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title: 入試問題解説024cl
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description: 入試問題解説024cl by ブリザードマン
published: November 02, 26
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入試問題解説
第 24 回：複素数の商と解の位置
2000 京 都 大 学 後 期 理 系 大 問 1


# Page. 2

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入試問題解説
問題
(1) ®; ¯ は異なる複素数とする。z を複素数とし，®; ¯; z が複素平面上で表す点を
z¡¯
それぞれ A; B; Q とする。このとき，
の虚部が正であるような点 Q の存
z¡®
在範囲を図示せよ。
(2) 3 個の複素数 ®; ¯; ° は複素平面上で三角形の 3 頂点 A; B; C を表すものとす
る。このとき正の実数 p; q; r に対し，z についての 2 次方程式
p(z ¡ ¯)(z ¡ °) + q(z ¡ °)(z ¡ ®) + r(z ¡ ®)(z ¡ ¯) = 0
の解はすべて三角形 ABC の内部にあることを示せ。
(2000 京都大学・後期 理系 大問 1)
■ 本問の学習テーマ・目的
複素数の商の虚部から点と直線の位置関係を調べます。その結果を用いて，2 次方程式
の解が三角形の内部にあることを証明します。
指針 / アプローチ
▼ 商の虚部
▼ 3 つの分数の和
▼ 三角形の外部と境界
点 A を原点，点 B を 1 を表す点
に移し，商の虚部が正となる範囲
を調べます。
解が ®; ¯; ° でないことを確か
め，3 つの因数の積で割ります。
解を表す点が内部にないと仮定
し，(1) を用いて虚部の符号を調
べます。
z¡®
とおきます。各点を表す複素数から
¯¡®
® を引き，¯ ¡ ® で割ると，点 A; B はそれぞれ原点と 1
(1) では w =
Im
y>0
を表す点 に移ります。直線 AB は実軸に移るので，点 w
w = x + yi
が実軸の上側にあるか下側にあるかを調べます。
(2) では 3 つの項の係数がすべて正であることを使います。
各項の虚部がすべて 0 以上で，少なくとも 1 つが正なら，
その和は実数になりません。このことから矛盾を導きます。
--- 1 ---
O
Re
1
w の虚部が正となる範囲
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# Page. 3

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入試問題解説
解答
(1)
z Ë ® とし，w =
であり
z¡®
= x + yi とおく。ただし x; y は実数である。このとき w Ë 0
¯¡®
z¡¯
y
w¡1
x
=
=1¡ 2
+ 2
i
2
z¡®
w
x +y
x + y2
となる。したがって虚部が正となる条件は y > 0 である。
® を引き，¯ ¡ ® で割る移動は，平行移動と回転，拡大・
Q(z)
へ進む向きに対して左側の半平面（ただし境界線 AB は含
µ
縮小の組合せである。よって求める範囲は，点 A から点 B
左側
まない）である。
A(®)
B(¯)
着色部分。境界は含まない
(2)
与えられた方程式の解を z とする。z = ® を代入したときの左辺は p(® ¡ ¯)(® ¡ °) Ë 0
である。同様に z Ë ¯; ° であるから，方程式の両辺を (z ¡ ®)(z ¡ ¯)(z ¡ °) で割って
p
q
r
+
=0
+
z¡®
z¡°
z¡¯
ÝÝ ①
とする。
点 Q(z) が三角形 ABC の内部にないと仮定する。このとき Q を通る直線 ` として，3 点
A; B; C が ` に関して同じ側（または ` 上）にあり，かつ少なくとも 1 点は ` 上にないよう
なものがとれる。(*1)
(*1) 三角形の各辺を含
Q と異なる ` 上の点 D(±) を，点 Q から点 D へ進む向きに対して左側の領域（境界を含む）
に三角形 ABC が含まれるようにとる。(1) より，3 つの商
®¡±
;
®¡z
¯¡±
;
¯¡z
°¡±
°¡z
の虚部はすべて 0 以上で，少なくとも 1 つは正である。したがって p; q; r > 0 より，これら
をそれぞれ p; q; r 倍して加えた複素数の虚部は正である。一方，①より
p
¯¡±
°¡±
®¡±
+q
+r
®¡z
°¡z
¯¡z
p
q
r
<
= p + q + r + (± ¡ z) $
+
+
z¡®
z¡°
z¡¯
=p+q+r
となり，この複素数は実数である。これは矛盾である。よって解はすべて三角形 ABC の内部
にある。
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む 3 直線のうち，その
直線に関して点 Q と残
りの頂点が同じ側にな
いものを 1 つ選びま
す。その直線に平行で
Q を通る直線を ` とし
ます。


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入試問題解説
別解
(2)
解答 (2) と同様に z Ë ®; ¯; ° を確認すると，①が成り立つ。①の両辺の共役な複素数をと
り，各分数の分母と分子に z ¡ ®; z ¡ ¯; z ¡ ° をそれぞれ掛けて分母を実数化すると
q(z ¡ ¯)
r(z ¡ °)
p(z ¡ ®)
+
+
=0
2
2
jz ¡ ®j
jz ¡ ¯j
jz ¡ °j2
p
q
r
，b =
，c =
とおくと a; b; c > 0 であり，
2
jz ¡ ®j
jz ¡ ¯j2
jz ¡ °j2
(a + b + c)z = a® + b¯ + c° である。
となる。ここで a =
m=
b¯ + c°
とおくと，点 M(m) は辺 BC を c : b に
b+c
C
内分する点である。さらに
z=
a® + (b + c)m
a+b+c
Q
より，点 Q(z) は線分 AM を (b + c) : a に内分する。
A
M
B
よって点 Q は三角形 ABC の内部にある。
答案記載上の注意点
▼ ポイント 1：分母が 0 となる値（解答・別解共通）
(2) で 3 つの因数の積で割る前に，®; ¯; ° が解でないことを確かめます。三角形の 3 頂点な
ので互いに異なり，p; q; r も 0 でないことを使います。
▼ ポイント 2：境界上の点（解答）
三角形の外部だけでなく，辺上に解がないことも示す必要があります。頂点が直線 ` 上にある
と対応する商は実数ですが，少なくとも 1 つの頂点は ` 上にありません。その頂点に対応する
商の虚部が正となります。
▼ ポイント 3：正の係数（解答）
虚部がすべて 0 以上でも，それだけでは和の虚部が正とは限りません。少なくとも 1 つが正で
あり，その項の係数も正であることまで確かめます。
▼ ポイント 4：内分比と点の位置（別解）
a; b; c > 0 を明記します。内分比は BM : MC = c : b，AQ : QM = (b + c) : a です。各
比の両項が正であることから，M と Q がそれぞれの線分の端点でないことまで示します。
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# Page. 5

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入試問題解説
解説
1. 商の虚部と半平面
点 Q が直線 AB 上にない場合を考えます。
z¡¯
=
z¡®
左側
Q(z)
¯¡z
¡!
¡!
の分子と分母は，それぞれ QB と QA に対応しま
®¡z
す。この商の偏角は半直線 QA から半直線 QB までの回転
µ
角です。
虚部が正であるためには，この回転角 µ を 0 < µ < ¼ に
A(®)
とれることが必要十分です。これは点 Q が点 A から点 B
B(¯)
QA から QB への回転
へ進む向きに対して左側にあることを表します。
点 Q が直線 AB 上にあれば，Q Ë A のもとで商は実数になります。(2) ではこの場合も含
め，虚部が 0 以上となる条件を用います。
2. (1) に代入する複素数
(1) では A; B を固定して点 Q の範囲を調べました。(2) では解を表す点 Q(z) と補助点
D(±) を固定し，3 つの頂点の位置を調べます。例えば点 A(®) については，(1) の ®; ¯; z
にそれぞれ z; ±; ® を代入します。
z¡¯
z¡®
¡!
®¡±
®¡z
点 B; C についても同じ 2 点 Q; D を基準にします。こうして 3 つの商の虚部を同じ直線 `
に対する位置関係から調べられます。
3. 補助直線の選び方
各辺を含む直線を境に，残りの頂点と同じ側の半平面を考
C
えます。この 3 つの半平面の共通部分が三角形の内部です。
点 Q が内部にないなら，少なくとも 1 辺について，点 Q
はその直線上または残りの頂点と反対側にあります。
例えば直線 AB に対して点 Q と点 C が反対側にあるなら，
A
点 Q を通り直線 AB に平行な直線を ` とします。3 つの
B
Q(z)
頂点はすべて ` の同じ側にあります。
`
D(±)
Q と C が直線 AB の反対側にある場合
点 Q が直線 AB 上にある場合は ` を直線 AB とします。
C
このとき点 A; B は ` 上にありますが，点 C は ` 上にあ
りません。
どちらの場合も 3 つの商の虚部はすべて 0 以上で，少なく
とも 1 つは正になるように点 D を選べます。したがって外
部と境界のどちらにある場合も同じ議論で矛盾を導くこと
A
Q
D
B
`
Q が辺 AB 上にある場合
ができます。
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入試問題解説
4. 共役な複素数と内分点（別解）
別解では解を表す複素数 z を ®; ¯; ° と正の係数で表します。①の両辺の共役な複素数をと
り，各分数の分母と分子に z ¡ ®; z ¡ ¯; z ¡ ° をそれぞれ掛けて分母を実数化します。これに
より各項を z ¡ ®，z ¡ ¯，z ¡ ° と実数との積に書き直せます。分母は正なので，p; q; r > 0
より係数 a; b; c も正です。
得られた式
z=
a® + b¯ + c°
a+b+c
で，まず ¯; ° の項をまとめて辺 BC の内分点 M をとります。続いて ® と m の係数から，
点 Q は線分 AM の内分点であると分かります。こうして 2 段階の内分に分けると，点 Q が
三角形の内部にあることを説明できます。
■ 復習のポイント
★★★★★ 商の虚部：正・負・0 を点と直線の位置関係に対応させます
★★★★★ 分母の確認：®; ¯; ° が解でないことを確かめます
★★★★★ 誘導の利用：固定する 2 点と，位置を調べる点を区別します
★★★★★ 正の係数：虚部が同じ符号なら和でも打ち消し合いません
★★★★☆ 境界の確認：辺上に解がないことまで示します
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