります。一方，平面の方程式から x + y + z が
決まり，球面の方程式と合わせれば xy + yz + zx も決まります。そこで，xyz をいったん p
とおけば，三つの基本対称式を x + y + z = 4; xy + yz + zx = 5; xyz = p と表せます。
3 つの数 x; y; z を解にもつ 3 次方程式 (t ¡ x)(t ¡ y)(t ¡ z) = 0 を作れば，この 3 つの対
称式はそのまま係数になります。すると「xyz がどこまで動けるか」という問題を，「ある 3
次方程式が 3 つの実数解をもつのはいつか」という問題に置き換えられます。前章では接線の
なす角から 3 次方程式を作りましたが，今回は 3 つの対称式から 3 次方程式を作ります。
解答
平面 ® の方程式は x + y + z = 4 である。点 (1; 1; 2) は x + y + z = 4，x2 + y2 + z2 = 6
を満たすから，® と球面 S は共有点をもつ。
共有点 (x; y; z) について，x + y + z = 4，x2 + y2 + z2 = 6 であるから，xy + yz + zx =
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数学講義 Note 第 3 回
(x + y + z)2 ¡ (x2 + y2 + z2 )
= 5。したがって，x + y + z = 4;
2
5 ÝÝ ①
xy + yz + zx =
p = xyz とおく。このとき x; y; z は
t3 ¡ 4t2 + 5t ¡ p = 0
ÝÝ ②
の 3 つの解である。(*3-1)
3
(*3-1) ここでは
2
0
2
g(t) = t ¡ 4t + 5t とおくと，② は g(t) = p と書ける。g (t) = 3t ¡ 8t + 5 =
(t ¡ 1)(3t ¡ 5) より，増減は次のようになる。
t
Ý
1
Ý
g (t)
+
0
¡
g(t)
%
2
&
0
5
3
0
50
27
x; y; z が一致する場
合もあるので，重解を
許して考える。
Ý
+
%
したがって，方程式 g(t) = p が重解を含めて 3 つの実数解をもつための必要十分条件は
50
≦ p ≦ 2 である。(*3-2)
(*3-2) 端の値では極値
27
をとる t の値が重解と
50
逆に
≦ p ≦ 2 のとき，② の 3 つの実数解を x; y; z とすれば，解と係数の関係より ① なるので，等号も含む。
27
が成り立つ。よって x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 ¡ 2(xy + yz + zx) = 6 であるから，
(x; y; z) は ® と S の共有点となり，その積は p である。
50
≦ xyz ≦ 2
以上より，
27
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：共有点を実際に 1 つ示す
本問では，xyz の値域を求める前に，球面 S と平面 ® が共有点をもつこと自体も示す必要が
あります。
・ 例えば (1; 1; 2) は x + y + z = 4，x2 + y2 + z2 = 6 をともに満たします。このように
共有点を 1 つ具体的に挙げれば十分です。
・ 値域を求める計算の中で共有点の存在が結果的に分かるとしても，共有点をもつことの証
明も明記します。
▼ ポイント 2：x; y; z は相異なる必要がない
方程式 t3 ¡ 4t2 + 5t ¡ p = 0 の解として x; y; z を扱いますが，問題文では共有点 (x; y; z)
の 3 つの座標が相異なるとは限りません。
・ したがって必要なのは，方程式が重解を含めて 3 つの実数解をもつことです。
・ p=2やp=
50
では極値をとる t の値が重解となりますが，これらも条件を満たしま
27
す。端点を除いてしまわないよう注意が必要です。
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▼ ポイント 3：三つの解が共有点の座標になることを示す
g(t) = p が 3 つの実数解をもつ条件を調べて
50
≦ p ≦ 2 と求めただけでは，そのすべての
27
p が実際に xyz の値として現れることまでは示していません。
・ この範囲の p に対する 3 つの実数解を x; y; z とすれば，解と係数の関係から x+y+z =
4，xy + yz + zx = 5 が成り立ちます。
・ そこから x2 + y2 + z2 = 6 も確認できるので，(x; y; z) が実際に平面 ® と球面 S の共
有点であることまで示します。
解説
本問では，球面と平面の共有部分を円として直接扱う代わりに，点の座標 x; y; z の対称式を
利用しました。平面と球面の条件から 3 つの基本対称式を求め，x; y; z を 1 つの 3 次方程式
の解として扱うまでの流れを整理します。
1. 3 つの座標を個別に求めない
共有点 (x; y; z) は，平面の方程式から x + y + z = 4 を満たします。また，球面の方程式
x2 + y2 + z2 = 6 と合わせれば，xy + yz + zx = 5 もすぐに求まります。ここで求めたい
のは残る xyz です。
x; y; z を一つずつ求める代わりに，p = xyz とおいて
(t ¡ x)(t ¡ y)(t ¡ z) = t3 ¡ 4t2 + 5t ¡ p
とまとめます。すると，空間内を動く点の 3 つの座標を，1 つの 3 次方程式の 3 つの解として
扱えます。(*3-3)
この時点で，球面と平面の共有部分を直接調べる必要はなくなります。xyz の値域を求める問
題を，3 次方程式の実数解の個数を調べる問題へ移せます。
(*3-3)
x + y + z; xy +
yz + zx; xyz の値が
分かれば，x; y; z を
解にもつ 3 次方程式を
そのまま作れる。
2. xyz の値域を直線 y = p の位置で考える
g(t) = t3 ¡ 4t2 + 5t とおけば，t3 ¡ 4t2 + 5t ¡ p = 0
y
は g(t) = p と書けます。つまり，x; y; z は曲線
y = g(t) と直線 y = p の交点の t 座標です。
したがって，xyz = p が実現するための条件は，方
程式 g(t) = p が重解を含めて 3 つの実数解をもつ
2
y=p
50
27
ことです。(*3-4)
(*3-4) 端の値では共有
50
g(t) の極大値が 2，極小値が
なので，求める条
27
50
件は
≦ p ≦ 2 です。
27
O
t
3. 端の値を含む理由
p = 2 のとき，直線 y = p は点 (1; 2) で曲線に接し，方程式には重解 t = 1 が現れます。
5
50
5 50
; で接し，t =
のときは点 # ;
が重解になります。
同様に p =
27
3 27
3
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点は 2 個であり，接点
の t 座標が重解になる。
共有点の個数と，重解
を含めた実数解の個数
を区別する。


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数学講義 Note 第 3 回
しかし，本問では x; y; z が相異なるという条件はありません。例えば 2 つの座標が等しい共
有点も認められます。したがって，端の値を除く理由はなく，
50
≦ p ≦ 2 となります。(*3-5)
27
4. 三つの実数解が球面と平面の方程式を満たすことを確かめる
g(t) = p が 3 つの実数解をもつことから p の範囲を求めても，それだけでは値域の確認は終
(*3-5) 前章では 3 本の
接線が相異なる必要が
あったが，本問では座
標のうち二つが一致し
てもよい。この違いに
注意する。
わりません。その 3 つの実数解を x; y; z としたとき，本当に (x; y; z) が元の球面と平面の
共有点になることまで確かめます。
解と係数の関係から x + y + z = 4，xy + yz + zx = 5 となるので，x2 + y2 + z2 =
(x + y + z)2 ¡ 2(xy + yz + zx) = 6 も成り立ちます。したがって，3 次方程式から作った
3 つの実数 x; y; z は，確かに元の 2 つの図形の条件を満たします。(*3-6)
(*3-6) 問題を別の条件
へ置き換えたときは，
求めた解が元の条件も
満たすことを確認する。
5. 3 つの基本対称式と 3 次方程式
3 つの数 a; b; c に対して
(X ¡ a)(X ¡ b)(X ¡ c) = X3 ¡ (a + b + c)X2 + (ab + bc + ca)X ¡ abc
と展開できます。したがって，a + b + c; ab + bc + ca; abc がわかれば，a; b; c を 3 つの
解にもつ 3 次方程式が決まります。
2026 年東大では，3 本の接線のなす角から 3 つの傾きを同じ 3 次方程式へまとめました。今回
の 2011 年京大では，平面と球面の方程式から x + y + z と xy + yz + zx を求め，xyz = p
とおいて 3 次方程式を作ります。出発点は異なりますが，どちらも 3 つの量を個別に求めず，
3 次方程式の 3 つの解として扱うことで計算を整理しています。(*3-7)
(*3-7) 3 次方程式は未
第 3 章では，x; y; z を 1 つの 3 次方程式の 3 つの解としてまとめました。x + y + z，
知数を解くためだけで
なく，3 つの量をまと
めて表す手段として使
える。
xy + yz + zx，xyz を係数に移すことで，3 つの数を個別に求めずに xyz の値域を調べるこ
とができました。
ここで使ったのは，3 次式を展開して係数を利用する方法です。しかし，3 つの解を表す
(t ¡ x)(t ¡ y)(t ¡ z) という形にも，展開してしまう前だからこそ残っている情報がありま
す。どこで 0 になるかはもちろん，解と解の間で式の符号がどう変わるかも，因数分解した形
ならそのまま調べられます。
次は，3 次方程式の 3 つの解が曲線と直線の 3 つの交点として現れる問題を扱います。交点ど
うしの関係を調べるときには係数を使い，曲線と直線の上下関係や面積を調べるときには因数
分解した形を使います。ここからは，3 つを 3 次方程式にまとめるだけでなく，できた 3 次式
を何に使うかまで考えていきます。
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数学講義 Note 第 3 回
本編の見取り図
三次式を制する
面積・整数・数列を経て最初の接線へ
無料部分
3 次方程式
因数分解
3 種類に分ける
ここまでの内容
3 つの量を
1 つの 3 次方程式に
(t ¡ a)(t ¡ b)(t ¡ c)
数列から接線へ
3 本の接線
ここから本編
面積
3 乗和
a3 + b3
a3 + b3 + c3 ¡ 3abc
展開するか
因数分解するか
3 次方程式
因数分解
整数問題
別々の解法が同じ式にたどり着く
数列の問題で複素数？
数列
!
1
1
1
1
1
1
3
3 種類に分ける
1
2
1
3
1
1
4 6 4 1
5 10 10 5 1
!2
この複素数が最初の 3 本の接線にも現れる
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